曹瑞彬--初等数论.doc

竞赛中数论选讲(扬州)启东中学 曹瑞彬例1设nN+，f(n)=n(n2-1)(n2-5n+26)，求证：120|f(n)。 例2设p为奇质数，证明 例3试证：A=不是整数。例4对于正整数n与k，定义：F(n，k)=求证：F(n，1)|F(n，k)。例5求同时满足下条件的一组整数a、b， (1)ab(a+b)不能被7整除；(2) (a+b)7-a7-b7能被77整除。例6证明：对于任一正整数n，存在一个正整数满足下列性质： (1)它有n位数；(2)它的每位数字都不是零；(3)它能被其各位数字之和整除。 例7给定大于1的自然a、b、n，An-1和An是a进制数，Bn-1和Bn是b进制数，An-1、An、Bn-1、Bn定义为： An=(xnxn-1x)a，An-1=(xn-1xn-2x0)a，Bn=(xnxn-1x)b，Bn-1=(xn-1xn-2x0)b，其中xn0，xn-10。证明：当ab时，有。 例8给定正整数n，已知砝码重量(克)都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，3，n克的所有物品。（1） 求k的最小值f(n)；（2） 当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。例9定义函数：f：N+N+如下：f(1)=1，f(3)=3，且对nN，有f(2n)=f(n)，f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)，f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)，问有多少个nN+，且n2009，使f(n)=n。例10设整数a、b、c满足a+b+c=0，记d=a2011+b2011+c2011。证明：|d|不是素数。 例11设a、b、c、d为正整数，证明：a4b+d-a4c+d被240整除。 例12 已知数列an，其中a1=1，a2=2，an+2=试证：对一切nN*，an0（1988年全国高中竞赛试题）例13 设E=1，2，3，200，G=a1，a2，a100E且G具有下列两条性质： 对任何1i1，证明：111不是完全平方数。例16已知a0=0，a1=1，an+1=8an-an-1，n=1，2，求证：在数列an中没有形如35(、为正整数)的项。例17 数列xn为1,3，5，满足递推关系：xn+2=xn+1+2xn，nN*。数列yn为7,17，55，满足递推关系：yn+2=2yn+1+3yn，nN*。证明：这两个数列没有相同的项。例18证明：对任意整数，存在一个次多项式具有如下性质：（1）均为正整数；（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有 例19. 记m为不超过实数m 的最大整数设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有xny= n 1成立证明：xy =1，且y是大于1的无理数例20.设k，l是给定的两个正整数，证明：存在无穷多个正整数mk，使得C与l互素21.设f(x)是周期函数，T和1是f(x)的周期且0T1证明：( I ) 若T为有理数，则存在素数p，使是f(x)的周期；(II)若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列an满足1anan10(n1，2，)，且每个an(n1，2，)都是f(x)的周期 例22. 求出所有小于10的正整数M，使得5整除2009M+M2009。例23证明：数列1,31