函数的奇偶性.pptx

函数的奇偶性 1 增减函数 1 设函数y f x 的定义域为I 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 x2 当x1 x2时 总是都有f x1 f x2 那么就说f x 在区间D上是增函数 区间D称为y f x 的单调增区间 2 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 区间D称为y f x 的单调减区间 2 图象的特点如果函数y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么说函数y f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的 减函数的图象从左到右是下降的 课时小结 增函数 x增大时 y也增大 图象左低右高 减函数 x增大时 y减小 图象左高右低 在区间D内 当x1f x2 函数在区间D内单减 1 函数的单调性 单调性 课时小结 2 函数单调性的证明 在区间D内任取x1 x2 计算f x1 f x2 判断f x1 f x2 的值的正负 由 确定f x1 与f x2 的大小 与x1 x2对照 如果自变量与函数值的大小一致 则是增函数 否则是减函数 B 图象法 从图象上看升降 C 复合函数的单调性复合函数f g x 的单调性与构成它的函数u g x y f u 的单调性密切相关 其规律 同增异减 在区间内g x 的单调性与f u 的单调性相同那么这个复合函数为增函数 不相同就为减函数 注意 函数的单调区间只能是其定义域的子区间 不能把单调性相同的区间和在一起写 成其并集 3 函数的奇偶性 基础知识梳理 y轴 原点 函数的奇偶性 整体性 问题1 观察下面两个图象 1 各图象有什么样的对称性 2 各函数中 自变量取一对相反数时 函数值是什么关系 即f x 与f x 有什么关系 1 两图象都关于y轴对称 2 第一个函数f x x2 f 1 f 1 1 f 2 f 2 4 f 3 f 3 9 第二个函数f x x f 1 f 1 1 f 2 f 2 2 f 3 f 3 3 f x f x 自变量取一对相反数时 函数值相同 即 定义 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做偶函数 偶函数的图象关于y轴对称 如 问题1中 f x x2 f x x 2 x2 得f x f x f x x2是偶函数 同样 f x x f x x x 得f x f x f x x 也是偶函数 自变量取一对相反数时 函数值相等 即偶函数 自变量取一对相反数时 函数值也互为相反数 即 f x f x 定义 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 就叫做奇函数 奇函数的图象关于原点对称 如 问题2中 f x x f x x 得f x f x f x x是奇函数 得f x f x 同样 也是奇函数 自变量取一对相反数时 函数值也互为相反数 即奇函数 问题3 奇函数的图象是否过原点 你能举例说明吗 不一定 如 f x 其图象不过原点 如图 但如果奇函数的定义域为R时 一定有f 0 0 你知道为什么吗 这时图象就一定过原点 课时小结 若定义域内任一x都有f x f x 则f x 是偶函数 1 函数的奇偶性 偶函数 若定义域内任一x都有f x f x 则f x 是奇函数 奇函数 自变量取一对相反数时 函数值也互为相反数 即奇函数 自变量取一对相反数时 函数值相等 即偶函数 课时小结 2 奇偶函数的图象特点 偶函数的图象关于y轴对称 奇函数的图象关于原点对称 奇函数的定义域为R时 图象过原点 常数函数的奇偶性 1 f x c c 0 偶函数 2 f x 0 奇且偶函数 4 利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性1 在公共定义域内 偶函数的加减乘除仍为偶函数 奇函数的加减仍为奇函数 奇数个奇函数的乘除为奇函数 偶数个奇函数的乘除为偶函数 一奇一偶的乘积是奇函数 2 复合函数的奇偶性 一个为偶就为偶 两个为奇才为奇 已知 均为奇函数 且定义域相同 求证f x g x 与f x g x 是奇函数 则 所以 是奇函数2 所以 是奇函数 已知 均为奇函数 且定义域相同求证 与 均为奇函数 则 所以 是偶函数 所以 是偶函数 已知 均为奇函数 且定义域相同求证 均为奇函数 所以 是奇函数 奇函数 已知fx为偶函数 为奇函数 且定义与相同 fx为偶函数 为奇函数 所以 是非奇非偶函数 则 是非奇非偶函数 f 则f 是奇函数 则 是奇函数 fx 2 2 偶函数 奇函数 函数未必有奇偶性 但是如果在定义域内关于原点对称 那么函数 都能写成一个奇函数 与一个偶函数和的形式 注意 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 首先看函数的定义域是否关于原点对称 若不对称则函数是非奇非偶函数 若对称 1 再根据定义判定 2 由f x f x 0或f x f x 1来判定 3 利用定理 或借助函数的图象判定 2 函数的奇偶性与单调性奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性 3 判断含糊单调性时也可以用作商法 过程与作差法类似 区别在于作差法是与0作比较 作商法是与1作比较 4 绝对值函数求最值 先分段 自变量 0 0 再通过各段的单调性 或图像求最值 5 在判断函数的奇偶性时候 若已知是奇函数可以直接用f 0 0 但是f 0 0并不一定可以判断函数为奇函数 高一阶段可以利用奇函数f 0 0 1 画出已知函数f x x2 2x 3的图象 2 证明函数f x 2 2x 3在区间 1 上是增函数 3 当函数f x 在区间 m 上是增函数时 求实数m的取值范围 1 函数f x 2 2 3的图象如图1 3 1 4所示 2 设 1 2 1 且 10 1 2 0 1 2 函数f x 2 2 3在区间 1 上是增函数 3 函数f x 2 2 3的对称轴是直线x 1 在对称轴的左侧是增函数 那么当区间 m 位于对称轴的左侧时满足题意 则有m 1 即实数m的取值范围是 1 强调 1 单调性是对定义域内某个区间而言的 离开了定义域和相应区间就谈不上单调性 2 有的函数在整个定义域内单调 如一次函数 有的函数只在定义域内的某些区间单调 如二次函数 有的函数根本没有单调区间 如常函数 3 函数在定义域内的两个区间A B上都是增 或减 函数 一般不能认为函数在A B上是增 或减 函数 知识点1复合函数如果y是u的函数 而u又是x的函数 即y f u u g x 那么y关于x的函数y f g x 叫