数学读书笔记1.pdf

数学读书笔记 读 数学思维教育论 摘要 郭思乐编著 1 数学教育是中小学的一门基础的学科教育 如同其他的学科一 样 其教育意义并不局限于本学科的只是掌握 更反映在它有效地促 进人的素质的发展 是人的文化修养的最深刻 最有效的部分之一 2 经济发达国家的数学教育改革方向 学校数学的焦点从双 重任务 对大多数人教最少的数学 而把高等数学教给少数人 过渡到单一中心 把数学的最重要的公共核心教给所有的学生 从基 于传递权威性的模式过渡到以启发学习为特征的 以学生为中心的实 践活动 从强调为后续内容做准备过渡到着重强调学生当前及未来所 需要的东西 从原来强调一张纸 一支笔计算到全面使用计算器和计 算机 3 中小学数学中蕴藏着促进人未来发展的因素 这就是人的 数学素质 其核心是人的思维品质 4 数学教师教学经历3个层次 展现解法 展现思路 展现 思路的寻找过程 5 数学教育的意义在于用学科自身的品质陶冶人 启迪人 充实人 促使人的素质的全面发展 6 数学教育是一种文化 使人得到数学方面的修养 更好的 理解 领略现代社会的文明 它是一种方法论 使人善于处世和做 事 能提高在现代化建设中的工作效率 它是一种精神和态度 使人 实事求是 锲而不舍 坚持不懈的追求 它是 思维的体操 使人思 维敏锐 表达清楚 7 数学的重要特性 抽象性 严密性 系统性 8 数学思维教育的意义在于培养人的数感 数学观念和数学 思想 数学教育是为了扩展人们头脑中的数学空间 9 数学相关能力 数学化 公理化 形式化 10 努力使外界现象数学化 注意现象的数学方面 到处注 意空间和数量关系以及函数依存关系 11 数学 培养学习的意志 培养人的概括能力 培养人本 质地看问题的意识 培养人的抽象意识 培养人的良好思维习惯 形 成良好的思维策略 增强人的反应能力 改善人的思维器官 12 数学教育目的 1 通过 数学常识 和 数学思维能 力 的组合来培养数学智力 2 培养有数学素养的人 有数学 素养 懂得数学价值 对自己的数学能力有信心 有解决数学课题的 能力 学会数学交流 学会数学的思想方法 3 通过练习题学习 数学技能 适合于学习事实和技能 通过解决具有某些特点 的情况 学习解答问题的一般方法 而这些特点是用来定义一个实实 在在的问题的 适合于学习如何发现和探究的技能 学习数学的再 发现和学会如何学习 13 数学学习的目的 从掌握 数学事实和技能 转变为掌 握 解决问题的一般方法 即 数学式地思考 是数学教育观念的重大 更新 14 理解数学的四个层面 1 形式层面的理解 逻辑思 维训练 应当是数学学习中的基本训练 2 发现层面的理解 3 直观 具体层面的理解 4 直觉层面的理解 15 一般认为数学是按严密的逻辑构成的科学 即使与逻辑 不尽相同 却也大致一样 但是实际上 数学与逻辑没有什么关系 数学当然应该遵循逻辑 但逻辑在数学中的作用就像文法在文学中的 作用那样 书写合乎文法的文章与照着文法去写小说完全是两码事 同样 进行正确的逻辑推理与堆砌逻辑去构成数学理论是性质完全不 同的问题 数学在本质上与逻辑不同 16 在数学中绝不要把逻辑的车放到启发式的马前面 17 我们只有了解结论是怎样得来的 才能真正弄懂结论 重现或亲历发现过程 是数学家学习 研究数学的高招 最好的学习 方法是动手 提问 解决问题 最好的教学方法是让学生提问 解决问题 不要只传授知识 要鼓励行动 18 数学是抽象的 理解数学的一个层面便是 赋予数学直 观和具体的意义 19 过份强调数学的形式结构是个错误 20 抽象只有在坚实的经验基础上才有意义 此外 引进抽 象观念后 应该用具体问题来显示她们的用处 21 现代数学好的方向是它强调几个基本的概念 诸如 对 称 连续和线性 22 几何直观仍然是领悟数学的最有效的渠道 几何直观就 是对于抽象的东西 能够在头脑中像画画一样描绘出来并加以思考 23 数学教学与人的素质发展相结合 是数学教育的最主要 的宗旨 24 几何图形是一种数学符合 是 直观空间的帮助记忆的 符号 是 图像化的公式 25 数学真正要办的事情是解决具体的问题 理解一个理论 的最好的办法是找到一个具体问题 然后研究该理论的一个样本实 例 一个能说明一切的典型例子 26 针对一个数学理论 举出典型实例 反例 特例 即特 殊情形 等 都市具体地理解这种数学理论的方法 27 逻辑用于证明 直觉用于发明 28 在理解数学的过程中 领悟推理链中所隐含的整体性 次序 性 和谐性 达到对推理链的整体把握 乃至能够预见证明 这种领悟 叫做直觉 29 记忆在数学中是重要的 但不必去记住数学事实 30 数学直觉意味着不严格 意味着可见 意味着缺乏证明时的 似真性和可信性 意味着不完全 意味着依赖物理模型或某些主要例 子 意味着与详细或分析相对立的笼统或综合 31 理解重于证明 32 数学思维教育要求学生通过自己的思维来学习 33 目前教育的缺陷 有的采取注入式和题海战术 把学习数学 仅仅看成是感知和再认 削弱或取消了它的中心环节 思维 有的吧 数学思维活动仅仅看作形式逻辑思维 忽视了从整体看问题的辨证的 发展的思维活动 34 如果问题给学生提供了合适的思维情境 就会极大地调动学 生思维积极性 35 在明白与不明白之间 还有广阔的 中间的 灰色的区域 36 学生通过思维由不知到知的实际过程比我们设想的要负责得 多 学生的思维过程不是一次性完成的 而是充满运动 变化 相对等 辨证性质的 37 教师往往希望学生的认识一开始就定格在 正确 合理 严 密 简练 的格局上 忽略了他们有一个不知 少知到多知的辨证的心 理过程 38 数学教育中运用 动 来学习 静 使静态的定理 公式 法 则具有动的生命 能在学生的思维中活跃起来 39 数学史发展的三个阶段 一 在产生算术和几何的第一阶 段 物体的具体的质被舍掉了 二 在引向算术符号的第二阶段 具体 的数与具体的量被舍去了 三 最后向现代数学的第三个阶段进行 不 仅仅是对象的性格 而且它们之间的依存关系也被略去了 40 整体性思维 是指注重对对象的整体把握的思维倾向 几何型思维 分列式思维 指注重把问题分解成条列状的一系列子问题 然后一步一步地加以解决的思维倾向 代数型思维 41 在实际教学中往往忽视整体性的思维风格 一方面 人们意 识不到整体性思维在人的数学思维中是不可缺少的 另一方面 成人往 往很难追忆自己当年思维产生和发展的过程 于是认为儿童学习都是采 取分列式思维的 这表现在成人为孩子写的教科书以及练习册 都是采 取小步子 一步一步前进的西来思维方式 42 在较高层次的形象思维中 我们对形式和逻辑 如用语 的准确 符号的采用 推理的根据等等作出了一定的让步 也可以 说 它以 量的模糊 和 推理形式的模糊 去换取 质 的鲜明和生动 43 数学形象思维的培养是数学教学改革的重要一环 44 在实际思维中 当抽象思维不能用算法方式继续下去 时 就必须借助于形象 找到抽象的方向 发现抽象思维的 解决问 题的 新的契机 抽象思维的结果也可以用形象的方式表现出来 这 时便出现了所谓 深入浅出 的表达 深入浅出 是由形象到抽象 又 由抽象到形象的过程 45 为了使学生富有创造精神 必须注重由求同思维转向求 异思维的培养 46 我们常常过份强调学生演绎思维 而忽视指导学生进行 合情推理 47 合情推理包括归纳推理和类比推理 48 合情推理是一种可能性推理 是根据人们的经验 知 识 直观与感觉得到一种可能性结论的推理 49 实践表明 在大量毕业生中 学科的常识性和工具性功 能 远没有发挥出来 其原因不在于知识无用 而在于缺少引领知识 的数学观念 把知识 形式训练和知识的社会意义两者统一起来 这 就需要进行数学观念教育 50 传统的学科教学由于受考试的影响 一般都逐步地向教 学程序的末梢转移 所谓 末梢 是指以非基本的技巧和技法作为主 干的那些题目 因而 它对一个人形成数学观念的作用甚微 对激发 人最积极的思维的影响是不大的 51 创造性思维一经传授就失去了创造意义 52 思维主要是靠启迪 而不是主要靠传授 越是传授得越 一清二楚 学习者越不需要思维 即使传授的东西是范例 也仅增加 了知识性的储存 而不一定能使人在新情境下索解 53 教师启迪思维的工作面 1 激起学习兴趣 引发动 机 创设成功教育的氛围 2 创设问题情境 增强解决问题的内 驱力 3 转化新问题 54 衡量数学教学好坏的标准之一 就是看教学能否有效地扩大人 的现实数学空间 数学空间不仅仅依靠一些即得的知识而构成 更重 要的是借助于所学知识的生长点和开放面 以及数学思维过程 获得 一种与数学相关的能力 从而使数学空间具有某种开放性 其中包 括 数学化 人们用数学方法观察现实世界 分析研究各种数学 现象 并对现实世界加以整理组织的过程 我们学习数学 最重要的 是学习数学化 同样地 我们学习公理的知识 还不如说是学习 公理 化 与其说是学习形式体系 还不如说是学习 形式化 55 培养数学智力 的提法 指明了数学智力的构成与培养途 径是 数学常识 和 数学思维能力 的组合 56 学生在数学教学结束后 他学过的数学知识必定会越来越多 地被遗忘 但是 如果教学得法 学生在数学教学的过程中对所学内 容的理解达到了应当达到的层面 那么 他就会几乎是地在所学过的 全部内容中提炼出最基本 最本质 最重要 通常也是最简单的极少 一部分 永远地记住它们 达到想忘都忘不掉的程度 这极少一部分 就是 数学常识 因此 学生所得数学知识要经历一个 少 多 少 的过程 57 以应试为目的的教育 往往不可能使学生达到应当达到的理 解层面 因而在所学的数学完成了应试的使命后 学生很快便将他们 忘却了 58 长期以来 由于应试教育的影响 数学教育仅侧重于学习现 成的知识结论 技巧和技法 而忽视了学科的基本精神 数学的基本 态度和基本方法的培养和训练 其中特别被忽视的一个方面 就是数 学观念的教育 数学观念 指的是人们对某一数学对象或数学过程的 本原和本体的见解和意识 包括对该数学知识而言 人类为什么想 怎样想和想出了什么这样一些问题 59 清人袁枚在 随园诗话 中指出 学如弓弩 才如箭 镞 识以领之 放能中鹄 才 智能 学 知识 识 见地 见识 知识是解决问题的基础 才智是知识转化为解决问题的工具 而见识见地 则对知识和能力的应用方向 方法 方式作引领 假如 没有后者 知识和能力就找不到它的用处 60 在数学教学中进行思维教育的主攻方向是 一 如何培养 学生的创造性思维 二 如何把传授知识和培养思维能力统一起来 61 对于学生来说 只要把要学的知识作为待创造的结果 就 能把学习知识和获得创造能力统一起来 62 我们应该有意加强以下几种教育 一 说理意识教育 让 学生知道任何规定 公式都有一定的根据和道理 二 刻划客观世界 的和谐的意识的教育 三 形式不变原理的教育 63 数学教育的失误 常常在于把探究部分轻易地转化为复现 部分 使之失去思维教育的意义 64 激发学习兴趣 引发动机 是教师在数学教育中必须自始 至