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第六章二次曲线的仿射性质和度量性质 高等几何 要求 掌握二次曲线的中心 直径 渐近线在射影观点下的意义和求法 了解二次曲线的仿射分类 重点 二次曲线的仿射性质仿射分类 二次曲线的中心 直径与共轭直径 二次曲线的渐近线 圆点 迷向直线 主轴 焦点和准线 1 2 学习要求 1学习要求 1二次曲线与无穷远直线的相关位置 设二次曲线的方程为 1 1 现在求无穷远直线 与二次曲线的交点 把 代入上式 得 从而解得 1 2 根据 的符号将二次曲线分类 定义1 1当A33 0时 二阶曲线称为椭圆型曲线 当A33 0时 二阶曲线称为抛物型曲线 当A33 0时 二阶曲线称为双曲型曲线 而且 当 A 0时 上述三种类型曲线分别称为椭圆 抛物线 双曲线 2二次曲线的仿射性质 设二次曲线的方程为 1 1 从而解得 1 2 根据 的符号将二次曲线分类 定义2 1无穷远直线关于二阶曲线的极点 称为此二阶曲线的中心 2 1二阶曲线的中心 定理 theorem 定理2 1双曲线 椭圆各有唯一中心且为有穷远点 而抛物线的中心为无穷远点 定义2 2无穷远点关于二阶曲线的有穷极线称为二阶曲线的直径 2 2直径与共轭直径 定义2 3二次曲线的一直径与无穷远直线交点的极线称为此直径的共轭直径 定理 theorem 定理2 2有心二阶曲线的一直径平行的一组弦 被它的共轭直径所平分 推论过一直径两端点的切线平行于该直径的共轭直径 例1判断二阶曲线 中心 并求出过点 0 1 1 的直径及其共轭直径 的类型 试求曲线的 例2求平分二次曲线 与直线 平行的弦的直径的方程 例3如果一个平行四边形内接于一条有心二次曲线 求证 它的两条对角线是二次曲线的直径 而且它的两边平行于一对共轭直径 定义2 4二阶曲线上无穷远点的切线 如果不是无穷远直线 则称为二阶曲线的渐近线 2 3渐近线 定理 theorem 定理2 4二阶曲线的两条渐近线相交于中心 并且调和分离任何一对共轭直径 例4求双曲线 例5双曲线的任一条切线交渐进线于两点 求证切点是此二点所连线段的中点 例6求证过一定点 不在渐进线上 所作二次曲线诸弦中点的轨迹是另一条二次曲线 的渐进线方程 3二次曲线的仿射分类 设二次曲线的方程为 3 1 1 aij 0 即 aij 的秩为3 2 aij 0 即 aij 的秩为2 3 aij 0 即 aij 的秩为1 可列表如下 例求仿射坐标变换 化 为标准形式 4二阶曲线的度量性质 4 1圆点和迷向直线 定义4 1共轭虚点 称为圆环点 简称圆点 定理 theorem 定理4 1一条非退化二次曲线 表示圆的充要条件是它经过两个圆环点 定义4 2经过圆点的直线 无穷远直线除外 叫做迷向直线 定理4 2仿射变换成为相似变换的充要条件是该变换保持两个圆点不变 推论正交变换使圆点保持不变 定理4 3虚直线是迷向直线的充要条件是它上面任意两个有穷点间的距离为零 定理4 4一条直线与另一条直线的交角是不存在的 或是不确定的 4 2拉盖尔 Laguerre 定理 定理4 5 Laguerre定理 设两条非迷向直线的交角为 又设两条直线与过它们交点的两条迷向直线所成的交比为 则有 4 8 推论两条非迷向直线垂直的充要条件是这两条直线与过它们交点的两条迷向直线调和共轭 4 2拉盖尔 Laguerre 定理 定理4 6平面上不共线的三点可以确定一个圆 定理4 7同一圆弧的圆周角相等 例1证明圆的任何一对共轭直径都互相垂直 例2证明 在一平面上垂直于同一直线的二直线互相平行 4 3二次曲线的主轴 焦点和准线 定义4 3二阶曲线的一条直径如果平分一组和它垂直的弦 则此直径叫做主轴 主轴与曲线的有穷交点叫做顶点 定理 theorem 定理4 9除圆以外的有心二阶曲线只有一对主轴 它们是两条渐近线交角的平分线 定理4 8抛物线有唯一主轴 唯一顶点 例3试求二次曲线 例4试求抛物线 的主轴方程 的主轴和顶点 定义4 4自二圆点引二次曲线的切线 它们的有穷交点称为二次曲线的焦点 焦点关于二次曲线的极线称为二次曲线的准线 定理4 10抛物线有一个焦点 一条准线 焦点在主轴上 迷向切线的切点在准线上 准线垂直于主轴 定理4 11对圆以外的实有心二次曲线 过圆点