江苏省南京市、盐城市高三数学第二次模拟考试试题.docVIP

南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试 数学一、 填空题1、函数的最小正周期为 。2、已知复数，其中是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位 于第 象限。3、右图是一个算法流程图，如果输入的值是，则输出的值是 。4、某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重， 所得数据均在区间96，106中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间100，104上的产品件数是 。5、袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 。6、如图，在平面四边形abcd中，ac,bd相交于点o，e为线段ao的中点，若（），则 7、已知平面，直线，给出下列命题：若，则，若，则，若，则，若，则.其中是真命题的是 。（填写所有真命题的序号）。8、如图，在中，d是bc上的一点。已知， 则ab= 。9、在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线c：的焦点为f，定点，若射线fa与抛物线c相交于点m，与抛物线c的准线相交于点n，则fm：mn= 。10、记等差数列的前n项和为，已知，且数列也为等差数列，则= 。11、已知知函数，则不等式的解集是 。12、在平面直角坐标系中，已知：，为与x负半轴的交点，过a作的弦ab，记线段ab的中点为m.则直线ab的斜率为 。13、已知均为锐角，且，则的最大值是 。14、已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为 。二、解答题15、在中，角a、b、c的对边分别为.已知.(1)若,求的面积；(2)设向量，且，求 的值。16、如图，在四棱锥pabcd中，.（1）求证：平面；（2）若m为线段pa的中点，且过三点的平面与pb交于点n，求pn：pb的值。(第16题图)pabcdm17右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形abcd，上部是圆ab，该圆弧所在的圆心为o，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗efgh（其中e，f在圆弧ab上，g，h在弦ab上）。过o作，交ab 于m，交ef于n，交圆弧ab于p，已知（单位：m）,记通风窗efgh的面积为s（单位：）（1）按下列要求建立函数关系式： （i）设，将s表示成的函数；(ii)设，将s表示成的函数；（2）试问通风窗的高度mn为多少时？通风窗efgh的面积s最大？18、如图，在平面直角坐标系中，椭圆e：的离心率为，直线l：与椭圆e相交于a，b两点，c，d是椭圆e上异于a，b两点，且直线ac，bd相交于点m，直线ad，bc相交于点n.（1）求的值；（2）求证：直线mn的斜率为定值。xyaobcdmn(第18题图)19、已知函数，其中为常数.(1)若,求曲线在点处的切线方程.(2)若,求证：有且仅有两个零点；（3）若为整数，且当时，恒成立，求的最大值。20给定一个数列，在这个数列里，任取项，并且不改变它们在数列中的先后次序，得到的数列的一个阶子数列。已知数列的通项公式为，等差数列，是数列的一个3子阶数列。（1） 求的值；（2） 等差数列是的一个阶子数列，且，求证：（3） 等比数列是的一个阶子数列，求证：南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学附加题21、选做题a，选修4-1；几何证明选讲如图，过点a的圆与bc切于点d，且与ab、ac分别交于点e、f.已知ad为bac的平分线，求证：ef|bcbadecf（第21a题图）b选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵 ，a的逆矩阵（1） 求a,b的值； （2）求a的特征值。 c选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，已知曲线c：，直线l：.设曲线c与直线l交于a，b两点，求线段ab的长度。d选修4-5：不行等式选讲已知x,y,z都是正数且xyz=1,求证：(1+x)(1+y)(1+z)822、甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率；（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分x的分布列及数学期望。23、（本小题满分10分） 已知，定义（1） 记 ，求的值；（2）记 ，求所有可能值的集合。南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1p 2一 32 455 5 6 7 8 9 1050 11(1，2) 12 2 13 141000015（本小题满分14分）在abc中，角a、b、c的对边分别为a，b，c已知cosc（1）若，求abc的面积；（2）设向量x(2sin，)，y(cosb，cos)，且xy，求sin(ba)的值解：（1）由，得abcosc 又因为cosc，所以ab 2分又c为abc的内角，所以sinc 4分所以abc的面积sabsinc3 6分（2）因为x/y，所以2sincoscosb，即sinbcosb 8分因为cosb0，所以tanb因为b为三角形的内角，所以b 10分所以ac，所以ac 所以sin(ba)sin(a)sin(c)sinccosc 14分16（本小题满分14分）如图，在四棱锥pabcd中， adcdab， abdc，adcd，pc平面abcd（1）求证：bc平面pac；(第16题图)pabcdm（2）若m为线段pa的中点，且过c，d，m三点的平面与pb交于点n，求pn：pb的值证明：（1）连结ac不妨设ad1因为adcdab，所以cd1，ab2因为adc90，所以ac，cab45在abc中，由余弦定理得bc，所以ac2bc2ab2所以bcac 3分因为pc平面abcd，bc平面abcd，所以bcpc 5分因为pc平面pac，ac平面pac，pcacc，所以bc平面pac 7分(第16题图)pabcdmn（2）如图，因为abdc，cd平面cdmn，ab平面cdmn，所以ab平面cdmn 9分因为ab平面pab，平面pab平面cdmnmn，所以abmn 12分在pab中，因为m为线段pa的中点，所以n为线段pb的中点，即pn：pb的值为 14分17（本小题满分14分）ebgandmcfohp(第17题图)右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形abcd，上部是圆弧ab，该圆弧所在圆的圆心为o为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗efgh(其中e，f在圆弧ab上， g，h在弦ab上)过o作opab，交ab于m，交ef于n，交圆弧ab于p已知op10，mp6.5（单位：m），记通风窗efgh的面积为s（单位：m2） （1）按下列要求建立函数关系式：(i)设pof (rad)，将s表示成的函数；(ii)设mnx (m)，将s表示成x的函数； （2）试问通风窗的高度mn为多少时，通风窗efgh的面积s最大？解：（1）由题意知，ofop10，mp6.5，故om3.5(i)在rtonf中，nfofsin10sin，onofcos10cos在矩形efgh中，ef2mf20sin，fgonom10cos3.5，故seffg20sin(10cos3.5)10sin(20cos7)即所求函数关系是s10sin(20cos7)，00，其中cos0 4分(ii)因为mnx，om3.5，所以onx3.5在rtonf中，nf在矩形efgh中，ef2nf，fgmnx，故seffgx即所求函数关系是sx，0x6.5 8分（2）方法一：选择(i)中的函数模型：令f()sin(20cos7)，则f ()cos(20cos7)sin(20sin)40cos27cos20 10分由f ()40cos27cos200，解得cos，或cos 因为00，所以coscos0，所以cos 设cos，且为锐角，则当(0，)时，f ()0 ，f()是增函数；当(，0)时，f ()0 ，f()是减函数， 所以当，即cos时，f()取到最大值，此时s有最大值即mn10cos3.54.5m时，通风窗的面积最大 14分方法二：选择(ii)中的函数模型：因为s ，令f(x)x2(35128x4x2)，则f (x)2x(2x9)(4x39) 10分 因为当0x时 ，f (x)0，f(x)单调递增，当x时，f (x)0，f(x)单调递减， 所以当x时，f(x)取到最大值，此时s有最大值 即mnx4.5m时，通风窗的面积最大 14分18（本小题满分16分）xyaobcdmn(第18题图)如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆e：1(ab0) 的离心率为，直线l：yx与椭圆e相交于a，b两点，ab2c，d是椭圆e上异于a，b的任意两点，且直线ac，bd相交于点m，直线ad，bc相交于点n （1）求a，b的值；（2）求证：直线mn的斜率为定值解：（1）因为e，所以c2a2，即a2b2a2，所以a22b2 2分故椭圆方程为1由题意，不妨设点a在第一象限，点b在第三象限由解得a(b，b)又ab2，所以oa，即b2b25，解得b23故a，b 5分（2）方法一：由（1）知，椭圆e的方程为 1，从而a(2，1)，b(2，1)当ca，cb，da，db斜率都存在时，设直线ca，da的斜率分别为k1，k2，c(x0，y0)，显然k1k2从而k1 kcb 所以kcb 8分同理kdb 于是直线ad的方程为y1k2(x2)，直线bc的方程为y1(x2)由解得 从而点n的坐标为(，) 用k2代k1，k1代k2得点m的坐标为(，) 11分所以kmn 1即直线mn的斜率为定值1 14分当ca，cb，da，db中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线ca的斜率不存在，从而c(2，1)仍然设da的斜率为k2，由知kdb此时ca：x2，db：y1(x2)，它们交点m(2，1)bc：y1，ad：y1k2(x2)，它们交点n(2，1)，从而kmn1也成立由可知，直线mn的斜率为定值1 16分方法二：由（1）知，椭圆e的方程为 1，从而a(2，1)，b(2，1)当ca，cb，da，db斜率都存在时，设直线ca，da的斜率分别为k1，k2显然k1k2直线ac的方程y1k1(x2)，即yk1x(12k1)由得(12k12)x24k1(12k1)x2(4k124k12)0设点c的坐标为(x1，y1)，则2x1，从而x1 所以c(，)又b(2，1)，所以kbc 8分所以直线bc的方程为y1(x2)又直线ad的方程为y1k2(x2)由解得 从而点n的坐标为(，) 用k2代k1，k1代k2得点m的坐标为(，) 11分所以kmn 1即直线mn的斜率为定值1 14分当ca，cb，da，db中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线ca的斜率不存在，从而c(2，1)仍然设da的斜率为k2，则由知kdb此时ca：x2，db：y1(x2)，它们交点m(2，1)bc：y1，ad：y1k2(x2)，它们交点n(2，1)，从而kmn1也成立由可知，直线mn的斜率为定值1 16分19（本小题满分16分）已知函数f(x)1lnx，其中k为常数（1）若k0，求曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程；（2）若k5，求证：f(x)有且仅有两个零点；（3）若k为整数，且当x2时，f(x)0恒成立，求k的最大值（参考数据ln82.08，ln92.20，ln102.30）解：（1）当k0时，f(x)1lnx因为f (x)，从而f (1)1又f (1)1，所以曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程y1x1，即xy0 3分（2）当k5时，f(x)lnx4因为f (x)，从而当x(0，10)，f (x)0，f(x)单调递减；当x(10，)时，f (x)0，f(x)单调递增所以当x10时，f(x)有极小值 5分因f(10)ln1030，f(1)60，所以f(x)在(1，10)之间有一个零点因为f(e4)440，所以f(x)在(10，e4)之间有一个零点从而f(x)有两个不同的零点 8分（3）方法一：由题意知，1+lnx0对x(2，)恒成立，即k对x(2，)恒成立令h(x)，则h(x)设v(x)x2lnx4，则v(x)当x(2，)时，v(x)0，所以v(x)在(2，)为增函数因为v(8)82ln8442ln80，v(9)52ln90，所以存在x0(8，9)，v(x0)0，即x02lnx040 当x(2，x0)时，h(x)0，h(x)单调递减，当x(x0，)时，h(x)0，h(x)单调递增所以当xx0时，h(x)的最小值h(x0)因为lnx0，所以h(x0)(4，4.5) 故所求的整数k的最大值为4 16分方法二：由题意知，1+lnx0对x(2，)恒成立f(x)1+lnx，f (x) 当2k2，即k1时，f(x)0对x(2，)恒成立，所以f(x)在(2，)上单调递增而f(2)1ln20成立，所以满足要求当2k2，即k1时，当x(2，2k)时，f (x)0， f(x)单调递减，当x(2k，)，f (x)0，f(x)单调递增所以当x2k时，f(x)有最小值f(2k)2ln2kk从而f(x)0在x(2，)恒成立，等价于2ln2kk0令g(k)2ln2kk，则g(k)0，从而g(k) 在(1，)为减函数因为g(4)ln820，g(5)ln1030 ，所以使2ln2kk0成立的最大正整数k4综合，知所求的整数k的最大值为4 16分20（本小题满分16分）给定一个数列an，在这个数列里，任取m(m3，mn*)项，并且不改变它们在数列an中的先后次序，得到的数列称为数列an的一个m阶子数列已知数列an的通项公式为an (nn*，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列an的一个3阶子数列 （1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，bm是an的一个m (m3，mn*) 阶子数列，且b1 (k为常数，kn*，k2)，求证：mk1； （3）等比数列c1，c2，cm是an的一个m (m3，mn*) 阶子数列，求证：c1c2cm2 解：（1）因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2a3a3a6又因为a2，a3， a6，代入得，解得a0 3分（2）设等差数列b1，b2，bm的公差为d因为b1，所以b2，从而db2b1 6分所以bmb1(m1)d又因为bm0，所以0即m1k1所以mk2又因为m，kn*，所以mk1 9分（3）设c1 (tn*)，等比数列c1，c2，cm的公比为q因为c2，所以q 从而cnc1qn1（1nm，nn*） 所以c1c2cm1 13分设函数f(x)x，（m3，mn*）当x(0，)时，函数f(x)x为单调增函数因为当tn*，所以12 所以f()2即 c1c2cm2 16分南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案a选修41：几何证明选讲badecf（第21a题图）如图，过点a的圆与bc切于点d，且与ab、ac分别交于点e、f已知ad为bac的平分线，求证：efbc证明：如图，连接edbadecf（第21a题图）因为圆与bc切于d，所以bdebad 4分因为ad平分bac，所以baddac又dacdef，所以bdedef所以efbc 10分b选修42：矩阵与变换已知矩阵a， a的逆矩阵a1 （1）求a，b的值；（2）求a的特征值解：（1）因为a a1 所以 解得a1，b 5分（2）由（1）得a，则a的特征多项式f()(3)( 1)令f()0，解得a的特征值11，23 10分c选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，已知曲线c：(s为参数），直线l：（t为参数）设c与l交于a，b两点，求线段ab的长度解：由消去s得曲线c的普通方程为yx2；由消去t得直线l的普通方程为y3x2 5分联立直线方程与曲线c的方