江苏省盐城市东台市安丰中学高三数学上学期期中试卷苏教版.doc

2012-2013学年江苏省盐城市东台市安丰中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）1（5分）求值cos600=考点：诱导公式的作用专题：计算题分析：由诱导公式知cos600=cos240，进一步简化为cos60，由此能求出结果解答：解：cos600=cos240=cos60=故答案为：点评：本题考查诱导公式的性质和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化2（5分）设m=mz|3m2，n=nz|1n3，则mn=1，0，1考点：交集及其运算专题：计算题分析：集合m，n都已给出，直接计算即可解答：解：m=mz|3m2，n=nz|1n3，m=2，1，0，1，n=0，1，2，mn=0，1，1，故答案为0，1，1点评：本题主要考查了交集及其运算，注意题目的条件集合中的元素是整数3（5分）（2008江苏）若将复数表示为a+bi（a，br，i是虚数单位）的形式，则a+b=1考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：利用复数除法的法则：分子分母同乘以分母的共轭复数解答：解：，a=0，b=1，因此a+b=1故答案为1点评：本小题考查复数的除法运算4（5分）已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a=3考点：函数的值专题：计算题分析：当a0时，由 f（a）+f（1）=0，可得a无解，当a0时，由 f（a）+f（1）=0，可得a=3解答：解：当a0时，f（a）=2a，由 f（a）+f（1）=0，可得 2a+2=0，解得a=1（舍去）当a0时，f（a）=a+1，由 f（a）+f（1）=0，可得a+1+2=0，解得a=3，故答案为3点评：本题主要考查求函数的值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题5（5分）函数f（x）=xlnx的单调减区间为x|0x1考点：利用导数研究函数的单调性分析：先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可解答：解：f（x）=xlnxf（x）=1=令0，则0x1故答案为：x|0x1点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系属基础题6（5分）已知cos（）=，（，），则cos=考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系专题：计算题分析：把已知的等式左边利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，得到关于cos与sin的关系式，用cos表示出sin，代入同角三角函数间的平方关系sin2+cos2=1中，得到关于cos的方程，求出方程的解即可得到cos的值解答：解：cos（）=coscos+sinsin=（cos+sin）=，cos+sin=，即sin=cos，又sin2+cos2=1，（cos）2+cos2=1，即2cos2cos=0，解得：cos=，cos=，（，），cos0，则cos=故答案为：点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，同时注意根据角度的范围，舍去不合题意的cos的值7（5分）已知|=3，|=4，（+）（+3）=33，则与的夹角为120考点：数量积表示两个向量的夹角专题：计算题分析：设与的夹角为，由已知利用两个向量的数量积的定义可得 cos=，由此求得与的夹角的值解答：解：设与的夹角为，由已知|=3，|=4，（+）（+3）=33可得 +3+4 =33，即 9+48+4 =33，解得 =6，即 34cos=6，cos=再由 0180，可得 =120，故答案为120点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题8（5分）（2013浙江二模）等比数列an的前n项和为sn，已知s1，2s2，3s3成等差数列，则an的公比为考点：等比数列的性质专题：计算题；压轴题分析：先根据等差中项可知4s2=s1+3s3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出s1，s2和s3，代入即可求得q解答：解：等比数列an的前n项和为sn，已知s1，2s2，3s3成等差数列，an=a1qn1，又4s2=s1+3s3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解故答案为点评：本题主要考查了等比数列的性质属基础题9（5分）已知函数则函数f（x）在区间上的值域为考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性专题：三角函数的求值分析：利用三角函数的恒等变换花间函数的解析式为sin（2x），根据x的范围求得2x的范围，可得sin（2x）的范围，从而求得函数的值域解答：解：=sin2x+=sin（2x）当x，有2x，sin（2x），sin（2x）1，故函数f（x）在区间上的值域为 ，故答案为 点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题10（5分）函数的图象与函数y=2sinx（2x4）的图象所有交点的横坐标之和等于4考点：正弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系专题：计算题分析：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2解答：解：函数y1=2sinx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，当1x4时，y1，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调减且为正数，函数y2在x=处取最大值为2，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中c、d），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（2，1）上也有两个交点（图中a、b），并且：xa+xd=xb+xc=2，故所求的横坐标之和为4，故答案为：4点评：本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合思想，发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在11（5分）定义在4，4上的偶函数f（x）在区间0，4上单调递减，若f（1m）f（m），则实数m的取值范围是考点：奇偶性与单调性的综合专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据函数是偶函数，可得f（x）=f（|x|），利用定义在4，4上的偶函数f（x）在区间0，4上单调递减，f（1m）f（m），建立不等式组，可求实数m的取值范围解答：解：由题意，函数是偶函数，f（x）=f（|x|）定义在4，4上的偶函数f（x）在区间0，4上单调递减，f（1m）f（m），实数m的取值范围是故答案为：点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析转化问题的能力，正确建立不等式组是关键12（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=x+b都不是曲线y=x33ax的切线，则实数a的取值范围是考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题分析：由直线y=x+b得直线斜率为1，直线y=x+b不与曲线f（x）相切知曲线f（x）上任一点斜率都不为1，即f（x）1，求导函数，并求出其范围3a，+），得不等式3a1，即得实数a的取值范围解答：解：设f（x）=x33ax，求导函数，可得f（x）=3x23a3a，+），存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=x+b都不是曲线y=x33ax的切线，13a，+），3a1，即实数a的取值范围为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题13（5分）已知函数f （x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点a（1，1），若对任意x1，9，不等式f （xt）x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质专题：导数的概念及应用分析：对f（x）进行求导，根据它与直线y=x相切于点a（1，1），可得f（1）=0，可得把点a代入得到方程，求出a，b，求出f（x）的解析式，根据题意对任意x1，9，不等式f （xt）x恒成立，根据根与系数的关系进行求解；解答：解：已知函数f （x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点a（1，1），f（x）=2ax+b，f（1）=1，可得2a+b=1，又f（x）过点a（1，1）可得a+b+=1，联立方程可得a=，b=，f（x）=x2+x+，对任意x1，9，不等式f （xt）x恒成立，可得f（xt）=（xt+1）2x，化简可得，x22x（t1）+（t1）24x0，在1，9上恒成立，令g（x）=x22x（t+1）+（t1）20，在1，9上恒成立，解可得0t4，解可得4t14，解可得t4综上可得：t=4，故答案为2点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值掌握不等式恒成立时所取的条件；14（5分）函数f（x）的定义域为d，若满足f（x）在d内是单调函数，存在a，bd，使f（x）在a，b上的值域为b，a，那么y=f（x）叫做对称函数，现有是对称函数，那么k的取值范围是考点：函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数的值域专题：压轴题；新定义分析：函数 在定义域（，2上是减函数，由可得 f（a）=a，f（b）=b，由此推出 a和 b 是方程在（，2上的两个根利用换元法，转化为k=t2+t+2=（t）2+在0，+）有两个不同实根，解此不等式求得 k 的范围即为所求解答：解：由于在（，2上是减函数，故满足，又f（x）在a，b上的值域为b，a，所以a和 b 是关于x的方程在（，2上有两个不同实根令t=，则x=2t2，t0，k=t2+t+2=（t）2+，k的取值范围是，故答案为：点评：本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，得到a和 b 是方程在（，2上的两个根，是解题的难点，属中档题二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15（10分）已知，且，（1）求cos的值；（2）证明：考点：三角函数的恒等变换及化简求值；二倍角的余弦专题：整体思想；三角函数的求值分析：（1）直接利用二倍角的余弦函数，以及三角函数的平方关系，转化为，即可求解cos（2）求出+的正弦与余弦值，利用（1）求出的正弦函数值，求出cos的值，即可证明结果解答：解：（1）=（6分）（2）证明：因为易得，又 所以，（8分）由（1）可得sin=，所以（10分）点评：本题考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查整体思想与计算能力16（10分）如图，空间几何体abcdef中，四边形abcd是菱形，直角梯形adfe所在平面与面abcd垂直，且aead，efad，其中p，q分别为棱be，df的中点（1）求证：bdce；（2）求证：pq平面abcd考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质专题：计算题；空间位置关系与距离分析：（1）连接ac，在菱形abcd中，acbd，由平面adef平面abcd，aead，ae平面adef，知ae平面abcd，由此能够证明bdce（2）取ae的中点g，连接pg，qg，在abe中，bp=pe，ag=ge，故pgba，由pg平面abcd，ba平面abcd，知pg平面abcd，由此能够证明pq平面abcd解答：证明：（1）连接ac，在菱形abcd中，acbd，平面adef平面abcd，交线为ad，aead，ae平面adef，ae平面abcd，bd平面abcd，aebd，acae=a，bd平面aec，bdce（2）取ae的中点g，连接pg，qg，在abe中，bp=pe，ag=ge，pgba，pg平面abcd，ba平面abcd，pg平面abcd，在梯形adef中，dq=qf，ag=ge，gqad，同理，gq平面abcd，pggq=g，pg平面pgq，gqpqg，平面pqg平面abcd，pq平面pqg，pq平面abcd点评：本题考查直线与直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题17（12分）（2010南通模拟）设等差数列an的前n项和为sn，且a5+a13=34，s3=9（1）求数列an的通项公式及前n项和公式；（2）设数列bn的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm（m3，mn）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由考点：等差数列的性质专题：综合题；探究型分析：（1）设出等差数列的公差为d，根据等差数列的性质及通项公式化简a5+a13=34，s3=9，即可求出首项和公差，分别写出通项公式及前n项和的公式即可；（2）把（1）求得的通项公式an代入得到数列bn的通项公式，因为b1，b2，bm成等差数列，所以2b2=b1+bm，利用求出的通项公式化简，解出m，因为m与t都为正整数，所以得到此时t和m的值即可解答：解：（1）设等差数列an的公差为d由已知得即解得故an=2n1，sn=n2（2）由（1）知要使b1，b2，bm成等差数列，必须2b2=b1+bm，即，（8分）整理得，因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4故存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质、通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题18（12分）已知椭圆e：的左顶点为a，左、右焦点分别为f1、f2，且圆c：过a，f2两点（1）求椭圆e的方程；（2）设直线pf2的倾斜角为，直线pf1的倾斜角为，当=时，证明：点p在一定圆上（3）直线bc过坐标原点，与椭圆e相交于b，c，点q为椭圆e上的一点，若直线qb，qc的斜率kqb，kqc存在且不为0，求证：kqbkqc为定植考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）求出圆与x轴交点坐标，即可确定椭圆e的方程；（2）确定tan、tan，利用两角差的正切公式，化简可得结论；（3）求出直线qb，qc的斜率，利用点在椭圆上，代入作差，即可求得结论解答：（1）解：圆与x轴交点坐标为，b=3，椭圆方程是：（4分）（2）证明：设点p（x，y），因为f1（，0），f2（，0），所以=tan=，=tan=，因为=，所以tan（）=因为tan（）=，所以=，化简得x2+y22y=3，所以点p在定圆x2+y22y=3上（10分）（3）证明：设b（m，n），q（x，y），则c（m，n）kqbkqc=，两式相减可得=kqbkqc=（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查两角差的正切公式，考查斜率的计算，属于中档题19（12分）（2010江苏二模）如图是一块长方形区域abcd，ad=2（km），ab=1（km）在边ad的中点o处，有一个可转动的探照灯，其照射角eof始终为，设aoe=（0），探照灯o照射在长方形abcd内部区域的面积为s（1）当0时，写出s关于的函数表达式；（2）当0时，求s的最大值（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（oe自oa转到oc，再回到oa，称“一个来回”，忽略oe在oa及oc反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设ab边上有一点g，且aog=，求点g在“一个来回”中，被照到的时间考点：解三角形的实际应用专题：计算题分析：（1）过o作ohbc，h为垂足，讨论的范围，当0时，e在边ab上，f在线段bh上，根据s=s正方形oabhsoaesohf，当时，e在线段bh上，f在线段ch上，s=soef（2）当0时，利用基本不等式求出s的最大值，注意等号成立的条件；（3）在“一个来回”中，求出oe共转动的角度，其中点g被照到时，共转的角度，从而可求出“一个来回”中，点g被照到的时间解答：解：（1）过o作ohbc，h为垂足当0时，e在边ab上，f在线段bh上（如图），此时，ae=tan，fh=，（2分）s=s正方形oabhsoaesohf= （4分）当时，e在线段bh上，f在线段ch上（如图），此时，eh=，fh=，（6分）ef=s=soef=综上所述，（8分）（2）当0时，s=，即s= （10分）0，0tan1即11+tan22s2当tan=1时，s取得最大值为2 （12分）（3）在“一个来回”中，oe共转了2=其中点g被照到时，共转了2= （14分）则“一个来回”中，点g被照到的时间为（分钟）（16分）点评：本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，同时考查了利用基本不等式求最值问题，属于中档题20（14分）已知（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程f（x）=x22x+k有实数解，求实数k的取值范围；（3）当nn*，n2时，求证：考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系专题：常规题型；压轴题；转化思想分析：（1）函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值f（x）=0在（a，a+1）上有根，结合条件由函数的单调性可得函数有唯一极值点x=1，1（a，a+1）（2）构造函数g（x）=x22x+k，若关于x的方程f（x）=x22x+k有实数解f（x）=g（x）有实数解g（x）min=g（1）f（x）max（法二）由f（x）=x22x+k分离系数k=，构造函数h（x）=，由题意可得，kh（x）max（3）结合函数f（x）在（1，+）上的单调性可得，f 1+，利用该结论分别把n=1，2，3，代入叠加可证解答：解：（1），当x（0，1）时，f（x）0；当x（1，+）时，f（x）0；函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+）为减函数（3分）当x=1时，函数f（x）取得极大值，而函数f（x）在区间（a，a+1）有极值，解得0a1（2）由（1）得f（x）的极大值为f（1）=1，令g（x）=x22x+k，所以当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=k1，又因为方程f（x）=x22x+k有实数解，那么k11，即k2，所以实数k的取值范围是：k2解法二：f（x）=x22x+k，令h（x）=，所以h（x）=+22x，当x=1时，h（x）=0当x（0，1）时，h（x）0；当x（1，+）时，h（x）0当x=1时，函数h（x）取得极大值为h（1）=2当方程f（x）=x22x+k有实数解时，k2）（3）函数f（x）在区间（1，+）为减函数，而，即lnn=ln2ln1+ln3ln2+lnnln（n1）而nf（n）=1+lnn，结论成立点评：本题考查函数存在极值的性质，函数与方程的转化，及利用函数的单调性证明不等式，要注意叠加法及放缩法在证明不等式中的应用三、附加题21选修41：几何证明选讲已知abc中，ab=ac，d是abc外接圆劣弧ac上的点（不与点a，c重合），延长bd至e求证：ad的延长线平分cde考点：圆內接多边形的性质与判定专题：综合题分析：要证ad 的延长线平分cde，即证edf=cdf，根据a，b，c，d 四点共圆，可得abc=cdf，ab=ac可得abc=acb，从而得解解答：解：设f 为ad 延长线上一点a，b，c，d 四点共圆，abc=cdf 3分又ab=acabc=acb，5分且adb=acb，adb=cdf，7分对顶角edf=adb，故edf=cdf，即ad 的延长线平分cde.10分点评：本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，主要基础题22选修42：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵a属于特征值1的一个特征向量为1=，属于特征值5的一个特征向量为2=求矩阵a，并写出a的逆矩阵考点：特征值与特征向量的计算专题：计算题分析：根据特征值的定义可知a=，利用待定系数法建立等式关系，解方程组即可求得矩阵a，再利用公式求其逆矩阵解答：解：由矩阵a属于特征值1的一个特征向量为1=，即3ab=3；3分由矩阵a属于特征值5的一个特征向量为2=11，可得，即a+b=5，6分解得，7分a的逆矩阵是10分点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题23（极坐标与参数方程）在极坐标系（，）（02）中，求曲线=2sin与cos=1的交点q的极坐标考点：简单曲线的极坐标方程专题：计算题分析：先将原极坐标方程=2sin与cos=1（0）化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程求出交点，最后再转化成极坐标解答：解：将直线cos=1与圆=2sin分别化为普通方程得，直线x=1与圆x2+（y1）2=1，（6分）易得直线x=1与圆x2+（y1）2=1切于点q（1，1），所以交点q的极坐标是（10分）点评：本题主要考查直线与圆的极坐标方程，考查运算求解能力24选修45不等式证明选讲设a，b，c均为正数，证明：考点：不等式的证明；基本不等式专题：证明题；压轴题分析：将左边加上a+b+c，再使用基本不等式，从而可证解答：证明： 3分 2a+2b+2c 9分即得.10分点评：本题以不等式为载体，考查基本不等式的运用，关键是根据题目特征，创造符合基本不等式的