高中含参数恒成立不等式问题的解题策略[1].doc

含参数恒成立不等式问题的解题策略 一、主元变换法例1已知关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.分析：本题是对含参数的不等式在某个区间上恒成立，用主元变换法处理.解析：将其化为关于的不等式：对恒成立，当=1时，不等式化为00，不成立.当1时，关于的一次函数=在-2,4上的值恒为正值，无论一次项系数为正还是为负，只需要，即，解得或.所以实数的取值范围.点评：对含参数的不等式在某个区间上恒成立问题，若将其看成关于已知范围的变量的不等式更为简单，常将已知范围的变量看作主变量，化为关于已知范围的变量的不等式，结合对应的函数图像，得出其满足的条件，通过解不等式求解.二、数形结合法例2已知关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.分析：本题是一边为二次式另一边是对数式的不等式问题，用数形结合法.解析：作出=和的图像，由题意知对，=图像恒在的图像的下方，故，解得,故实数的取值范围为.点评：对不等式经过移项等变形，可化为两边是熟悉的函数的形式，特别是可化为一边为多项式另一边是超越函数的不等式问题和含参数的一元二次不等式问题，常常用数形结合法，先构造函数，再作出其对应的函数的图像，结合图像找出其满足的条件，通过解不等式求出参数的范围.例3.对任意实数不等式恒成立，求实数的取值范围.分析：设=,对任意实数不等式恒成立即转化为求函数=的最小值，画出此函数的图象即可求得的取值范围.解：令=在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使对任意实数不等式恒成立只需.故实数的取值范围点评：本题中若将对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围，改为任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围，同样由图象可得3;对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围,构造函数，画出图象，得3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.三、分离变量法例3已知函数在R上是减函数，对一切不等式 成立，求实数的取值范围.分析:先用函数的单调性化为关于的不等式，再用分离变量法，化为一端关于的式子另一端是关于的式子的不等式，解析：函数在R上是减函数，对一切不等式 成立，对一切恒成立，对一切恒成立，设=， =，当=1即=（）时，=2，2， 解得或3，实数的取值范围为或3.点评：对含参数不等式的在某个范围上恒成立求参数范围问题,若容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，即化为不等式(或)在的某个范围上恒成立问题,则(),先求出的最值，将其转化为关于的不等式问题，通过解不等式求出参数的取值范围.四、分类讨论法例4当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.分析：本题不等式左边是对数式，底数含参数，故需要对底数分类讨论.解析：原不等式可化为：，当01 时，对数函数是减函数，则原不等式等价于：对恒成立， 当时，=8， 8，解得，或；当1 时，对数函数是增函数，则原不等式等价于：对恒成立， 当时，=2， 2，解得，或 1，综上所述，实数的取值范围为.点评：对含参数恒成立的不等式问题，若参数取值不同，是不同的不等式或解法不同时，可对参数进行分类讨论进行求解，注意分类要做到不重不漏.五、判别式法例5不等式1对R恒成立，求实数的取值范围.分析：本题左边是分子和分母都为关于二次三项式，可用判别式法.解析：0恒成立， 原不等式可化为：0对R恒成立，20， =0，解得13，实数的取值范围为（1，3）.点评：对可化为关于一元二次不等式对对R（或去掉有限个点）恒成立，常用判别式法.先将其化为关于一元二次不等式，结合对应的一元二次函数图像，确定二次项系数与判别式满足的条件，化为关于参数的不等式问题，通过解不等式求解.注意二次是否可为0.六、最值法例6若已知不等式对恒成立，求实数的取值范围.分析：本题是一元二次不等式在某个区间上恒成立问题，将其化为一边是关于的二次式的另一边为0的形式，其对应的函数最值易求，故用最值法.解析：原不等式可化为：0对恒成立，设=()=，对称轴=且离2远，故=2时，=，要使0对恒成立，只需=0即可，解得，实数的取值范围为.点评：对含参数的不等式恒成立问题，可将其化为0（或0）在的某个范围上恒成立问题，则0(0),先求出的最值，将其转化为关于的不等式问题，通过解不等式求出参数的取值范围.1. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2 三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求的取值范围.3. 已知向量若函数在区间上是增函数，求t的取值范围.4. 已知函数，其中是的导函数.（1）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（2）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点.5. 求与抛物线相切于坐标原点的最大圆的方程.6. 设，二次函数若的解集为， ，求实数的取值范围.7. 已知函数，. 若，且存在单调递减区间，求a的取值范围；8. 设是函数的一个极值点.（）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）设，,若存在使得成立，求的取值范围.9. 已知函数 （1）求的单调区间和值域；（2）设，函数,若对于任意,总存在使得成立，求a的取值范围.10. 求实数的取值范围，使得对任意实数和任意，恒有：。11. 已知是函数的一个极值点，其中。（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.12. 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且其中A,B为常数.（）求A与B的值；（）证明数列an为等差数列；（）证明不等式对任何正整数m、n都成立.13. 对于满足|a|2的所有实数a,求使不等式x2+ax+12a+x恒成立的x的取值范围。14. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若，有，（1）证明在上的单调性；（2）若对所有恒成立，求的取值范围。15. 若函数在R上恒成立，求m的取值范围。16. 已知函数，在R上恒成立，求的取值范围。若时，恒成立，求的取值范围。若时，恒成立，求的取值范围。 若对任意的实数，恒成立，求的取值范围。分析：这是有关三角函数的二次问题，运用到三角函数的有界性。已知函数，常数，求（1）函数的定义域；（2）当满足什么条件时在区间上恒取正。答案：1.（1）设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得（2）设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.2. 关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.设.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设其解法相当于解下面的问题：对于,若恒成立,求的取值范围.所以，甲的解题思路与题目,恒成立,求的取值范围的要求不一致.因而, 甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数的图象和的图象,然而,函数的图象并不容易作出.由乙的解题思路,本题化为在上恒成立,等价于时, 成立.由在时,有最小值,于是,.3. 依定义在区间上是增函数等价于在区间上恒成立;而在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立;设进而在区间上恒成立等价于考虑到在上是减函数,在上是增函数,则. 于是, t的取值范围是.4. 解法1.由题意，这一问表面上是一个给出参数的范围，解不等式的问题，实际上，把以为变量的函数，改为以为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即 令，则对，恒有，即，从而转化为对，恒成立，又由是的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此只需 即解得.故时，对满足的一切的值，都有.解法2.考虑不等式.由知,于是,不等式的解为 .但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑的条件,还应进一步完善.为此,设.不等式化为恒成立,即.由于在上是增函数,则,在上是减函数,则所以, .故时，对满足的一切的值，都有.5. 因为圆与抛物线相切于坐标原点,所以,可设.由题意, 抛物线上的点除坐标原点之外,都在圆的外边.设和圆心的距离为,则本题等价于 在的条件下,恒成立.整理式得 于是,本题又等价于式在的条件下,恒成立.即,由得 ,即.所以,符合条件的最大圆的半径是,最大圆的方程为6.解法一：由题设,. 的两个根为显然,. (1) 当时, (2) 当时, , .于是,实数的取值范围是.解法二:(1) 当时,因为的图象的对称轴，则对，最大， (2) 当时, 在或实现,由,则于是,实数的取值范围是.这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来思考.7. 只研究第（I）问.，则因为函数存在单调递减区间，所以有解.由题设可知,的定义域是 ,而在上有解,就等价于在区间能成立,即, 成立, 进而等价于成立,其中.由得,.于是,由题设,所以a的取值范围是8. 本题的第（） “若存在使得成立，求的取值范围.”如何理解这一设问呢？如果函数在的值域与在的值域的交集非空，则一定存在使得成立，如果函数在的值域与在的值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1即可.由（）可得,函数在的值域为,又在的值域为,存在使得成立，等价于或，容易证明,.于是, .9. （1）对函数求导，得 令解得可以求得，当时，是减函数；当时，是增函数.当时，的值域为.（2）对函数求导，得因为，当时，因此当时，为减函数，从而当时有又即时有的值域为是如何理解“任给，存在使得”，实际上，这等价于值域是值域的子集，即这就变成一个恒成立问题，的最小值不小于的最小值，的最大值不大于的最大值即解式得 ；解式得又，故a的取值范围为10. 提示：原不等式 答案：或11. 分析一：前面两小题运用常规方法很快可以得到，(I) （II）当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）为对恒成立，即3(1)(1+)30，(1)(1+)1(*)1=1时，(*)化为01恒成立，021时，1,1，210运用函数思想将(*)式化为(1)，令=1，则2,0，记，则在区间2,0是单调增函数；由(*)式恒成立，必有，又0，则综合1、2 得分析二：（III）中的，即对恒成立，即运用函数思想将不等式转化为函数值大于0，设，再运用数形结合思想，可得其函数开口向上，由题意知式恒成立，解之得又所以即的取值范围为。 通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用。12. 分析：本题是一道数列综合运用题，第一问由a1、a2、a3求出s1、s2、s3代入关系式，即求出A=-20、B=-8；第二问利用公式，推导得证数列an为等差数列.由于an=1+5(n-1)=5n-4，故第三问即是证明对任何正整数m、n恒成立.对此复杂的恒成立问题，我们可以用分析法将此恒成立问题进行等价转化，由于要等价转化故需要先移项再两边平方，整理得：，而基本不等式得到：，因此要证明原不等式恒成立，只要证5(m+n)-829，而此式对任何正整数m、n都能成立。通过等价转化，将原来恒成立不等式得到大大简化，从而将复杂问题简单化。13. 分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题。解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.14. 分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是的范围，所以根据上式将当作变量，作为常量，而则根据函数的单调性求出的最大值即可。（1） 简证：任取且，则 又是奇函数 在上单调递增。（2） 解：对所有，恒成立，即， 即在上恒成立。 。15. 分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。略解：要使在R上恒成立，即在R上恒成立。 时， 成立 时，由，可知，16. 分析：的函数图像都在X轴上方，即与X轴没有交点。略解：，令在上的最小值为。当，即时， 又 不存在。当，即时， 又 当，即时， 又 总上所述，。解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把