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电磁学讲义 2010 03 上海交通大学物理系王欣 第一章静电场 相对于观察者静止的电荷所激发的电场称为静电场 与物体间的引力相互作用一样 电荷之间的相互作用也不是 超距作用 而是通过电场来实现的 电学起源于古希腊哲学家塞利斯 Thales公元前585年 所记载的一种现象 经摩擦后的琥珀会吸引草屑 但电学理论建立在 场 的基础上则是在18世纪以后才开始的 本章内容 1 1库仑定律 1 2电场电场强度 1 4环路定理电势及其梯度 1 5静电场的基本微分方程 1 3高斯定理 1 1库仑定律 库仑 CharlesAugustindeCoulomb1736 1806 1 电荷和电荷守恒 电荷的量子化 宏观物体所带电荷种类的不同 来源于组成物质的微观粒子所带电荷种类的不同 电子带负电 质子带正电 二者数值上严格相等 而中子不带电 通常原子呈电中性 故由原子组成的宏观物体不带电 但在外因的作用下 只要破坏物体的电中性就能使物体带电 电荷间的相互作用 同种电荷互相排斥 异种电荷互相吸引 这也是早期通过力效应定义电荷的依据 实验发现 电荷只有两种 一种与丝绸摩擦过的玻璃棒 室温下 的电荷相同 称为正电荷 另一种与毛皮摩擦过的橡胶棒的电荷相同 称为负电荷 电荷是带电体的一种属性 两种常用的起电方法摩擦起电 通过摩擦使电子从一个物体转移到另一个物体 失去电子的带正电 得到电子的带负电 感应起电 加外电场 可使电子在金属物体一部分移动到另一部分 缺少电子的部分带正电 电子过剩的部分带负电 可见物体带电的微观机制在于电子的得失 由此可以作出如下推断 任何带电体的电荷只能是电子电荷e 基本电荷 的整数倍ne 而且只能以 e为单位进行交换和变化 所以电荷的变化是不连续的 这就是电荷的量子化 注 宏观电荷实质上也可表示为ne 不过n非常大 其变化也以e为单位 但e与ne相比非常小 故从实际测量来看可认为是连续变化的 20世纪60年代物理学家提出了强子的夸克模型 构成物质的基本砖块是夸克和轻子 夸克有6种 分别带有e 3和2e 3的电量 6种夸克 现在借助大型加速器均以发现 但这并不破坏电荷的量子性 仅仅是将现在能测量到的最小电量变得比电子电荷更小而已 夸克虽在实验上被发现 但至今没有可靠证据表明它们以自由状态存在 即它们都禁闭在强子内部 不能脱离强子自由运动 近代高能物理实验证实 对于带电的基本粒子 存在 电荷对称性 即对每种基本粒子 必定存在与之对应 带等量异号电荷的另一基本粒子 反粒子 反粒子 正负电子对的产生和湮灭均由狄拉克在理论上预言 1931年 正电子是安德森在高能宇宙线中发现 正负电子对的产生和湮灭则由赵忠尧最早发现 电荷守恒定律 宏观现象 物体中电荷的代数和在电荷转移前后相等 例如摩擦起电 0 0 Q Q 感应起电 0 Q Q 接触带电 Q 0 Q1 Q2 微观现象 反应前后基本电荷的代数和相等 例如 衰变 10n 11p e 轻核聚变 21D 31T 42He 10n粒子产生 e e 粒子湮灭 e e 2 or3 由实验现象可归纳出电荷守恒定律的表述 在孤立系统中 正负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变 也可表述为 单位时间流入流出系统边界的净电荷等于系统内电荷的变化率 问题 力学指出 系统的对称性将导致守恒律 与电荷守恒律相联系的对称性是什么呢 回答 电磁场具有规范不变性 系统的对称群是U1 正是这个对称性导致了电荷守恒 电荷的相对论不变性 实验表明 质子和电子所带电荷严格等量异号 测量精度高达10 20e 否则 原子的电中性将不复存在 自然界就会面目全非 电荷电量由库仑定律来定义 库仑定律只适用于静止电荷 当电荷运动时其电量是否不变 实验表明 一个电荷的电量与它的运动状态无关 例如 比较氢分子和氦原子电中性的实验H2和He的两个核外电子运动状态差别不大 但He中质子的动量约为H2中质子的动量的100万倍 可由测不准关系来估算 因而两者运动状态大不一样 若电量与运动状态有关 则H2中质子的电量应该和He中质子的电量不同 因而H2和He不可能都是电中性的 但实验证实 氢分子和氦原子都精确地是电中性的 粒子在不同参考系看来电量不变 这称为电荷的相对论不变性 故质子的电量与它的运动状态无关 而电荷的运动状态又与所取参考系相联系 所以电荷的电量与运动状态无关也就是 同一带电 表明 在非接触物体之间 除了已知的万有引力和磁力外 又有了电力 物体因带电而彼此吸引或排斥是一个重要的发现 受牛顿力学的深刻影响 寻找电力遵循的规律成为引人瞩目的研究课题 它的发展迎来电学历史上的第一个重要的突破 我们知道每一个物理定律都有丰富 深刻的内涵和外延 但问题是 在学习和理解基本定律的时候 具体应该从哪些方面去考察它呢 这对每一个学物理专业的同学都是应该认真思考的 2 物理定律建立的一般过程 观察现象 提出问题 猜测答案 设计实验并测量 归纳寻找关系 发现规律 形成定理 定律 通常需要引进新的物理量或模型 找出新的内容 正确表达 考察成立条件 适用范围 精度 理论地位及现代含义等 下面以库仑定律为例说明之 3 库仑定律的建立 Franklin首先发现金属小杯内的带电软木小球完全不受杯上电荷的影响 在Franklin的建议下 Priestley做了实验 1766年 猜测答案 现象与万有引力有相同规律 由牛顿力学知球壳对放置在壳外的物体有引力 而放置在球壳内任何位置的物体所受引力为零 类比 电力与距离的平方成反比 即 提出问题 设计实验并测量 1769年Robinson首先用直接测量方法确定电力定律 得到两个同号电荷的斥力 而两个异号电荷的引力比平方反比的方次要小 但研究结果直到1801年才发表 1772年Cavendish按Priestley的思想设计了实验 如果实验测定带电的空腔导体的内表面确实没有电荷 则可断定电力遵从平方反比律 即 越小 内表面电荷越少 他测出 不大于0 02 未发表 100年后Maxwell整理他的大量手稿 才将此结果公诸于世 1785年Coulomb测出结果 先发明扭秤 可测10 8牛顿 精度与13年前Cavendish的结果精度相当 电斥力测定 扭秤实验 数据只有几个 且由于漏电不准确 并没有大量精确的实验证据 结果 两个带同种电荷的小球间距减少为一半和约四分之一时 其间的电力增大为4倍和16倍 电引力测定 电单摆实验 在异号电荷电引力情形 扭秤的平衡不稳定 难以测量 也不精确 结果 电引力单摆的周期正比于摆锤到电引力中心的距离 与万有引力单摆周期类比 得 且 库仑定律的表述 真空中两个静止的点电荷之间的作用力 与它们所带电量的乘积成正比 与它们之间距离的平方成反比 作用力的方向沿它们的连线 同号电荷相斥 异号电荷相吸 为q1指向q2的单位矢量 讨论 k是选取单位制后引入的常数 实验结果 类比于引力 定义了电量 对称性的结果 特征是径向性 球对称性 注意 上述公式并非都是大量实验的单纯结果 而是在事实基础上理性思维的结果 当q1 q2为1C 库仑 r 1m时 在国际单位制 SI 中 令 其中 称为真空的介电常数 或真空的电容率 库仑定律 单位制 库仑力和万有引力的量级比较 设铁原子中两个质子相距4 0 10 15m 则它们之间的库仑斥力为 而它们之间的万有引力为 两者相比 思考 虽然万有引力和库仑力相差悬殊 但在日常生活中引力的效应却更易于被人感知 为什么呢 库仑定律的成立条件 条件 静止 真空 点电荷 静止条件原指点电荷相对静止 且点电荷相对于观察者也静止 可适当放宽到静源电荷 动电荷 不能推广至动源电荷 静电荷 因为作为运动源 有一个推迟效应 此时运动电荷产生的电场不仅与两者距离有关 还与运动点电荷的速度有关 问题 以上结论是否与牛顿第三定律矛盾 结果合理吗 两个静止点电荷间的作用力满足牛顿第三定律 但静止点电荷与运动点电荷间的作用力不满足牛顿第三定律 牛顿第三定律是更普遍的动量守恒定律在特殊条件下的产物 若两个物体构成封闭系统 且不受外界作用 则系统动量守恒 其一动量的增减必等于另一动量的减增 故其间的相互作用力一定大小相等 方向相反 即满足牛顿第三定律 现在 静止点电荷与运动点电荷间的作用力不遵循牛顿第三定律 表明其一动量的增减并不等于另一动量的减增 原因在于电力是以电场为媒介物传递的 电场是特殊形式的物质 具有自身的动量 在讨论两个点电荷的相互作用时 构成封闭系统的成员除两点电荷外 还有第三者 电场介入其中 必须考虑 当两点电荷都静止时 虽然第三者 电场依然存在 但其动量不变 故作用力对等 当两点电荷一静一动时 伴随电荷的运动 相应电场的动量会有所变化 于是作用力不对等 若是将场包含进去 可以证明 依然满足牛顿第三定律 真空条件的作用在于去除其它电荷的影响 使两个点电荷只受对方作用 真空条件破坏时 除了这两个点电荷外 还可能有其它电荷存在 但这两个点电荷之间的作用力仍遵循库仑定律 并不因其它电荷存在而受影响 这正是叠加原理的结果 因此真空条件并非必要 点电荷条件 点电荷就是忽略了带电体形状 大小以及电荷分布的电荷 它是一个理想化的模型 点电荷也是一个相对的概念 当一个带电体的线度比所研究问题中涉及的距离小很多时 该带电体的形状与电荷在其上的分布均无关紧要 此带电体就可看作是点电荷 类似于质点 究竟带电体的线度比距离小多少才可看成是点电荷 却没有一个绝对的标准 它取决于讨论问题时所要求的精度 库仑定律的适用范围和精度 原子核尺度 地球物理尺度 天体物理空间物理大概无问题 只有间接证据 精度 Coulomb时代 1971年 理论地位和现代含义 库仑定律是静电学的基础 说明 带电体的相互作用问题 原子结构 分子结构 固体 液体的结构 化学作用的微观本质 都与电磁力有关 其中主要部分涉及库仑力 静电场的基本性质 若 0 后果 静电场的基本定理 高斯定理将不成立 这动摇了电磁理论的实验基础 电力平方反比律与光子的静止质量是否为零密切相关 是有限的非零值 还是一个零 二者有本质的区别 现有理论以为前提 若 后果严重 电动力学的规范不变性被破坏 电荷守恒定律不再成立 光子的偏振态要产生变化 黑体辐射公式要修改 会出现真空色散 即不同频率的光波在真空中的传播速度不再相同 光速不变原理失效 目前最好的结果 库仑定律只给出了两个点电荷之间的作用力 当考虑两个以上的静止的点电荷之间的作用时 必须补充另一个实验事实 两个点电荷之间的作用力并不因第三个点电荷的存在而有所改变 这就是 电力叠加原理 当一个点电荷q0受若干个其它点电荷 q1 q2 qn 作用时 其所受的合力等于各点电荷单独存在时对该点电荷作用的库仑力的矢量和 由库仑定律和电力叠加原理 原则上可以求出任意两个带电体之间的库仑力 二者结合构成了静电学的基础 带电体系对静止点电荷的作用力把带电体分割为许多 电荷元 分析它们对q0的作用时 均当作点电荷处理 这样整个带电体就与点电荷系等效 为求出各电荷元的电量 需要引进电荷密度式中 V和 q分别是电荷元的体积和所带电量 注 V的尺度应远大于带电体中微观带电粒子间的平均距离 但又远小于电荷分布的非均匀尺度 在该尺度 e发生显著变化 即 V是微观大 宏观小的体积元 若电荷只分布在物体表面极薄层内 可把该薄层抽象为一 带电面 相应电荷元为面电荷元 相应的电荷密度 e定义为单位面积的电量 称为面电荷密度 类似地 对线径很小的线状带电体 可定义线电荷密度 e 对电荷体密度为 e r 的带电体 利用电力叠加原理 作求得它对点电荷q0的作用力完全类似 带电面和带电线对点电荷q0的作用力依次为式中V S和L是带电体占据的体积 面积和长度 带电体系之间的作用力对体积V1 电荷密度 1和体积V2 电荷密度 2两个带电体相互作用的情形 直接推广带电体与点电荷作用力公式 得到式中F12是带电体1对带电体2的作用力 F21是是带电体2对带电体1的作用力 二力等大反向 对两带电面和两带电线之间的作用力也有类似公式 请自己写出 叠加原理是独立于库仑定律的另一规律 它是客观事实的总结 其基础是每对电荷之间的作用力都能用库仑定律来计算 而无论系统里包含多少个电荷 电力的基本特征 平方反比律 与电量成正比 径向性和球对称性 可叠加性 电力的叠加原理绝非自明之理 一般而言当有两种原因同时存在时 其结果往往并不局限于只能是一个一个孤立的原因形成结果的简单叠加 通常当原因重叠时 会发生两者相乘的效果 但是 此处电力的叠加原理表现出来的单纯关系 完全是根据实验而确定的事实 电力的叠加原理不是普遍成立的 在某些非常小的范围内如原子或亚原子范围 叠加原理就不成立 1 2电场电场强度 法拉第 MichealFarady1791 1867 1 电场 库仑定律给出了两个点电荷间相互作用的定量关系 问题 相互作用是怎样进行的 即 是否需要媒介物的传递 是否需要传递时间 电荷电荷 直接 瞬时 超距作用 电荷电荷 需要媒介 时间 近距作用 近代物理证明电场传递相互作用 近距作用观点下的库仑定律 在电荷单独存在的场合 其周围的空间是充满电性的 可是我们感觉不到 要知道它们的惟一办法 是用另一个电荷来破坏所建立的电性 在这个被破坏的周围介质中 就会表现出吸引力或排斥力 这种充满某种电性的空间就称作电场 它可定义为 电场是 不考虑重力影响的 某一空间中 对静止电荷具有作用力的空间 注意 在静电情形 无法判断 超距作用 和 近距作用 谁是谁非 但在场源运动时 实验证明场传递相互作用的观点是正确的 和实物物质一样 场也具有能量 动量和角动量 甚至可以脱离场源单独存在 场也是物质存在的一种形式 近代物理学研究表明 电荷电场电荷 电荷能在其周围空间激发电场 而电荷之间的相互作用力通过电场来实现 电场的重要特性是对处在场中的其它静止电荷有力的作用 研究和认识电场的两个基本途径 力和能下面先从电场对电荷的力入手 并采用电荷作为研究和检测电场的工具 由 1 1知 比值F q0与q0大小无关 只与施力带电体的电荷分布及q0的位置有关 它等于单位正电荷在r处受到的库仑力 它反映了电场本身的性质 2 电场强度 大小 单位正电荷在该点受到的电场力的大小 方向 与单位正电荷所受的电场力的方向一致 单位 电量充分小 不改变所研究带电体的电荷分布 几何线度充分小 便于精确测量空间各点场强 定义电场强度矢量 q0为测量电场强度而引入 叫试探电荷 满足 分析静电相互作用可分两步进行 先求出施力带电体的电场强度 再由公式求出q0所受的力 通常 电场强度是空间位置的矢量函数 各类带电体的电场强度 离点电荷q 场源 为r的P点放一试探电荷q0 则q的场强为 点电荷的场强 点电荷系的场强 设试探电荷q0处于点电荷系 q1 q2 qn 产生的电场中的P点 由电力叠加原理 故P点的电场强度为 场强叠加原理 点电荷系在某点产生的场强等于各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和 从物理上讲 叠加原理意味着产生电场的各个源电荷对总电场的贡献是独立的 在数学上 这将导致电场强度满足线性的偏微分方程 电荷连续分布带电体的场强 将带电体看作无穷多点电荷组成的点电荷系 其中某电荷元dq在场点P的场强为 故带电体在场点P的场强为 电场强度的计算 当场源电荷的分布已知时 利用场强叠加原理 原则上可以求出任意带电体的电场分布 在具体求电场强度时 由于它是一个