江苏省南京市高三数学二轮复习 专题4 导数及其应用导学案.doc

专题4：导数及其应用（两课时）班级 姓名 一、前测训练1 (1)曲线yx3上在点(1，1)的切线方程为 (2)曲线yx33x22x过点(0，0)的切线方程为 答案：(1)y3x2 (2)y2x或yx2（1）函数f(x)2x2lnx的减区间为 （2）函数上是增函数，则实数a 的取值范围为 答案：(1)(0,)(2)a3求下列函数极值(或最值)： (1) f(x)xlnx (2)f(x)sinxx，x，答案：(1)当x时，f(x)取极小值 (2) 当x时，f(x)取最小值当x时，f(x)取最大值4已知函数f(x)ax2lnx1(ar)，求f(x)在1，e上的最小值答案：当a时，f(x)在1，e上的最小值为f(e)ae22 当a时，f(x)在1，e上的最小值为f()(ln2a1) 当a时，f(x)在1，e上的最小值为f(1)a15若不等式ax2lnx1对任意x(0，)恒成立，求实数a的取值范围答案：a6已知f (x)ax2，g(x)lnx1，若yf(x)与yg(x)的图象有两个交点，求实数a的取值范围答案：(0, )二、方法联想1切线方程 涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则先设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件注意 (1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点(2)切点的三个作用：求切线斜率；切点在切线上；切点在曲线上2函数单调性(1)如果在某个区间上f (x)0，那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某个区间上f (x)0，那么f(x)为该区间上的减函数(2)如果f(x)在某个区间为增函数，那么在该区间f (x)0；如果f(x)在某个区间为减函数，那么在该区间f (x)0注意 求单调区间前优先求定义域；单调区间不能用“”，用“，”或“和”3函数极值(或最值)求函数的定义域；求f (x)0在区间内的根；讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值4极值(或最值)的分类讨论分类讨论根据f (x)0解的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、中、右”，对四种分类标准进行取舍(或合并)5不等式恒成立问题法1：分离常数法（优先）；法2：设f(x)f(x)g(x)，转化f(x)的最值问题；法3：转化为二次不等式恒成立问题；法4：转化为一次不等式恒成立问题6方程有解(解的个数)问题方程有解(解的个数)问题、图象交点问题、函数零点问题之间可以相互转化法1：分离常数法（优先）；法2：设f(x)f(x)g(x)，转化f(x)的图象问题两者均要充分利用数形结合法三、例题分析第一层次例1 设函数f (x)x33axb（a0）（1）若曲线yf (x)在点（2，f (2)）处与直线y8相切，求a，b的值；（2）求函数f (x)的单调区间与极值点答案：（1）a4，b24（2）当a0时，f (x)0，函数f (x)在（，）单调递增，此时函数f (x)没有极值点当a0时，（，）和（，）是函数f (x)单调增区间；（，）是函数f (x)单调减区间x是f (x)的极大值点，x是f (x)的极小值点教学建议一、主要问题归类与方法：1点（2，f (2)）是切点突出切点的三个作用：求切线斜率；切点在切线上；切点在曲线上2导函数值大于零的区间是原函数的增区间；导函数值小于零的区间是原函数的减区间3解一元二次不等式时要结合二次函数的图象进行分类讨论4根据函数的单调性的变化，通过列表写出函数f (x)的极值点例2 设函数f (x)x3x26xa （1）对于任意实数x，f (x)m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f (x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围 答案：（1）m的最大值为（2）a2或a教学建议一、主要问题归类与方法：1不等式恒成立问题的处理方法1：分离常数法；方法2：转化为二次不等式恒成立问题2 方程有解(解的个数)问题、图象交点问题、函数零点问题之间可以相互转化3结合函数的单调性，研究函数的极大值、极小值，通过画出函数的简图解决问题二、方法选择与优化建议：1不等式恒成立问题优先考虑分离常数法例3 已知函数f (x)(1)ex，其中a0（1）求函数f (x)的零点；（2）讨论yf (x)在区间（，0）上的单调性；（3）在区间（，上，f (x)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由答案：（1）函数f (x)的零点为a（2）区间（，）是f (x)单调增区间；区间（，0）是f (x)单调减区间（3）在区间（，上f (x) 存在最小值f ()教学建议一、主要问题归类与方法：1函数零点的概念2结合二次函数图象解一元二次不等式求单调区间关注函数的定义域，单调区间是定义域的子集3根据函数的零点和极值点，以及它们的大小关系画出函数f (x)的简图，关注到xa时，f (x)0第二层次例1 已知函数f (x)x2xsinxcosx（1）若曲线yf (x)在点（a，f (a)）处与直线yb相切，求a与b的值；（2）若曲线yf (x)与直线yb有两个不同的交点，求b的取值范围答案：（1）a0，b1（2）b的取值范围是（1，）教学建议一、主要问题归类与方法：1教材中列出的导数公式要熟练掌握2点（a，f (a)）是切点突出切点的三个作用：求切线斜率；切点在切线上；切点在曲线上3 直线yb是一条与x轴平行的直线通过研究函数f (x)的单调性得出函数f (x)的最小值f (0)14结合函数的简图进行动态研究例2 已知函数f (x)(1)ex，其中a0（1）求函数f (x)的零点；（2）讨论yf (x)在区间（，0）上的单调性；（3）在区间（，上，f (x)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由答案：（1）函数f (x)的零点为a（2）区间（，）是f (x)单调增区间；区间（，0）是f (x)单调减区间（3）在区间（，上f (x) 存在最小值f ()教学建议一、主要问题归类与方法：1函数零点的概念2结合二次函数图象解一元二次不等式求单调区间关注函数的定义域，单调区间是定义域的子集3根据函数的零点和极值点，以及它们的大小关系画出函数f (x)的简图，关注到xa时，f (x)0例3已知函数f(x)x2(2a1)xalnx（1）当a1时，求函数f(x)的单调增区间；（2）求函数f(x)在区间1，e上的最小值； （3）设g(x)(1a)x，若存在x0，e，使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围答案：（1）函数f(x)的单调增区间为（0，）和（1，）（2）当a1时，f(x)min2a；当1ae时，f(x)mina(lnaa1)；当ae时，f(x)mine2(2a1) ea（3）实数a的取值范围为a (，教学建议一、主要问题归类与方法：1导函数值大于零的区间是原函数的增区间；导函数值小于零的区间是原函数的减区间求单调区间关注函数的定义域，单调区间是定义域的子集2求函数在闭区间上的最值，先求出函数的极值点，研究函数在这个闭区间上的简图，比较极值点和区间端点分别对应的函数值大小3由于本题极值点是一个字母，要讨论这个极值点与所给闭区间的关系，突出分类讨论的思想4帮助学生理解题意，得出不等式f(x)g(x)在，e上有解，通过分离常数法，研究函数的最大值得出实数a的取值范围5在对不等式变形时，要注意不等式两边同时除以的是正数还是负数，关注不等号方向的变化本题可以适当变式帮助学生理解题意第三层次例1 已知函数f (x)x32bx2cx2的图象在与x轴交点处的切线方程是y5x10（1）求函数f (x)的解析式；（2）设函数g (x)f (x)mx，若g (x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g (x)取得极值时对应的自变量x的值答案：（1）函数的解析式为f (x)x32x2x2（2）实数m的取值范围是：m（，1）当x时，g (x) 有极大值；当x g (x) 有极小值教学建议一、主要问题归类与方法：1切点在x轴上又在曲线上，还在切线上2函数存在极值，则导函数的值可正可负3二次函数的值可正可负，则有对应的二次方程有两个不相等的实数根，所以判别式要大于零4求函数的极值，应先由导函数值等于0求出极值点，再通过列表判断函数的单调性，从而求出函数的极值以及取得极值时对应的自变量x的值例2 已知函数f(x)x2(2a1)xalnx（1）当a1时，求函数f(x)的单调增区间；（2）求函数f(x)在区间1，e上的最小值； （3）设g(x)(1a)x，若存在x0，e，使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围答案：（1）函数f(x)的单调增区间为（0，）和（1，）（2）当a1时，f(x)min2a；当1ae时，f(x)mina(lnaa1)；当ae时，f(x)mine2(2a1) ea（3）实数a的取值范围为(，教学建议一、主要问题归类与方法：1导函数值大于零的区间是原函数的增区间；导函数值小于零的区间是原函数的减区间求单调区间关注函数的定义域，单调区间是定义域的子集2求函数在闭区间上的最值，先求出函数的极值点，研究函数在这个闭区间上的简图，比较极值点和区间端点分别对应的函数值大小3由于本题极值点是一个字母，要讨论这个极值点与所给闭区间的关系，突出分类讨论的思想4帮助学生理解题意，得出不等式f(x)g(x)在，e上有解，通过分离常数法，研究函数的最大值得出实数a的取值范围5在对不等式变形时，要注意不等式两边同时除以的是正数还是负数，关注不等号方向的变化本题可以适当变式帮助学生理解题意例3 已知函数f (x)x|x23|，x0，m（1）若m1，求证：函数f (x)是增函数；（2）如果函数f (x)的值域是0，2，试求m的取值范围；（3）如果函数f (x)的值域是0，m2，试求实数的最小值答案：（1）略（2）m的取值范围是1，2（3）实数的最小值是，且此时m2教学建议一、主要问题归类与方法：1含绝对值的函数通常要讨论绝对值里面式子的正负设法去掉绝对值，最终变为分段函数之后进行研究2证明一个三次函数是单调增函数，只要证明它的导函数恒大于0或大于