江苏省灌南高级中学高三数学复习 函数与方程导学案.doc

江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：函数与方程考情分析预测回顾20082011年的高考题，在填空题中主要考查了函数的基本性质(单调性、奇偶性)以及导数的几何意义，即切线问题，难度基础题、中档题、难题都有涉及在解答题中，有关函数模型的应用题的考查在2009年和2011年都有涉及，在压轴题中2008和2009年考查了函数的基本性质，在2010和2011年考查了用导数研究函数的性质，在这些问题的考查中都有涉及数学思想方法的考查值得注意的是在20082011年的高考题中没有单独考查的内容有：指数和对数的运算、幂函数、函数与方程、导数的概念这些考试说明中出现的知识要点在复习时要兼顾预计在2012年的高考题中，(1)填空题依然是对函数的性质、函数的值域和函数图象的运用相关的考查，难度不一(2)在解答题中，函数模型的实际运用依然会是考查热点，函数综合性质的考查依然是考查的难点，数形结合思想和分类讨论思想的是考查的重点备考策略(1)基本初等函数和函数的应用：掌握以基本初等函数或其组合为模型的函数基本性质(如单调性和奇偶性)研究的基本方法；掌握在对复杂函数的性质进行研究时，借助于函数图象研究和对函数解析式的简化处理(如还原法)的运用；掌握含有量词的命题的常规化归方法(2)导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究，这是高考命制压轴题的一个考查点专题一函数的性质主要包括：单调性、奇偶性、周期性、值域2单调性的研究(1)定义：单调递增函数满足：0或f(x)0，单调递减函数满足：0或f(x)0；(2)判断方法：定义法、图象法、导数法复合函数yf(g(x)可用“同增异减”的法则判断3.奇偶性的研究(1)定义：定义域关于原点对称；奇函数f(x)f(x)0；偶函数f(x)f(x)；(2)判断方法：定义法、图象法、复合函数yf(g(x)可用“有偶则偶，无偶则奇”的判断法则4周期性定义及判断方法定义：f(xt)f(x)恒成立，则t为f(x)的一个周期5值域求解常见思路定义域研究函数解析式结构的研究单调性研究极值判定比较大小确定最值要点热点探究探究点一动态函数单调性的研究动态函数一般是指函数解析式中含有参数的函数，如yx2ax(x1,2)，参数取值会影响函数的性质和图象，需要分类进行研究例1 已知函数f(x)x3x2xc.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)f(x)x3ex，若函数g(x)在x3,2上单调递增，求实数c的取值范围【解答】 (1)因为f(x)x3x2xc，从而f(x)3x22x13(x1)，列表如下：x1(1，)f(x)00f(x)有极大值有极小值所以f(x)的单调递增区间是和(1，)；单调递减区间是.(2)函数g(x)(f(x)x3)ex(x2xc)ex，有g(x)(2x1)ex(x2xc)ex(x23xc1)ex.因为函数g(x)在区间3,2上单调递增，等价于h(x)x23xc10在3,2上恒成立，只要h(2)0即可，解得c11，所以c的取值范围是11，)【点评】 (1)含有参数的动态函数中若参数出现在函数的常数项，则不影响函数的单调性；(2)函数g(x)在a，b上单调递增，等价为g(x)0在a，b上恒成立(3)在解决本题的第二问中，不难发现形如g(x)f(x)ex或g(x)再求导后，所得导函数方程与ex无关探究点二函数单调性与奇偶性的综合运用函数性质中的奇偶性反映的是函数整体的性质，单调性反映的是函数局部的性质，故函数奇偶性与单调性结合在一起主要是考查对局部和整体的不同认识例2 设a(0a0，则t的取值范围是_(0，)【解析】 因为f(x)是r上的奇函数，且在(0，)上是增函数，故f(x)在区间(，0)上也是增函数画出函数f(x)的草图当t1时，因为0a1，所以logat0.由图象可得logat0，解得1t；当0t1时，因为0a0.由图象可得logat，解得0t，综上，t(0，)【点评】 (1)函数的奇偶性对单调性的影响为：偶函数关于y轴对称，故单调性相反；奇函数关于原点对称，故单调性不变(2)对于抽象函数问题的研究，在得到函数的性质之后，可先画出抽象函数的“草图”，再根据图象来解决相关问题，比较直观，利于问题解决已知函数yf(x)是定义在r上的奇函数，且当x(，0)时不等式f(x)xf(x)ab【解析】 令g(x)xf(x)，则由于f(x)是r上的奇函数，所以g(x)为r上的偶函数，又当x(，0)时不等式f(x)xf(x)0成立，即g(x)f(x)xf(x)0成立，故当x(，0)时，g(x)单调递减，从而g(x)在(0，)上单调递增又由于130.3g(30.3)g(log3)，即cab.探究点三动态函数的值域求解 动态函数值域的研究的基础是其单调性的研究，值域是作为单调性研究的一个应用而存在的在这类问题处理时，也需要分类讨论思想例3 已知函数f(x)x2alnx(a为实常数)(1)若a2，求证：函数f(x)在(1，)上是增函数；(2)求函数f(x)在1，e上的最小值及相应的x值【解答】 (1)证明：当a2时，f(x)x22lnx.当x(1，)时，f(x)0，故函数f(x)在(1，)上是增函数(2)f(x)，当x1，e时，2x2aa2，a2e2若a2，f(x)在1，e上非负(仅当a2，x1时，f(x)0)，故函数f(x)在1，e上是增函数，此时f(x)minf(1)1.若2e2a2，当x时，f(x)0；当1x时，f(x)0，此时f(x)是减函数；当0，此时f(x)是增函数故f(x)minfln.若a2e2，f(x)在1，e上非正(仅当a2e2，xe时，f(x)0)，故函数f(x)在1，e上是减函数，此时f(x)minf(e)ae2.综上可知，当a2时，f(x)的最小值为1，相应的x值为1；当2e2a0，若f(x)和g(x)在区间1，)上单调性一致，求b的取值范围；(2)设a0，故3x2a0，进而2xb0，即b2x在区间1，)上恒成立，所以b2.因此b的取值范围是2，)(2)令f(x)0，解得x.若b0，由a0得0(a，b)又因为f(0)g(0)ab0，所以函数f(x)和g(x)在(a，b)上不是单调性一致的因此b0.现设b0.当x(，0)时，g(x)0.因此当x时，f(x)g(x)0.故由题设得a且b，从而a0，故函数f(x)和g(x)在上单调性一致因此|ab|的最大值为.已知定义域为d的函数f(x)，如果对任意xd，存在正数k，都有f(x)k|x|成立，那么称函数f(x)是d上的“倍约束函数”已知下列函数：f(x)2x；f(x)2sin；f(x)；f(x).其中是“倍约束函数”的是_(写出所有满足要求的函数的序号)【解析】 当k2时，2x2|x|恒成立，故是“倍约束函数”；当x0时，f(0)k0，故不存在相应k，使为“倍约束函数”；因为，故存在k，满足题意；因为所以，故存在k，满足题意故符合条件的序号为.专题二分段函数主干知识整合1分段函数(1)分段函数定义：对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数它是一个函数，而不是几个函数(2)定义域：各段函数定义域的并集(3)值域：各段函数值域的并集2分段函数的常见问题(1)分段函数的图象(2)分段函数的函数值(3)分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即可(4)分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇(偶)函数，再由x0，x0，分别代入各段函数式计算f(x)与f(x)的值，若有f(x)f(x)，当x0有定义时f(0)0，则f(x)是奇函数；若有f(x)f(x)，则f(x)是偶函数要点热点探究探究点一分段函数的单调性分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减，不符合，则必须分开说明单调性例1 若f(x)是r上的单调递增函数，则实数a的取值范围为_4,8)【解析】 因为f(x)是定义在r上的增函数，故yax和yx2均为增函数，所以a1且40，即1a8.又画出该分段函数图象，由图象可得，该函数还必须满足：a112，即a4.综上，a的取值范围为4a0)(1)当a1时，求函数f(x)在区间1，e上的最大值；(2)当x1，)时，求f(x)的最小值【解答】 (1)当a1，x1，e时，f(x)x2lnx1，f(x)2xf(1)1，所以f(x)在1，e上单调递增，所以f(x)maxf(e)e2.(2)当xe时，f(x)x2alnxa，f(x)2x，a0，f(x)0恒成立，f(x)在e，上为增函数，故当xe时，yminf(e)e2.当1xe时，f(x)x2alnxa，f(x)2x.(i)当1，即0a2时，f(x)在(1，e)上为正数，所以f(x)在区间1，e)上为增函数，故当x1时，ymin1a，且此时f(1)f(e)e2；(ii)当1e，即2a2e2时，f(x)在上小于0，在上大于0，所以f(x)在区间上为减函数，在上为增函数，故当x时，yminln，且此时ff(e)e2；(iii)当e，即a2e2时，f(x)在(1，e)上为负数，所以f(x)在(1，e)上为减函数，故当xe时，yminf(e)e2.综上所述，函数yf(x)的最小值ymin【点评】 一般地，含有绝对值符号的函数也是一种分段函数，如本题所给函数f(x)x2a|lnx1|，所以在研究其值域时，首先要通过分类讨论去掉其绝对值，再讨论每一段函数的单调性，最后再比较各段函数的最小值，从而求得函数的最小值探究点三实际问题中的分段函数模型在函数的实际应用问题中经常出现分段函数的模型，在将题干中的文字语言转化为函数模型时，要注意不同情况下，所对应的不同函数模型某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足ymf(x)，其中f(x)当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化(1)如果投放的药剂质量为m4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的值【解答】 (1)因为m4，所以y当04时，44x8.综上，0x8.所以自来水达到有效净化一共可持续8天(2)由ymf(x)知在区间(0,4上单调递增，即2my3m，在区间(4,7上单调递减，即y0时，f(1a)22aa13af(1a)，a0，不成立；当a0时，f(x)2x1，而f(a)f(1)0，f(a)2，且af(x)，则实数x的取值范围是_(2,1)【解析】 画出函数的图象，如下图所示，由图象可得，该函数是定义在r上的增函数，故2x2x，解得2x1.专题三函数的切线主干知识整合1导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在p(x0，f(x0)的切线斜率2函数的切线方程对于函数f(x)(可导函数)，其在点p(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，其中切线斜率kf(x0)3公切线(1)定义：同时切于两条或两条以上曲线的直线，叫做曲线的公切线(2)两个函数的公切线：yf(x1)f(x1)(xx1)与yg(x2)g(x2)(xx2)为同一直线其中若切点为同一点p(x0，f(x0)，则要点热点探究探究点一公切线问题公切线问题是函数切线求解一个更深层次的问题，主要是求解两个函数图象与一条直线相切于同一个点的问题例1 2011湖北卷 设函数f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2，其中xr，a、b为常数，已知曲线yf(x)与yg(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)g(x)mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1x2，且对任意的xx1，x2，f(x)g(x)0，即m.又对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立特别地，取xx1时，f(x1)g(x1)mx1m成立，得m0，x1x22m0，故0x10，则f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0，又f(x1)g(x1)mx10，所以函数f(x)g(x)mx在xx1，x2的最大值为0.于是当m0时，对任意的xx1，x2，f(x)g(x)0，f(x)，g(x)exf(x)(其中e是自然对数的底数)，若曲线yf(x)与yg(x)在x0处有相同的切线，求公切线方程【解答】 (1)f(x)，g(x)exf(x)f(x).f(0)，g(0).又f(0)0，g(0)f(0)0.所以，曲线yf(x)与yg(x)在x0处有相同的切线y.探究点二切线条数的问题过一点作函数切线的条数问题，应该先求出切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)，然后再论证关于切点的方程的根的个数问题例2 已知函数f(x)ax3bx2cx在x1处取得极值，且在x0处的切线的斜率为 3.(1)求f(x)的解析式；(2)若过点a(2，m)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围【解答】 (1)由f(x)ax3bx2cx，得f(x)3ax22bxc.依题意又f(0)3，c3，a1，f(x)x33x.(2)设切点为(x0，x3x0)，f(x)3x23，f(x0)3x3，切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)，又切线过点a(2，m)，m(x3x0)(3x3)(2x0)，m2x6x6.令g(x)2x36x26，则g(x)6x212x6x(x2)，由g(x)0得x0或x2，g(x)极小值g(0)6，g(x)极大值g(2)2，画出草图知，当6m2时，m2x36x26有三解，所以m的取值范围是(6,2)【点评】 本题中方程m2x6x6的三个根判定的问题，需要借助于图形来进行研究，先求导研究函数g(x)2x36x26的性质，再求出极值，即可求出m的范围探究点三与切线有关的多边形问题函数的切线与其他线，如坐标轴所围成图形的面积或者线段长度的最值问题是难点问题例3 如图31，有一正方形钢板abcd缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线oc是以直线ad为对称轴，以线段ad的中点o为顶点的抛物线的一部分工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形若正方形的边长为2米，问如何画切割线ef，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值【解答】 解法一：以o为原点，直线ad为y轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意，可设抛物线弧oc的方程为yax2(0x2)，点c的坐标为(2,1)，22a1，a，故边缘线oc的方程为yx2(0x2)，要使梯形abef的面积最大，则ef所在的直线必与抛物线弧oc相切，设切点坐标为p(0t2)，yx，直线ef的方程可表示为yt2(xt)，即ytxt2.由此可求得e，f.|af|1t2，|be|t2t1.设梯形abef的面积为s(t)，则s(t)(t1)2，当t1时，s(t)，故s(t)的最大值为2.5，此时|af|0.75，|be|1.75.答：当af0.75 m，be1.75 m时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m2.解法二：以a为原点，直线ad为y轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为yax21(0x2)点c的坐标为(2,2)，22a12，a，故边缘线oc的方程为yx21(0x2)要使梯形abef的面积最大，则ef所在的直线必与抛物线弧oc相切，设切点坐标为p(0t0)，x2，y2k2x22k，所以pq2op224.设曲线y(ax1)ex在点a(x0，y1)处的切线为l1，曲线y(1x)ex在点b(x0，y2)处的切线为l2，若存在x0，使得l1l2，则实数a的取值范围是_【解析】 依题意由y(ax1)ex，得yaex(ax1)ex(axa1)ex，所以kl1(ax0a1)ex0.由y(1x)ex，得y，所以kl2.因为l1l2，所以kl1kl21，即(ax0a1)ex01，即(ax0a1)(x02)1，从而a，其中x0.令f(x)，则f(x)，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增又因为f(0)，f(1)1，f，所以a的取值范围是.专题四函数的零点主干知识整合1函数的零点：使函数yf(x)的值为0的实数x称为函数yf(x)的零点(1)函数的零点方程的根；(2)零点存在理论：在区间a，b上连续；f(a)f(b)0.2常见求解方法(1)直接解方程，如一元二次方程；(2)用二分法求方程的近似解；(3)一元二次方程实根分布规律；(4)用数形结合法将方程的根转化为函数零点画出yf(x)图象可用到以下方法：用图象变换法则画复杂函数图象；用求导得出较复杂函数的单调性，然后再画图象，如y；可以将原函数进行分离为两个较为简单的函数如方程exlnx1，转化为ylnx，yx；如果是带有参数的方程，可以进行参数分离变为mg(x)，再画yg(x)与ym(常数函数)的图象要点热点探究探究点一用零点存在定理判断函数零点 零点存在定理是间接判断方程的根或函数零点的间接方法只能大致判断零点所在区间以及区间中零点的个数，不能够准确求解零点的值例1 已知函数f(x)1x，g(x)1x，设f(x)f(x3)g(x3)，且函数f(x)的零点均在区间a，b(a0，即m.9【解析】 由f(x)f(x3)g(x3)可知，函数f(x)的零点即为f(x3)的零点或g(x3)的零点f(x)1xx2x3x2010，当x1时，f(x)1xx2x3x20100成立，f(1)20110；当x0也成立，即f(x)1xx2x3x20100恒成立，所以f(x)1x在r上单调递增f(0)1，f(1)(11)0，f(x)的惟一零点在1,0内，即f(x3)的惟一零点在4，3内同理，g(x3)的惟一零点在4,5内，因此b5，a4，ba9.可知a0，c0，即ac0且t1时，x有两解又t1t2a，所以当t11，t2(0,1)(1，)时，原方程有5个解，即a(，2)(2，1)【点评】 (1)和(2)中的方程根都不能够解出，所以用图象进行研究比较简单第(1)题中直接画题干所给的三个函数的图象不容易，故转化为两个较为简单函数，再画图象可以判断零点大小；第(2)题中是一个符合的方程，需要进行换元，分两步进行研究，一是tf(x)；二是t2atb0.探究点三不定方程的根的判断所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组常见问题有：(1)求不定方程的解；(2)判定不定方程是否有解；(3)判定不定方程的解的个数例3 设mn，若函数f(x)2xmm10存在整数零点，则m的取值集合为_0,3,14,30【解析】 原命题等价为f(x)2xmm100有整根，即方程m有整数解因为mn，所以2x100，且10x0，所以x5,10，且xz，又z，当x5时，m0；当x1时，m3；当x6时，m(舍去)；当x9时，m14；当x10时，m30.【点评】 含有参数的方程整数解的问题，可以考虑将参数和未知数x分离，再利用整除(有理、奇偶、约数)来得到参数和未知数的特征，通过逐一代入得到结果探究点四含参数的方程根的问题含有参数的方程根的问题，随着参数取值不同，方程根的个数不同，所以需要借助于数形结合和分类讨论的思想来解决例4 已知函数f(x)x2alnx(ar)(1)若函数f(x)在x2处的切线方程为yxb，求a，b的值；(2)讨论方程f(x)0的解的个数，并说明理由【解答】 (1)因为f(x)x(x0)，又f(x)在x2处的切线方程为yxb所以解得：a2，b2ln2.(2)当a0时，f(x)在定义域(0，)上恒大于0，此时方程无解；当a0在(0，)上恒成立，所以f(x)在定义域(0，)上为增函数f(1)0，fe10时，f(x)x，因为当x(0，)时，f(x)0，所以f(x)在(，)内为增函数所以当x时，f(x)有极小值即为最小值f()aalna(1lna)，当a(0，e)时，f()a(1lna)0，此方程无解；当ae时，f()a(1lna)0.此方程有惟一解x，当a(e，)时，f()a(1lna)0且11时，(xlnx)0，所以xlnx1，所以xlnx，f(x)x2alnxx2ax，因为2a1，所以f(2a)(2a)22a20，所以方程f(x)0在区间(0，)上有两解综上所述：当a0，e)时，方程无解；当ae时，方程有两解【点评】 含有参数的方程根的个数问题，需要重点研究三个方面的问题：一是函数的单调性；二是函数极值的值的正负；三是区间端点的值正负规律技巧提炼1函数的零点是方程根的几何特征，方程的根是函数零点的代数值2方程的根的特征如个数或所在区间不易判断时，可以转化为用图象进行研究3函数的零点或函数图象交点问题，也可以转化为对应方程或方程组的根求解4不定方程或含参数的方程的根研究，需要用分类讨论的思想进行研究课本挖掘提升(教材必修1 p95探究拓展30改编)例 已知直线x2及x4与函数ylog2x图象的交点分别为a，b，与函数ylgx图象的交点分别为c、d，则直线ab与cd交点坐标为_【分析】 图象的交点坐标问题直接从图形观察得不到结果，可以转化为对应方程的根的问题，通过解方程得出交点【答案】 (0,0)【解析】 由图象可知直线ab与cd相交，两直线方程分别为ab：yx，cd：yx，则其交点坐标为(0,0)图41已知函数f(x)x3ax2(a21)x，且方程f(x)0有三个不同零点，求a的取值范围【解答】 因为f(x)x22ax(a21)x(a1)x(a1)，所以方程f(x)0的两根为xa1和xa1，显然，函数f(x)在xa1处取得极大值，在xa1处取得极小值因为方程f(x)0有三个不等实根，所以即解得2ac；(2)xd，f(x)g(x)；(3)x1，x2d，|f(x1)f(x2)|c；(4)x1，x2d，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|.3不等式恒成立问题的处理方法(1)转换求函数的最值若不等式af(x)在区间d上恒成立，则等价于在区间d上af(x)在区间d上恒成立，则等价于在区间d上bf(x)maxf(x)的上界小于b.(2)分离参数法将参数与变量分离，即化为g()f(x)(或g()f(x)恒成立的形式；求f(x)在xd上的最大(或最小)值；解不等式g()f(x)max(或g()f(x)min)，得的取值范围(3)转换成函数图象问题若不等式f(x)g(x)在区间d上恒成立，则等价于在区间d上函数yf(x)和图象在函数yg(x)图象上方；若不等式f(x)g(x)的研究对于形如xd，f(x)g(x)的问题，需要先设函数yf(x)g(x)，再转化为xd，ymin0.例1 已知函数f(x)x|xa|2x.(1)若函数f(x)在r上是增函数，求实数a的取值范围；(2)求所有的实数a，使得对任意x1,2时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)2x1图象的下方【解答】 (1)f(x)x|xa|2x由f(x)在r上是增函数，则即2a2，故a的取值范围为2a2.(2)由题意得对任意的实数x1,2，f(x)g(x)恒成立，即x|xa|1在1,2恒成立，也即xa0，从而x为增函数，由此得max；当x1,2时，10，从而x为增函数，由此得min2，所以ac的恒成立问题时，如果函数f(x)含有参数，一般有两种处理方法：一是参数分离，将含参数函数转化为不含参数的函数，再求出最值即可；二是如果不能参数分离，可以用分类讨论处理函数f(x)的最值已知f(x)x36ax29a2x(ar)，当a0时，若对x0,3有f(x)4恒成立，求实数a的取值范围【解答】 f(x)3x212ax9a23(xa)(x3a)，故f(x)在(0，a)上单调递增，在(a,3a)上单调递减，在(3a，)上单调递增(1)当a3时，函数f(x)在0,3上递增，所以函数f(x)在0,3上的最大值是f(3)，若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有解得a.(2)当1a3时，有a33a，此时函数f(x)在0，a上递增，在a,3上递减，所以函数f(x)在0,3上的最大值是f(a)，若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有解得a1.(3)当a3a，此时函数f(x)在a,3a上递减，在3a,3上递增，所以函数f(x)在0,3上的最大值是f(a)或者是f(3)由f(a)f(3)(a3)2(4a3)， 0a时，f(a)f(3)，若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有 解得a. af(3)，若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有解得a.综上所述，a.探究点二 x1，x2d，|f(x1)f(x2)|c的研究对于形如x1，x2d，|f(x1)f(x2)|c的问题，因为|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min，所以原命题等价为f(x)maxf(x)minc.例2 已知函数f(x)ax3bx23x(a，br)，在点(1，f(1)处的切线方程为y20.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于区间2,2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|c，求实数c的最小值【解答】 (1)f(x)3ax22bx3，根据题意，得即解得f(x)x33x.(2)令f(x)3x230，即3x230，解得x1，x2(2，1)1(1,1)1(1,2)2f(x)00f(x)2极大值极小值2f(1)2，f(1)2，当x2,2时，f(x)max2，f(x)min2.则对于区间2,2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min4，所以c4，即c的最小值为4.【点评】 在处理这类问题时，因为x1，x2是两个不相关的变量，所以可以等价为函数f(x)在区间d上的函数差的最大值小于c，如果x1