江苏省盐城市东台市唐洋中学高二数学下学期期中试题 理（含解析）苏教版.doc

2012-2013学年江苏省盐城市东台市唐洋中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题纸上相应位置上.1（5分）函数y=xex+1在点（0，1）处的切线方程为xy+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程分析：欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决解答：解：y=xex+1，f（x）=xex+ex，当x=0时，f（0）=1得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为：y1=1（x0），即xy+1=0故答案为：xy+1=0点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题2（5分）（2013渭南二模）观察下列等式：，照此规律，计算12+23+n（n+1）=（nn*）考点：归纳推理专题：规律型分析：解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边从12开始n（n+1）的累加值，右边为三个连续整数的积的，从中找规律性即可解答：解：，照此规律，12+23+n（n+1）=故答案为：点评：所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理它与演绎推理的思维进程不同归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程属于基础题3（5分）（2010扬州模拟）复数z1=3+i，z2=1i，则复数在复平面内对应的点位于第一象限考点：复数代数形式的乘除运算分析：先化简复数，求出它的代数形式后，看它的实部和虚部值的符号，就可以了解答：解：因为复数=，显然复数在复平面内对应的点位于第一象限故答案为：一点评：复数在复平面内对应的点位于第几象限，关键看它的代数形式，实部和虚部的正负4（5分）若f（x）=+blnx在（1，+）上是减函数，则b的取值范围是b1考点：函数的单调性与导数的关系专题：导数的概念及应用分析：求出原函数的导函数，由f（x）=+blnx在（1，+）上是减函数，则其导函数在（1，+）上小于等于0恒成立，由此可以求得b的取值范围解答：解：由f（x）=+blnx，定义域为（0，+）函数f（x）=+blnx在（1，+）上是减函数，则在x（1，+）上恒成立，即bx2在x（1，+）上恒成立，因为x21，所以b1故答案为b1点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系属基础题5（5分）设，当x1，2时，f（x）m恒成立，则实数m的取值范围为 （7，+）考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：常规题型分析：先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m的范围解答：解：f（x）=3x2x2=0解得：x=1或当x时，f（x）0，当x时，f（x）0，当x（1，2）时，f（x）0，f（x）max=f（），f（2）max=7由f（x）m恒成立，所以mfmax（x）=7故答案为：（7，+）点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间a，b上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，属于基础题6（5分）（2011吉安二模）若bn是等比数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论：类比上述性质，相应地，若an是等差数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论：m（apan）+n（amap）+p（anam）=0考点：类比推理专题：探究型分析：仔细分析题干中给出的不等式的结论：的规律，结合等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此等差数列类比到等比数列的：m（apan）+n（amap）+p（anam）=0成立解答：解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bnam可以类比等比数列中的 ，等差数列中的“差”可以类比等比数列中的“商”故m（apan）+n（amap）+p（anam）=0故答案为m（apan）+n（amap）+p（anam）=0点评：本题主要考查等差数列类比到等比数列的类比推理，类比推理一般步骤：找出等差数列、等比数列之间的相似性或者一致性用等差数列的性质去推测物等比数列的性质，得出一个明确的命题（或猜想）7（5分）已知函数f（x）=+a2x2+ax+b（a0），当x=1时函数f（x）的极值为，则f（2）=考点：函数在某点取得极值的条件专题：导数的概念及应用分析：求出原函数的导函数，根据当x=1时函数f（x）的极值为，有f（1）=0，列方程组求出a，b的值，代入原函数解析式后课求f（2）的值解答：解：由f（x）=+a2x2+ax+b（a0），得f（x）=x2+2a2x+a因为当x=1时函数f（x）的极值为，所以，解得：a=（舍），或a=1把a=1代入得：b=1所以f（x）=所以故答案为点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，需要注意的是极值点处的导数等于0，但导数为0的点不一定是极值点，属基础题8（5分）已知，是z的共轭复数，则=0考点：复数代数形式的混合运算专题：计算题分析：利用复数的运算法则和周期性i4=1即可得出解答：解：=i，=ii4=1，=i5+i6+i7+i8=i+i2+i3+1=i1i+1=0故答案为0点评：熟练掌握复数的运算法则和周期性i4=1是解题的关键9（5分）已知函数f（x）的定义域为1，5，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示下列关于f（x）的命题：函数f（x）的极大值点为0，4；函数f（x）在0，2上是减函数；当1a2时，函数y=f（x）a有4个零点；函数y=f（x）a的零点个数可能为0、1、2、3、4个x10245f（x）12121其中正确命题的序号是考点：利用导数研究函数的极值；命题的真假判断与应用专题：阅读型；数形结合分析：由导函数的图象看出函数的单调区间及原函数的极值点，结合函数f（x）在定义域1，5内的部分对应值表，可以作出函数f（x）图象的大致形状，由图象形状可以判断四个命题的真假解答：解：由导函数的图象可知，在定义域1，5上，导函数有3个零点，分别是0，2，4，且当x（1，0）和x（2，4）时，导函数大于0，所以原函数在（1，0），（2，4）上为增函数，当x（0，2）和x（4，5）时，导函数小于0，所以原函数在（0，2），（4，5）上为减函数又f（1）=1，f（0）=2，f（2）=1，f（4）=2，f（5）=1，所以原函数的图象大致为：由图可知：函数f（x）的极大值点为0，4所以命题正确；函数f（x）在0，2上为减函数所以命题正确；当1a2时，函数y=f（x）a有4个零点所以命题正确；函数y=f（x）a的零点个数可能为0、2、3、4个所以命题不正确故答案为点评：本题考查的是判断命题的真假，考查了利用导数研究函数的极值，考查了数形结合的解题思想，解答此题的关键是通过导函数的图象得到原函数的单调区间及极值点的情况，属中档题10（5分）在复平面内，复数对应的点到直线y=x+1的距离是考点：点到直线的距离公式分析：复数化为a+bi的形式，得到（a，b），然后求它到直线的距离解答：解：复数，在复平面内，复数对应的点是（1，1），此点到直线y=x+1的距离是故答案为：点评：复数和复平面上的点是一一对应的，复数化为a+bi的形式，非常重要本题是基础题目11（5分）对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律，则52=1+3+5+7+9，若m3（mn*）的分解中最小的数是73，则m的值为9考点：类比推理专题：计算题分析：根据23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，可知从23起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首数为m2m+1，利用条件可解解答：解：根据23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，从23起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首数为m2m+1m3（mn*）的分解中最小的数是73，m2m+1=73m=9故答案为9点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）12（5分）已知复数z1=1+2i，z2=1i，z3=34i，它们在复平面上所对应的点分别为a，b，c，若，则+的值是1考点：向量的共线定理；复数的基本概念专题：综合题；转化思想分析：由题设求出三点a，b，c的坐标，既得三个向量的坐标将三个向量的坐标代入向量方程，利用向量的相等建立起参数，的方程，求出，的值解答：解：由题设得三点的坐标分别为a（1，2），b（1，1），c（3，4）将三向量的坐标代入得（3，4）=（1，2）+（1，1），因此，即，所以+=1故应填 1点评：本题考查复数与向量的对应，以及向量相等的条件，复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上，向量相等则两向量的横纵坐标相等13（5分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数则f（4）=37；f（n）=3n23n+1考点：归纳推理专题：规律型分析：根据图象的规律可得相邻两项的差的规律可分析得出f（n）f（n1）=6（n1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式解答：解：由于f（2）f（1）=71=6，f（3）f（2）=197=26，f（4）f（3）=3719=36，f（5）f（4）=6137=46，因此，当n2时，有f（n）f（n1）=6（n1），所以f（n）=f（n）f（n1）+f（n1）f（n2）+f（2）f（1）+f（1）=6（n1）+（n2）+2+1+1=3n23n+1又f（1）=1=31231+1，所以f（n）=3n23n+1当n=4时，f（4）=34234+1=37故答案为：37；3n23n+1点评：本题主要考查了数列的问题、归纳推理属于基础题14（5分）（2010盐城三模）设a0，函数，若对任意的x1，x21，e，都有f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围为考点：利用导数研究函数的单调性专题：压轴题分析：先对函数g（x）求导判断出函数g（x）的单调性并求其最大值，然后对函数f（x）进行求导判断单调性求其最小值，最后令函数f（x）的最小值大于等于函数g（x）的最大值即可解答：解：g（x）=xlnxg（x）=1，x1，e，g（x）0 函数g（x）单调递增g（x）的最大值为g（e）=e1f（x）=x+f（x）=，令f（x）=0a0x=a当0a1 f（x）在1，e上单调增 f（1）最小=1+a2e11a当1ae 列表可知 f（a）最小=2ae1 恒成立当ae时 f（x）在1，e上单调减 f（e）最小=e1 恒成立综上a故答案为：a点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.15（14分）二阶矩阵m对应的变换将点（1，1）与（2，1）分别变换成点（1，1）与（0，2）（）求矩阵m的逆矩阵m1；（）设直线l在变换m作用下得到了直线m：2xy=4，求l的方程考点：逆矩阵与投影变换；直线的一般式方程专题：计算题分析：（1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可，再根据求逆矩阵的公式求出逆矩阵；（2）在所求的直线上任设一点写成列向量，求出该点在矩阵m的作用下的点的坐标，代入已知曲线即可解答：解：（）设，则有=，=，所以且，解得所以m=，从而m1=（）因为=且m：2xy=4，所以2（x+2y）（3x+4y）=4，即x+4=0，这就是直线l的方程点评：本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及直线的一般式方程等基础知识，属于基础题16（14分）已知复数z=（mr，i是虚数单位）是纯虚数（1）求m的值；（2）若复数w，满足|wz|=1，求|w|的最大值考点：复数求模；复数的基本概念专题：计算题分析：（1）利用复数的运算法则把z化为（m21）+（m+1）i，再利用纯虚数的定义即可得出m（2）利用复数模的计算公式即可得出a2+（b2）2=1，进而由a2=1（b2）20求出b的取值范围，即可得出|w|的最大值解答：解：（1）复数z=（m21）+（m+1）i是纯虚数，解得m=1m的值是1（2）由（1）可知：z=2i设w=a+bi（a，br）|w2i|=1，a2+（b2）2=1，（*）|w|=由（*）可知：（b2）21，1b3.|w|的最大值为3点评：熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义、复数模的计算公式、圆的标准方程等是解题的关键17（14分）设f（n）=1+（nn*）求证：f（1）+f（2）+f（n1）=nf（n）1（n2，nn*）考点：综合法的思考过程、特点及应用专题：证明题分析：首先检验当n=2时，等式两边成立，再假设当n=k时，等式两边成立，写出此时的等式，准备后面要用，再检验当n=k+1时，等式成立，使用n=k时的条件，整理出结果，最后总结对于所有的不小于2的自然数结论都成立解答：证明：当n=2时，左边=f（1）=1，右边=21+1=1，左边=右边，等式成立假设n=k时，结论成立，即f（1）+f（2）+f（k1）=kf（k）1，那么，当n=k+1时，f（1）+f（2）+f（k1）+f（k）=kf（k）1+f（k）=（k+1）f（k）k=（k+1）f（k+1）k=（k+1）f（k+1）（k+1）=（k+1）f（k+1）1，当n=k+1时结论仍然成立f（1）+f（2）+f（n1）=nf（n）1（n2，nn*）点评：本题考查数学归纳法，在证明和自然数有关的等式或不等式时，一般应用数学归纳法，实际上这种问题证明是有一个固定的模式可以套用，这是注意在由n=k变化为n=k+1时，千万要用n=k的结论18（15分）观察数表求：（1）这个表的第i行里的最后一个数字是多少？（2）第i行各数字之和是多少？考点：归纳推理专题：图表型分析：（1）每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10，易得其通项公式；（2）第i行的数字为i，i+1，i+2，3i2，共2i1个数，代入等差数列的求和公式可得答案解答：解：（1）由图表可知：每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10，其首项为1，公差d=3，故第i行的最后一个数字为ai=1+3（i1）=3i2；（2）可知，第i行的第1个数字为i，第i行的个数字构成等差数列，即i，i+1，i+2，3i2，共2i1个数，故其和为=（2i1）2点评：本题考查归纳推理，得出各行各数的规律是解决问题的关键，属基础题19（15分）已知向量=，变换t的矩阵为a=，平面上的点p（1，1）在变换t作用下得到点p（3，3），求a4考点：几种特殊的矩阵变换专题：计算题分析：先利用待定系数法建立一个二元一次方程组，解方程组即可得出变换t的矩阵，再根据特征值的定义列出特征多项式 f（），令f（）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量，最后利用特征向量的性质计算，先利用特征向量表示向量，后将求 a4的值的问题转化成求有关特征向量的计算问题解答：解：则有 =，所以 ，解得 ，所以t=，矩阵t的特征多项式为 f（）=221，令f（）=0，得1=1，2=3，当1=1时，得 =，当2=3时，得=（7分）由 =m +n 得 ，得m=2，n=1a4=2+=（15分）点评：本题主要考查了特征值与特征向量的计算以及利用特征向量求向量乘方的问题，属于向量中的基础题20（18分）已知函数f（x）=lnxax+1（x0）（1）若对任意的x1，+），f（x）0恒成立，求实数a的最小值（2）若a=且关于x的方程f（x）=+b在1，4上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（3）设各项为正的数列an满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，nn*求证：an2n1考点：利用导数求闭区间上函数的最值；数列与不等式的综合专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）求导数f（x），对任意的x1，+），f（x）0恒成立，等价于f（x）在1，+）上的最大值小于等于0，根据a的范围分类讨