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第三章 第三章 地图数学基础地图数学基础 通过天文大地测量 地球重力测量 卫星大地测量等 精密测量 发现 通过天文大地测量 地球重力测量 卫星大地测量等 精密测量 发现 地球并不是一个正球体 而是一个极 半径略短 赤道半径略长 北极略突出 南极略扁平 近于梨形的椭球体 地球并不是一个正球体 而是一个极 半径略短 赤道半径略长 北极略突出 南极略扁平 近于梨形的椭球体 3 1 地球的形状和大小地球的形状和大小 一 地球的自然表面 浩瀚宇宙之中地球是一个表面光滑 蓝色美 丽的正球体 机舱窗口俯视大地 地表是一个有些微起伏 极其复杂的表面 机舱窗口俯视大地 地表是一个有些微起伏 极其复杂的表面 由于地球的自然表面凸凹不平 形态 极为复杂 显然不能作为测量与制图的基准 面 应该寻求一种与地球自然表面非常接近 的规则曲面 来代替这种不规则的曲面 地球的自然表面并 非光滑 珠穆朗玛 与马里亚纳海沟之 间的高差达近 20km 二 地球的物理表面二 地球的物理表面 一 大地水准面 一级逼近 假想将静止的平均海水面延伸到大陆内假想将静止的平均海水面延伸到大陆内假想将静止的平均海水面延伸到大陆内假想将静止的平均海水面延伸到大陆内 部 形成一个连续不断的 与地球比较接近部 形成一个连续不断的 与地球比较接近部 形成一个连续不断的 与地球比较接近部 形成一个连续不断的 与地球比较接近 的形体 其表面称为大地水准面 的形体 其表面称为大地水准面 的形体 其表面称为大地水准面 的形体 其表面称为大地水准面 地球自然表面 地球椭球面 平均海水面 它实际是一个起伏不平的重力等位面 地球物 理表面 大地水准面的意义大地水准面的意义 1 地球形体的一级逼近 对地球形状的很好近似 其面上高出与面 下缺少的相当 2 起伏波动在制图学中可忽略 对大地测量和地球物理学有研究价值 但 在制图中 均把地球当作正球体 3 重力等位面 可使用仪器测得海拔高程 某点到大地水 准面的高度 三 地球体的数学表面 三 地球体的数学表面 椭球体表面 大地水准面仍然不是一个规则的曲面 因为重力线方向并非恒指向地心 导致处处 与重力线方向正交的大地水准面也不是一个 规则的曲面 大地水准面实际上是一个起伏 不平的重力等位面 为了测量成果的计算和制图工作的需 要 选用一个同大地体相近的 可以用数 学方法来表达的旋转椭球体来代替地球 这个旋转椭球是一个椭球绕其短轴旋转而 成 其表面成为旋转椭球面 为了测量成果的计算和制图工作的需 要 选用一个同大地体相近的 可以用数 学方法来表达的旋转椭球体来代替地球 这个旋转椭球是一个椭球绕其短轴旋转而 成 其表面成为旋转椭球面 旋转椭球体 地球椭球体 地球的数学 表面 对地球形体的二级逼近 用于测量 计算的基准面 地球椭球体三要素 长轴长轴a 赤道半径 短轴短轴b 极半径 椭球扁率扁率 f a b a Equatorial Axis Polar Axis North Pole South Pole Equator a b 对地球形状 a b f 测定后 还必须确定大地水 准面与椭球体面的相对关系 即确定与局部地区大 地水准面符合最好的一个地球椭球体 参考椭 球体 这项工作就是参考椭球体定位 通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上 并求出 两者各点垂直的偏差 从数 学上给出对地球形状的三 级逼近 地球椭球体定位 对地球形体的三级逼近 地球椭球体定位地球椭球体定位 在天文大地测量中首先选取一 个对一个国家比较适中的大地测量原点 并从此点 出发通过事先布设的三角网点进行几何测量和大地 经纬度测量 逐一求出各网点的垂线偏差 再以上 述的测量结果将事先设置的地球椭球面位置调整到 最理想的位置上 这种定位 相对于全球而言 只 能是局部定位 局部定位的地球椭球体 称为参考 椭球体 国际上有多种大地测量原点和参考椭球 测量与制图工作将以参考椭球体表面作为几何 参考面 将大地体上进行的大地测量结果归算到这 一参考面上 中国1952年前采用海福特 Hayford 椭球体 1953 1980年采用克拉索夫斯基椭球 体 坐标原点是前苏联玻尔可夫天文 台 自1980年开始采用 GRS 1975 国际 大地测量与地球物理学联合会 IUGG 1975 推荐 新参考椭球体系 并确定陕西泾阳 县永乐镇北洪流村为 1980西安坐标系 大 地坐标的起算点 陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 1980西安坐标系西安坐标系 大地坐标的起 算点 大地原点 3 2 地球坐标系与大地定位地球坐标系与大地定位 地球表面上的定位问题 是与人类的生产活动 科 学研究及军事国防等密切相关的重大问题 具体而言 就是球面坐标系统的建立 一 一 地理坐标 用经纬度表示地面点位的球面坐标 天文经纬度 大地经纬度 地心经纬度 天文经纬度 表示地面点在天文经纬度 表示地面点在大地水准面大地水准面大地水准面上的大地水准面上的 位置 用天文经度和天文纬度表示 位置 用天文经度和天文纬度表示 天文经度 观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角 在地球上定义为本初子午面与观测点之间 的两面角 天文纬度 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角 大地经纬度 表示地面点在参考椭球面上大地经纬度 表示地面点在参考椭球面上 的位置 用大地经度的位置 用大地经度 大地纬度 大地纬度 和大地 高 和大地 高 H 表示 表示 大地经度 指参考椭球 面上某点的大地子午面与 本初子午面间的两面角 东经为正 西经为负 大地纬度 指参考椭球 面上某点的垂直线 法线 与赤道平面的夹角 北纬 为正 南纬为负 地心经纬度 即以地球椭球体质量中心为基点 地 心经度同大地经度 地心经纬度 即以地球椭球体质量中心为基点 地 心经度同大地经度 地心纬度是指 地心纬度是指参考椭球面参考椭球面 上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 在大地测量学中 常以 天文经纬度定义地理坐标 在地图学中 以大地经 纬度定义地理坐标 在地理学研究及地图学 的小比例尺制图中 通常将 椭球体当成正球体看 采用 地心经纬度 二 中国的大地坐标系统 1 中国的大地坐标系 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参 考椭球 ICA 75椭球参数 a 6 378 140m b 6 356 755m f 1 298 257 2 中国的大地控制网中国的大地控制网 由平面控制网和高程控制网组成 控制点遍布 全国各地 由平面控制网和高程控制网组成 控制点遍布 全国各地 平面控制网平面控制网 按统一规范 由精确测定地理坐标的地面点组成 由三角测量或导线测量完成 依精度不同 分为 四等 按统一规范 由精确测定地理坐标的地面点组成 由三角测量或导线测量完成 依精度不同 分为 四等 高程控制网高程控制网 按统一规范 由精确测定高程的地面点 组成 以水准测量或三角高程测量完成 依精度不同 分为四等 中国高程起算面是 黄海平均海水面 1956年在青岛观象山设立了水准原点 其他各控制点的绝对高程均是据此推 算 称为1956年黄海高程系 1987年国家测绘局公布 启用 1985国家高程基准 取代 黄海平均海水面 其比 黄海平均海水面 上升 29毫米 青岛观象山 水准原点 3 2 地图投影的基本概念地图投影的基本概念 一 问题的提出 一 问题的提出 地图的数学基础地图的数学基础 是指使地图上各种地理要素与相应的地 面景物之间保持一定对应关系的数学基础 包括 经纬网 坐标网 大地控制点 比例 尺等 经纬网 坐标网 大地控制点 比例 尺等 两个矛两个矛 盾盾 球面与平面之间的矛盾球面与平面之间的矛盾 大与小的矛盾大与小的矛盾 将椭球面上的客观世界表现在有限的平 面上 首先要实现由球面到平面的转换 如何转换 沿经线直接展开 沿纬线直接展开 沿经线直接展开 沿经线直接展开 可见 地球椭球面是不可展开的面 无论如 何展开都会产生褶皱 拉伸或断裂等无规律变 形 无法绘制科学 准确的地图 因此解决 球面与平面之间的矛盾球面与平面之间的矛盾 将地球椭球面上的点转换成平面上的点 将地球椭球面上的点转换成平面上的点 大与小的矛盾大与小的矛盾 地图投影 比例尺 地图投影 比例尺 二 投影方式 二 投影方式 1 平行投影平行投影 2 透视投影透视投影 3 广义投影3 广义投影 三 地图投影实质 三 地图投影实质 建立平面上的点 用平面直角坐标或极坐 标表示 和地球表面上的点 用纬度和经度 表示 之间的函数关系 用数学式表达这种 关系 就是 建立平面上的点 用平面直角坐标或极坐 标表示 和地球表面上的点 用纬度和经度 表示 之间的函数关系 用数学式表达这种 关系 就是 2 1 fy fx 四 地图比例尺 解决大与小 的矛盾 解决大与小 的矛盾 1 地图比例尺的含义 当制图区域比较小 景物缩小的比率也 比较小时 图上长度与相应地面之间的长度 比例 当制图区域相当大 景物缩小的比率也 相当大时 对地球半径缩小的比率 为主比 例尺 在地图上体现为个别的点或线 因 此 用图者不可随意量算 图上也不可绘制 直线比例尺 2 地图比例尺的表示 1 数字式比例尺 写成比的形式 1 10000 1 10000 2 文字式比例尺 一万分之一 图上1厘 米等于实地1公里 3 图解比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 直线比例尺 以直线线段形式标明图上线段长度对所对 应的地面距离 斜分比例尺 微分比例尺 根据相似三角形原 理制成 可以量取比例尺基本长度单位的百 分之一 复式比例尺 投影比例尺 小比例尺地图上使用 根 据地图主比例尺和地图投影长度变形分布规律设计 的一种图解比例尺 通常是对每一条纬线单独设计 一个直线比例尺 再组合起来 4 特殊比例尺 变比例尺 将主区以外部分的距离按适当比 例相应压缩 而主区仍按原规定的比例表示 无级别比例尺 因数字制图而出现 可以把 存贮数据精度和内容详细程度都比较高的地 图数据库 称为无级别比例尺地图数据库 3 3 变形椭圆变形椭圆 一 投影变形的概念一 投影变形的概念 1 投影变形产生原因投影变形产生原因 地球的形状地球的形状 2 投影变形的概念 地图投影不能保持平面与球面之间在 长度 距离 角度 形状 面积等方 面完全不变 地图投影不能保持平面与球面之间在 长度 距离 角度 形状 面积等方 面完全不变 地球仪上经纬线网格和地图上比较 球面经纬网经过投影之后 其几何特征 受到扭曲 地图投影变形 长度 距离 角度 形状 面积 二 变形椭圆二 变形椭圆 取地面上一个微分圆 小到可忽略地球曲面的 影响 把它当作平面看待 它投影到平面上通常 会变为椭圆 通过对这个椭圆的研究 分析地图投 影的变形状况 这种图解方法就叫变形椭圆 取地面上一个微分圆 小到可忽略地球曲面的 影响 把它当作平面看待 它投影到平面上通常 会变为椭圆 通过对这个椭圆的研究 分析地图投 影的变形状况 这种图解方法就叫变形椭圆 X m X 为经线长度比 Y n Y 为纬线长度比为纬线长度比 X m X Y n Y 代入 X2 Y2 1 得 得 微小圆 变形椭圆 22 22 1 XY mn 该方程证明 地球面上的微小 圆 投影后通常会变为椭圆 即 以O 为原点 以相交成 角的两共 轭直径为坐标轴的椭圆方程式 主方向主方向 底索定律 无论采用何种转换方法 球面 上每一点至少有一对正交方向线 在投影平面上仍 然保持其正交关系 在投影后仍保持正交的一对 线的方向成为主方向 取主方向为作为微分椭圆的 坐标 长轴方向 极大值 a 短轴方向 极小值 b 经线方向 m 纬线方向 n 据阿波隆尼定理阿波隆尼定理 有 m2 n2 a2 b2 m n sin a b 主方向主方向 特殊方向特殊方向 通过变形椭圆形状显示变形特征通过变形椭圆形状显示变形特征 结论 结论 微分圆长 短半轴的大小 等于该点 主方向的长度比 也就是说 如果一 点上主方向的长度比 极值长度比 已经确 定 则微分圆的大小和形状即可确定 r r r a b r r实地上的一 个微分圆 图03 0 5 通过变形椭圆形状显示变形特征 三 投影变形的性质和大小三 投影变形的性质和大小 长度比和长度变形 长度比和长度变形 投影面上一微小线段 变形椭圆半径 和球 面上相应微小线段 球面上微小圆半径 已按规 定的比例缩小 之比 表示长度比长度比 V 表示长度变形长度变形 长度比是变量 随位置和方向的变化 而变化 d d s s 1V 0 不变 0 变大 0 变大 0 变小 角度变形 角度变形 投影面上任意两方向线所夹之角与球面上投影面上任意两方向线所夹之角与球面上 相应的两方向线夹角之差 称为角度变形 相应的两方向线夹角之差 称为角度变形 以以 表示角度最大变形表示角度最大变形 最大角度变形可用极值长度比a b表示 sin 2 ab ab 实用上常以下公式求得 tan 45 2 b a 长度变形是各种变形的基础 长度变形是各种变形的基础 3 4 地图投影的分类地图投影的分类 1 按地图投影的构成方法分类 1 几何投影几何投影 源于透视几何学原理 以几 何特征为依据 将椭球面上的经纬线网投影到几 何面上 然后将几何面展为平面 源于透视几何学原理 以几 何特征为依据 将椭球面上的经纬线网投影到几 何面上 然后将几何面展为平面 方位投影方位投影 圆柱投影圆柱投影 圆锥投影圆锥投影 方位投影方位投影 以平面作投影面 使平面与球 面相切或相割 将球面上的经纬线投影到平 面上而成 以平面作投影面 使平面与球 面相切或相割 将球面上的经纬线投影到平 面上而成 根据球面与投影面的相对部位不同 分为正轴投 影 横轴投影 斜轴投影 正轴方位投影 投影面与地轴相垂直 横轴方位投影 投影面与地轴相平行 斜轴方位投影 投影面与地轴斜交 圆柱投影圆柱投影 以圆柱面作投影面 使圆柱面 与球面相切或相割 将球面上的经纬线投影 到圆柱面上 然后将圆柱面展为平面而成 以圆柱面作投影面 使圆柱面 与球面相切或相割 将球面上的经纬线投影 到圆柱面上 然后将圆柱面展为平面而成 正轴 圆柱轴与地轴重合 横轴 圆柱轴与地轴垂直 斜轴 圆柱轴与地轴斜交 圆锥投影圆锥投影 以圆锥面作投影面 使圆锥面 与球面相切或相割 将球面上的经纬线投影 到圆锥面上 然后将圆锥面展为平面而成 以圆锥面作投影面 使圆锥面 与球面相切或相割 将球面上的经纬线投影 到圆锥面上 然后将圆锥面展为平面而成 正轴 圆锥轴与地轴重合 横轴 圆锥轴与地轴垂直 斜轴 圆锥轴与地轴斜交 正轴投影的经纬线形状正轴投影的经纬线形状 a 正轴方位 经线为放射状直线 纬线为同心 圆 b 正轴圆柱 经纬线均为一组平行且间隔相等的 直线 纬线与经线垂直 c 正轴圆锥 经线为放射状直线束 纬线为同心 圆 正轴投影的变形特点正轴投影的变形特点 1 方位投影变形特点方位投影变形特点 等变形线与纬圈一致 在切方位投影中 切点上无变形 随着远离切点 变形增大 在割方位投影中 在所割小圆上 角度 变形与 切 的情况一样 其他变形 长度变形与 面积变形 则自所割小圆向内与向外增大 等变形线与纬圈一致 在切方位投影中 切点上无变形 随着远离切点 变形增大 在割方位投影中 在所割小圆上 角度 变形与 切 的情况一样 其他变形 长度变形与 面积变形 则自所割小圆向内与向外增大 1 2 a 切方位 b 割方位 图04 14 方位投影等变形线 2 圆柱投影变形特点 圆柱投影变形特点 变形随纬度变化 与经差无关 变形随纬度变化 与经差无关 在切圆柱投影中 赤道无变形 变形自赤道 向两侧随纬度的增加而增大 在割圆柱投影中 在两条标准纬线上无变 形 变形自标准纬线向内和向外增大 在切圆柱投影中 赤道无变形 变形自赤道 向两侧随纬度的增加而增大 在割圆柱投影中 在两条标准纬线上无变 形 变形自标准纬线向内和向外增大 适宜于低纬度沿纬线伸展的地区 适宜于低纬度沿纬线伸展的地区 3 圆锥投影变形特点 圆锥投影变形特点 变形只与纬度有关 与经差无关 同一纬线上的变 形是相同的 变形只与纬度有关 与经差无关 同一纬线上的变 形是相同的 切圆锥投影中 标准纬线上长度比等于 切圆锥投影中 标准纬线上长度比等于n 1 其 余纬线上长度比均大于 其 余纬线上长度比均大于1 并向南 北方向增大 在割圆锥投影中 标准纬线 并向南 北方向增大 在割圆锥投影中 标准纬线n1 n2 1 变形自标准纬 线 变形自标准纬 线 向内 向外增大 在向内 向外增大 在 之间之间n1 适合中纬度处沿纬线伸展的制图区域之投影适合中纬度处沿纬线伸展的制图区域之投影 21 21 2 非几何投影 非几何投影 根据某些条件 用 数学解析法确定球面与平面之间点与点的 函数关系 伪方位投影 伪方位投影 在正轴方位投影的基础上 纬线仍投影为同心圆 根据某些条件改变 经线形状而成 除中央经线为直线外 其 余均投影为对称中央经线的曲线 且交于 纬线的共同圆心 特点 特点 可设计等变形线与制图区域轮廓近似一 致 如 椭圆形 卵形 三角形 三叶玫瑰 形和方形等规则几何图形 全国疆域全图的 经纬网略图及角 度等变形线 全国疆域全图的 经纬网略图及角 度等变形线 伪圆柱投影 伪圆柱投影 在正轴圆柱投影基础上 规定在正轴圆柱投影基础上 规定 纬线纬线仍为仍为平行线平行线 根据某些条件改变经线形 状而成 除中央经线为直线外 其余均投影 为 根据某些条件改变经线形 状而成 除中央经线为直线外 其余均投影 为对称中央经线的曲线对称中央经线的曲线 以等面积投影较多以等面积投影较多 桑逊投影 桑逊投影 Sanson Flamsteed 等面积 中央经线和纬线无长度变形 纬线越高之处变形越大 等面积 中央经线和纬线无长度变形 纬线越高之处变形越大 适合沿赤道 和沿中央经 线伸展方向 的地区 适合沿赤道 和沿中央经 线伸展方向 的地区 伪圆锥投影 伪圆锥投影 在圆锥投影基础上 规定纬线 仍为 在圆锥投影基础上 规定纬线 仍为同心圆弧同心圆弧 根据某些条件改变经线形状 而成 除中央经线为直线外 其余均投影为 根据某些条件改变经线形状 而成 除中央经线为直线外 其余均投影为 对称中央经线的曲线对称中央经线的曲线 图彭纳投影04 23 607 080 14013012011010090 5040 3020 50 4 0 3 0 20 10 5 1 40 30 1 5 10 20 3 0 40 1 60 5 10 20 30 40 50 1 5 1 0 20 30 0 807060 6070 80 彭纳等面积伪圆锥投影 彭纳等面积伪圆锥投影 多圆锥投影 多圆锥投影 设想有更多的圆锥面与球面相 切 投影后沿一母线剪开展平 设想有更多的圆锥面与球面相 切 投