凸函数及其在不等式证明中的应用_尚亚东.pdf

第 4 卷 第 1 期 2005 年 2 月 广州大学学报 自然科学版 Journal of GuangzhouUniversity Natural Science Edition Vol 4 No 1 Feb 2005 收稿日期 2004 04 12 基金项目 国家自然科学基金资助项目 10271034 作者简介 尚亚东 1963 男 教授 博士 主要从事非线性偏微分方程研究 文章编号 1671 4229 2005 01 0001 06 凸函数及其在不等式证明中的应用 尚亚东 游淑军 广州大学 数学与信息科学学院 广东 广州 510405 摘 要 凸性是一种重要的几何性质 凸函数是一种性质特殊的函数 凸集和凸函数在泛函分析 最优化理论 数理经济学等领域都有着广泛的应用 借助凸集引入凸函数概念 介绍了凸函数的基本性质 特别研究了凸函 数的 Jensen 不等式在不等式证明中的应用 关键词 凸性 凸集 凸函数 Jensen 不等式 中图分类号 O 174 13 O 178 文献标识码 A 凸性是一种几何性质 也是一种代数性质 凸 函数则是一类性质独特的函数 凸性和凸函数在 不等式 泛函分析 最优理论 运筹学 控制论及数 理经济学等应用数学领域都有很多应用 本文首 先借助于凸集概念引出凸函数定义 揭示凸函数 概念与凸性这一几何性质的联系 随后介绍凸函 数的几何直观描述 解析定义和凸函数的重要性 质 在此基础上 利用凸函数的 Jensen 不等式 证 明了一些应用初等数学知识难以证明的初等不等 式 显示出凸函数在不等式证明中的重要性 最后 进一步研究了凸函数在泛函分析中的应用 1 凸函数的定义及性质 为了从较高的起点来给出凸函数的定义 清 晰地看出凸函数与凸性的联系 先给出凸集的两 个定义 定义 1 1 某集合称为凸集 是指连接该集合 中的任何两点的连接直线段上的点都在该集合 中 定义 2 1 设 X 是一个线性空间 x1 x2I X 为任意两点 称 x1 x2 xKI X xK K x1 1 K x2 KI 0 1 为连接 x1 x2的闭线段 定义 3 1 设 X 是一个线性空间 子集 A X 称为凸集 是指对Px1 x2I A 及 KI 0 1 有 K x1 1 K x2I A 或 Px1 x2I A x1 x2 A 从代数上看 凸集是子空间概念的推广 定义 4 1 设f B a b y R 为定义在R 中的 开区间 a b B x I R a x b 上的实值函 数 这里 a b 满足 a 0 E n i 1 Ki 1 f E n i 1 Kixi E n i 1 Kif xi 3 对于凸函数的不等式 3 通常称为 Jensen 不 等式 对于连续函数 有下面凸函数的判据 命题 2 设 f B a b yR 为连续函数 如果 Px1 x2I a b f x1 x2 2 f x1 f x2 2 那么 f 是 a b 上的凸函数 关于凸函数的导数性质 有如下结果 命题 3 2 f x 为区间 a b 上的凸函数等 价于下列条件之一 i Px1 x2I a b x1 x2 Px0I x1 x2 f x1 f x0 x1 x0 f x2 f x0 x2 x0 即对于任何 x0I a b 来说 f 在x0处的左差商 不大于右差商 ii Px1 x2I a b x1 x2 Px0I x1 x2 f x2 f x1 x2 x1 f x0 f x1 x0 x1 即对于任何 x1I a b f 在x1处的右差商当自 变量差分减小时不增 iii Px1 x2I a b x1 x2 Px0I x1 x2 f x1 f x2 x1 x2 f x0 f x2 x0 x2 即对于任何 x2I a b f 在x2处的左差商当自 变量差分减小时不减 iv f y f x y x y X x 对 x 和y 都是不减函 数 v f x 在区间 a b 上处处左右可导 从而处 处连续 同时 其左 右导数 fc fc 满足 Px1 x2I a b x1 0 i 1 2 n 证 n 1 x1 1 x2 1 xn n x1x2 xn x1 x2 xn n 当且仅当所有 xi 1 i n 全部相等时 等号成 立 证明 要利用 Jensen 不等式来证明 关键是 找出合适的凸函数 观察不等式 n x1x2 xn x1 x2 xn n 的形式 易知两边取对数变成 lnx1 lnx2 lnxn n ln x1 x2 xn n 这就很容易找到合适的凸函数了 首先考察 f x lnx x 0 的凸性 因为 fd x 1 x 2 0 由定 理1 知 f x 是 0 上的严格凸函数 由Jensen 不等式知 当 xi 0 i 1 2 n 不全相等时有 ln x1 x2 xn n lnx1 lnx2 lnxn n 及 ln 1 x1 1 xn n 0 Px 0 所 以 f x xp p 1 为凸函数 从而 Px1 x2 xnI R PK1 K2 KnI 0 1 E n i 1 Ki 1 有 K1x1 K2x2 Knxx p K1xp1 K2xp2 Knxpn 在上式中 令 K1 K2 Kn 1 n 即得 x1 x2 xn n xp1 xp2 xpn n 1 p 例3 证明 Cauchy H lder 不等式 设 a1 a2 an b1 b2 bn为两组非负实数 p 1 q 1 p q 1 则 Eaibi Eapi 1 p Ea q i 1 q 证明 同样地 可考虑函数f x xp p 1 由前例知 f x xp p 1 为凸函数 从而 Px1 x2 xnI R PK1 K2 KnI 0 1 E n i 1 Ki 1 有 K1x1 K2x2 Knxx p K1xp1 K2xp2 Knxpn 在上式中 令 xi ai b1 p 1 i bi 0 Ki bqi E n i 1 bqi i 1 2 n 而 q p 1 p 可得 E n i 1 aibi E n i api 1 p E n i 1 bqi 1 q 在上式中特别取 p q 2 得到著名的 Cauchy Schwartz 不等式 E n i 1 aibi E n i a2i 1 2 E n i 1 b2i 1 2 H lder 不等式的变形为 Ex A iyBi Exi A Eyi B 这里 xi yi 0 i 1 2 n A B 0 A B 1 例 4 若 a 0 b 0 p 0 q 0 E 0 且 1 p 1 q 1 求证 Young 不等式 a b E ap p bq qE q p 证明 从所求证的不等式的形式来看 不容 易直接找到合适的凸函数 因此 我们要对它进行 一定的变形 不妨不等式两边同取自然对数 则有 ln a b 0 因为 fd x 1 x 2 0 由定理 1 知 f x 在 x 0 时为凸 函数 因为有 p 0 q 0 1 p 1 q 1 所以 ln E ap p bq qE q p 1 p ln E 1 pa p 1 q ln E 1 pb q ln E 1 pa ln E 1 pb ln ab 于是 ln a b ln E ap p bq qE q p 即a b E ap p bq qE q p 特别地 当 E 1 p q 2 时 此不等式就是 前面例 1的结果 即平均值不等式 Young 不等式 在泛函分析 偏微分方程中应用很广 3 第 1 期尚亚东等 凸函数及其在不等式证明中的应用 凸函数在一些几何和三角函数不等式证明中 的精巧妙用如下 例5 4 设 piI R xiI 0 P 证明 sin p1x1 p2x2 pnxn p1 p2 pn p1sinx1 p2sinx2 pnsinxn p1 p2 pn 证明 取f x sinx 它是 0 P 上的凸函 数 由 Jensen 不等式 得 sin p1x1 p2x2 pnxn p1 p2 pn p1sinx1 p2sinx2 pnsinxn p1 p2 pn 所以 sin p1x1 p2x2 pnxn p1 p2 pn p1sinx1 p2sinx2 pnsinxn p1 p2 pn 特别地 如果在这个不等式中 令 pi 1 i 1 2 n 则得 nsin x1 x2 xn n sinx1 sinx2 sinxn 对于三角形的三个内角 A B C 有 sinA sinB sinC 3sin A B C 3 3 3 2 例 6 设 x I0 P 2 证明 sinx 1 cos2x cosx 1 cos2x 2 证明 先将 原 不等 式 化 为 sin2x sin2x cos2x cos2x 2 因为 f x xx为 0 上的凸 函数 故当 a 0 b 0时 有 f a b 2 1 2 f a f b 令 a sin2x b cos2x 则 f a b 2 f sin2x cos2x 2 f 1 2 1 2 1 2 2 2 而 1 2 f a f b 1 2 sin2x sin2x cos2x cos2x 所以 sinx 1 cos2x cosx 1 cos2x 2 这道题目很难用初等知识证明 但通过构造凸函 数f x xx 巧妙地令 a sin2x b cos 2x 便可 很方便地证得 对于数学分析 泛函分析中一些重要不等式 利用凸函数也可以建立统一框架 简捷方便地进 行证明 例 7 设 f x 在 a b 上可积 m f x M U t 是 m M 上的凸函数 则 U 1 b aQ b af x dx 1 b aQ b a U f x dx 证明 由 Jensen 不等式 有 U 1 n E n k 1 tk 1 n E n k 1 U tk 令 tk f a k b a n 则有 U 1 b a E n k 1 f a k b a n b a n 1 b aE n k 1 U f a k b a n b a n 由于 f x 可积 U t 为凸函数 故 U f x 可积 上式中令 n y 取极限 即得到 U 1 b aQ b af x dx 1 b aQ b aU f x dx 特别地 若f x 在 a b 上连续 且f x 0 取 U t lnt 则有 ln 1 b aQ b af x dx 1 b aQ b a lnf x dx 前例结合凸函数的定义 可得Hadamard 不等式 设 U t 是区间 m M 上的凸函数 Pt1 t2I m M 则 U t1 t2 2 1 t2 t1Q t2 t1 U t dt U t1 U t2 2 前面例 5 的结果可以进一步推广为所谓的加 权 Jensen 不等式 即对于连续的凸函数f x 有 f x 是 a b 内的一个连续的凸函数 p1 p2 pn是n 个正实数 a x0 x1 xn b 则 f E pixi Epi 1 Epi Epif xi 加权的 Jensen 不等式还有如下积分形式 例8 设 0 则有不等式 Q b ap x f x dx Q b ap x dx Q b ap x f x dx Q b ap x dx 证明 以 a x0 x1 xn b 将 a b 分成 n 等分 任取 NiI xi 1 xi i 1 2 n 则 E n i 1f N i p Ni b a n E n i 1p N i b a n E n i 1f N i p Ni E n i 1p N i 4 广州大学学报 自然科学版 第4 卷 由于 0 由加权 Jensen 不等式 f Epixi Epi 1 Epi Epif xi 有 E n i 1 f Ni p Ni E n i 1 p Ni 1 E n i 1 p Ni E n i 1 p Ni f Ni 于是 b a n b a n E n i 1 f Ni p Ni E n i 1 p Ni 1 E n i 1 p Ni b a n E n i 1 p Ni 0 f x 为 0 P 2 上的连续函数 FQ P 2 0f x sinxdx Q P 2 0 F f x sinxdx 对于H lder 不等式 也有积分形式 例9 设 p q 0 1 p 1 q 1 若 f 和 g 是定 义在 a b 上的实函数 使 f p 和 g q 在 a b 上可积 则 Q b a f x g x dx Q b a f x pdx 1 p Q b a g x qdx 1 q 证明 若 Q b a f x pdx 1 p 或Q b a g x qdx 1 q 其中之一为零 则f x 或 g x 在 a b 上几乎处处 为零 于是 f x g x 在 a b 上几乎处处为零 从而Q b a f x g x dx 为零 当Q b a f x p dx 1 p Q b a g x qdx 1 q X 0 令 a f Q B A f pdx 1 p b g Q B A g qdx 1 q 代入 ab ap p bq q 其中 a 0 b 0 p q 0 1 p 1 q 1 得到 f Q B A f p dx 1 p g Q B A g qdx 1 q f p p Q B A f p dx g q q Q B A g qdx 两边从 A到B积分 由 1 p 1 q 1 可知 Q B A f x g x dx Q B A f x pdx 1 p Q B A g x qdx 1 q 特别地 当 p q 2 时则得H lder 不等式 Q B A f x g x dx Q B A f x 2dx 1 2 Q B A g x 2dx 1 2 Young 不等式也有如下积分形式 设f x g x 在 a b 有定义 且 1 p 1 q 1 Q b a f x pdx Q b a g x qdx 存在 则 Q b af x g x dx E pQ b a f x pdx 1 q E q pQ b a g x qdx 特别地 若f x 在 a b 上有一阶连续导数 则有 Q b af 2 x dx 1 4Q b afc 2 x dx f 2 b f2 a 2 证明 在积分形式的Young 不等式中 令 p q 2 E 1 2 即得 1 4Q b afc 2 x dx Q b af 2 x dx Q b af x fc x dx f 2 b f2 a 2 例 10 若f x 在 a b 上有一阶连续导数 则当 f x X0 时 对 p 1有 Q b a f x pdx p 1 p p 1 pQ b a f x p 1 pdx b a 证明 由积分形式的Young 不等式 Q b af x g x dx E pQ b a f x p dx 1 q E q pQ b a g x qdx 令 E p p 1 p q 则 1 p 1 q 1 E p 1 且 1 q E q p p 1 p p 1 1 p p 1 p p 1 p Q b a f x p dx p 1 p p 1 pQ b a f x p 1 pdx E pQ b a f x p dx 1 q E q p Q b a f x qdx Q b af x 1 f x dx b a 致谢 衷心感谢袁文俊教授的热情鼓励和支 持帮助 5 第 1 期尚亚东等 凸函数及其在不等式证明中的应用 参考文献 1 史树中 凸分析 M 上海 上海科学技术出版社 1990 SHI Shu zhong Convex analysis M Shanghai Shanghai Science and Technology Press 1990 2 史树中 凸性 M 长沙 湖南教育出版社 1991 SHI Shu zhong Convexity M Changsha Hunan Education Press 1991 3 黄宣国 凸函数与琴生不等式 M 上海 上海教育出版社 1991 HUANG Xuan guo Convex functions and Jensen s inequalities M Shanghai Shanghai Education Press 1991 4 D S 密特利诺维奇 解析不等式 M 北京 科学出版社 1987 Mitrinovic D S Analytic inequalities M Beijing Science Press 1987 5 匡继昌 常用不等式 M 济南 山东科学技术出版社 2004 KUANG J i chang On general inequalities M Jinan Shandong Science and Technology Press 2004 Convex function and its application in proving inequalities SHANG Ya dong YOU Shu jun School of Mathematics and Information Science Guangzhou University Guangzhou 510405 China Abstract Convexi