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圆锥曲线的“内部”作用山东省泰安第一中学 秦祥军我们知道，下列不等式：、表示的区域分别是圆的内部、椭圆的内部、抛物线的内部。有关圆锥曲线的问题，我们常常是从定义和性质出发来考虑的，至于圆锥曲线的内部区域往往不被重视，其实圆锥曲线的内部在数学中有许多重要的作用。一、能解决一类直线和圆锥曲线的位置关系例1：直线，与椭圆恒有公共点，求的取值范围。分析：本题的常规解法是用直线的方程与椭圆的方程联立，整理成关于的一元二次方程，利用判别式，但如果利用椭圆的内部，可使问题的解决更简洁明了。因为直线恒过定点，所以直线和椭圆有公共点的充要条件是点在椭圆上或内部。故，又由题设可知且。故二、能解决一类对称问题例2：已知抛物线上有关于直线对称的相异两点，求的取值范围。分析：本题的解法有多种，但都比较繁琐，唯有用抛物线的内部为最简单。设、是抛物线上关于直线对称的两点。则有所以线段AB的中点坐标为，因为点在抛物线内部，所以有，故解之得的取值范围是三、能解决一类最值问题例3：如果实数对表示的点在椭圆上或其内部，求的最大值和最小值。分析：本题并不是很难解决的问题，用切线法或三角代换法能迅速求解。下面给出一种利用椭圆内部的解法。设，所以实数对可写成，因其表示的点在椭圆上或椭圆内部，则有故，即在上有解。利用代数知识可求得故四、能解决一类含绝对值的不等式例4：解不等式分析：在复平面上，不等式表示中心在，以与为焦点，长轴长为8的椭圆内部。而椭圆与实坐标轴的交点为和。所以不等式的解为球心角的一个公式及应用求两点间的球面距离是立体几何的难点之一，求球面距离的关键是求球心角。笔者在教学过程中，总结出了一个球心角的公式。现奉献给读者，以供参考。定理：设A、B是地球表面上两点，A位于，B位于。其中、是纬度，、是经度。记是A、B两点的经度差，。设A、B两点的球心解为，则有）当A、B两点在赤道面同侧时取“+”，当A、B在赤道面异侧时取“”）证明：先证明A、B两点在赤道面的异侧时的情况。如图所示，设A、B所在的纬线圈分别为圆、圆，求心为。则、三点共线，且设地球半径为R，则有，。由异面直线上两点间的距离公式得，而在中由余弦定理可得，即，整理即得同理可证，当A、B在赤道面同侧时有至此定理证毕。例1：设地球面上有A、B两点，它们分别在北纬和纬线圈上，且经度差为，如果记地球半径为的，求A、B间的球面距离。解：设A、B间的球心角为，则有A、B间的球面距离为例2：地球面上有A、B两点，A处在东经、北纬，B处在东经、南纬，如果地球半径为的，求A、B间的球面距离。解：设A、B间的球心角为，则有，A、B间的球面距离为例3：地球面上同在北纬上的A、B两点分别在东经和西经，地球半径为R，求A、B间的球面距离。解：由题设可知A、B两点间的经度差为，设A、B间的球心角为，则有，A、B间球面距离为求两点间的球面距
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