江苏省南京市海安高级中学、外国语学校、金陵中学联考高考数学四模试卷（含解析）.doc

江苏省南京市海安高级中学、外国语 学校、金陵中学联考2015届高考数学四模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知集合a=1，0，2，b=x|x=2n1，nz，则ab=_2已知复数z1=12i，z2=a+2i（其中i是虚数单位，ar），若z1z2是纯虚数，则a的值为_3从集合1，2，3中随机取一个元素，记为a，从集合2，3，4中随机取一个元素，记为b，则ab的概率为_4对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间25，30）的为一等品，在区间20，25）和30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为_5如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_6若函数f（x）=sinx （0）在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，则=_7在平面直角坐标系xoy中，若双曲线c：=1（a0，b0）的离心率为，则双曲线c的渐近线方程为_8已知实数x，y满足，则当2xy取得最小值时，x2+y2的值为_9在平面直角坐标系xoy中，p是曲线c：y=ex上的一点，直线l：x+2y+c=0经过点p，且与曲线c在p点处的切线垂直，则实数c的值为_10设x0，y0，向量=（1x，4），=（x，y），若，则x+y的最小值为_11以知f（x）是定义在区间1，1上的奇函数，当x0时，f（x）=x（x1），则关于m的不等式f（1m）+f（1m2）0的解集为_12设sn为数列an的前n项和，若sn=nan3n（n1）（nn*），且a2=11，则s20的值为_13在abc中，已知sina=13sinbsinc，cosa=13cosbcosc，则tana+tanb+tanc的值为_14在平面直角坐标系xoy中，设a，b为函数f（x）=1x2的图象与x轴的两个交点，c，d为函数f（x）的图象上的两个动点，且c，d在x轴上方（不含x轴），则的取值范围为_二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15abc中，a，b，c分别为角a，b，c的所对边的长，若acosb=1，bsina=，且ab=（1）求a的值；（2）求tana的值16如图，在四面体abcd中，ad=bd，abc=90，点e，f分别为棱ab，ac上的点，点g为棱ad的中点，且平面efg平面bcd求证：（1）ef=bc；（2）平面efd平面abc17某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计），易拉罐的体积为108ml设圆柱的高度为hcm，底面半径半径为rcm，且h4r，假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关，已知易拉罐侧面制造费用为m元/cm2，易拉罐上下底面的制造费用均为n元/cm2（m，n为常数）（1）写出易拉罐的制造费用y（元）关于r（cm）的函数表达式，并求其定义域；（2）求易拉罐制造费用最低时r（cm）的值18（16分）在平面直角坐标系xoy中，设椭圆c：=1（ab0）的左焦点为f，左准线为lp为椭圆c上任意一点，直线oqfp，垂足为q，直线oq与l交于点a（1）若b=1，且bc，直线l的方程为x=（i）求椭圆c的方程（ii）是否存在点p，使得？，若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由（2）设直线fp与圆o：x2+y2=a2交于m，n两点，求证：直线am，an均与圆o相切19（16分）设函数f（x）=（xa）lnxx+a，ar（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（2）若a0，试判断函数f（x）在区间（e2，e2）内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的x（t，t+a），f（x）a120（16分）定义：从一个数列an中抽取若干项（不少于三项）按其在an中的次序排列的一列数叫做an的子数列，成等差（比）的子数列叫做an的等差（比）子列（1）求数列1，的等比子列；（2）设数列an是各项均为实数的等比数列，且公比q1（i）试给出一个an，使其存在无穷项的等差子列（不必写出过程）；（ii）若an存在无穷项的等差子列，求q的所有可能值江苏省南京市海安高级中学、外国语学校、金陵中学联考2015届高考数学四模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知集合a=1，0，2，b=x|x=2n1，nz，则ab=1考点：交集及其运算 专题：集合分析：观察发现集合b为所有的奇数集，所以找出集合a解集中的奇数解即为两集合的交集解答：解：由集合a=1，0，2，根据集合a中的关系式x=2n1，nz，得到集合b为所有的奇数集，则集合ab=1故答案为：1点评：此题属于以不等式解集中的奇数解为平台，考查了交集的运算，是一道基础题也是2015届高考中常考的题型2已知复数z1=12i，z2=a+2i（其中i是虚数单位，ar），若z1z2是纯虚数，则a的值为4考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由复数代数形式的乘法运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a值解答：解：z1=12i，z2=a+2i，z1z2=（12i）（a+2i）=a+4+（22a）i，又z1z2是纯虚数，解得：a=4故答案为：4点评：本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题3从集合1，2，3中随机取一个元素，记为a，从集合2，3，4中随机取一个元素，记为b，则ab的概率为考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：先确定的所有的基本事件，共有9种，再求出ab的概率，根据互斥事件的概率公式计算即可解答：解：从集合1，2，3中随机取一个元素，记为a，从集合2，3，4中随机取一个元素，共有33=9种，因为ab的取法只有一种：a=3，b=2，所以ab的概率是，所以ab的概率是1=故答案为：点评：本题考查了古典概型的概率和互斥事件的概率问题，属于基础题4对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间25，30）的为一等品，在区间20，25）和30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为100考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：由频率分布直方图可知，算出三等品所占的比例乘以样本容量得出三等品的件数解答：解：根据频率分布直方图可知，三等品的数量是（0.0125+0.025+0.0125）5400=100（件）故答案为：100点评：本题主要考查频率分布直方图的读图能力，属于简单题型，注意纵坐标意义5如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为考点：伪代码 专题：算法和程序框图分析：模拟执行伪代码，可得伪代码的功能是计算并输出s=0+的值，从而得解解答：解：模拟执行伪代码，可得：s=0+=（1）+（）+（）=1=故答案为：点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查6若函数f（x）=sinx （0）在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，则=考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题分析：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是 ，求出的值即可解答：解：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，kz，所以=6k+；只有k=0时，=满足选项故答案为：点评：本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式的求法，也可以利用函数的奇偶性解答，常考题型7在平面直角坐标系xoy中，若双曲线c：=1（a0，b0）的离心率为，则双曲线c的渐近线方程为y=3x考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用（）2=1+（）2=10，可得=3，即可求出双曲线的渐近线方程解答：解：因为（）2=1+（）2=10，所以=3，所以渐近线方程为y=3x故答案为：y=3x点评：本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题8已知实数x，y满足，则当2xy取得最小值时，x2+y2的值为5考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先画出满足条件的平面区域，求出2xy取得最小值时a点的坐标，将a点的坐标代入x2+y2，求出即可解答：解：画出满足条件的平面区域，如图，令z=2xy，则当直线z=2xy经过直线xy+1=0和直线x+y3=0的交点a时，z取得最小值此时a的坐标为（1，2），x2+y2=5，故答案为：5点评：本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，求出2xy取得最小值时的x，y的值是解题的关键，本题是一道中档题9在平面直角坐标系xoy中，p是曲线c：y=ex上的一点，直线l：x+2y+c=0经过点p，且与曲线c在p点处的切线垂直，则实数c的值为4ln2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用；直线与圆分析：求出导数，设出切点，求得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，可得切点坐标，由代入法，即可得到c解答：解：y=ex的导数y=ex，与曲线c在p点处的切线垂直，则所求切线的斜率为2，设切点p为（x0，y0），则e=2，所以x0=ln2，y0=eln2=2所以直线x+2y+c=0经过点p（ln2，2），所以c=4ln2故答案为：4ln2点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件：斜率为1，考查运算能力，属于中档题10设x0，y0，向量=（1x，4），=（x，y），若，则x+y的最小值为9考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用；不等式分析：先根据向量平行得到+=1，再利用基本不等式即可求出最值解答：解：因为，所以4x+（1x）y=0，又x0，y0，所以+=1，故x+y=（+）（x+y）=5+9当=，+=1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立（x+y）min=9故答案为：9点评：本题考查了向量平行的条件和基本不等式的应用，属于基础题11以知f（x）是定义在区间1，1上的奇函数，当x0时，f（x）=x（x1），则关于m的不等式f（1m）+f（1m2）0的解集为0，1）考点：奇偶性与单调性的综合 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化即可解答：解：由题意，奇函数f（x）是定义在1，1上的减函数，不等式f（1m）+f（1m2）0，即f（1m）f（m21），则，即，解得0m1，即m0，1）故答案为：0， 1）点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键12设sn为数列an的前n项和，若sn=nan3n（n1）（nn*），且a2=11，则s20的值为1240考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由s2=a1+a2=2a232（21），a2=11，可得a1=5解法1：当n2时，由an=snsn1，可得anan1=6（n2，nn*），利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出解法2：当n2时，由sn=nan3n（n1）=n（snsn1）3n（n1），化为=3，利用等差数列的通项公式即可得出解答：解：由s2=a1+a2=2a232（21），a2=11，可得a1=5解法1：当n2时，由an=snsn1，得an=nan3n（n1）（n1）an13（n1）（n2），（n1）an（n1）an1=6（n1），即anan1=6（n2，nn*），数列an是首项a1=5，公差为6的等差数列，s20=205+6=1240解法2：当n2时，由sn=nan3n（n1）=n（snsn1）3n（n1），可得（n1）snnsn1=3n（n1），=3，数列是首项=5，公差为3的等差数列，=5+319=62，s20=1240点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13在abc中，已知sina=13sinbsinc，cosa=13cosbcosc，则tana+tanb+tanc的值为196考点：同角三角函数基本关系的运用 专题：三角函数的求值分析：已知两式相除，利用同角三角函数间基本关系化简得到tana=tanbtanc，化简cosa=13cosbcosc，求出tanbtanc的值，利用两角和与差的正切函数公式变形即可求出所求式子的值解答：解：cosa，cosb，cosc均不为0，由sina=13sinbsinc，cosa=13cosbcosc，得：tana=tanbtanc，cosa=13cosbcosc，且cosa=cos（b+c）=sinasinbcosacosb，sinasinb=14cosacosb，tanbtanc=14，tanb+tanc=tan（b+c）（1tanbtanc）=tana（1tanbtanc）=tana+tanatanbtanc，tana+tanb+tanc=tanatanbtanc=196故答案为：196点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键14在平面直角坐标系xoy中，设a，b为函数f（x）=1x2的图象与x轴的两个交点，c，d为函数f（x）的图象上的两个动点，且c，d在x轴上方（不含x轴），则的取值范围为（4，考点：平面向量数量积的运算 专题：导数的综合应用；平面向量及应用分析：由题意a（1，0），b（1，0），设c（x1，1x12），d（x2，1x22），1x1，x21，则=（x1+1）（x21）+（1x12）（1x22）=（x21）（x2+1）x12+x1x2，构造函数记f（x）=（x2+1）x2+xx2，1x1，应先将f（x）求导，再令f（x）=0，得出x0，再讨论x0与区间（1，1）的关系，即可求出则的取值范围解答：解：由题意a（1， 0），b（1，0），设c（x1，1x12），d（x2，1x22），1x1，x21，则=（x1+1）（x21）+（1x12）（1x22）=（x21）（x2+1）x12+x1x2记f（x）=（x2+1）x2+xx2，1x1（1）当1x2时，则02（x2+1）1，1，又x2+10，所以f（x）在（1，1）上单调递增，因为f（1）=0，f（1）=2，所以0f（x）2又x210，所以2（x21）0根据1x2，则40（2）当x21时，则12（x2+1）1，1又x2+10，所以f（x）在（1，1）上先减后增，x=时取的最小值f（）=x2+，又f（1）=2，所以x2+f（x）2又x210，所以2（x21）x2+（1x2）令g（x）=x（1x）+，则g（x）=x2+x+，g（x）=12x=，当x时，g（x）0当x1时，g（x）0；所以g（x）在（，1）上先增后减，所以g（x）maxg（）=，又2（x21）3，所以3，综上，的取值范围是（4，故答案为：（4，点评：本题以向量为载体，考查了导数和函数的单调性质，最值的关系，构造函数，利用函数的思想是解决本题的关键，运算量大，属于难题二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15abc中，a，b，c分别为角a，b，c的所对边的长，若acosb=1，bsina=，且ab=（1）求a的值；（2）求tana的值考点：正弦定理的应用 专题：解三角形分析：（1）由正弦定理可知bsina=asinb，进而利用acosb=1，相加即可求得a（2）根据第一问先求得tanb的值，进而求得a和b的关系，利用正切的两角和公式求得答案解答：解：（1）由正弦定理知，bsina=asinb=，又acosb=1，两式平方相加，得（asinb）2+（acosb）2=3，因为sin2b+cos2b=1，所以a=（负值已舍）；（2），两式相除，得=，即tanb=，因为ab=，a=b+，tana=tan（b+）=32点评：本题主要考查了正弦定理的应用解题过程中边角问题是解决三角形问题的关键16如图，在四面体abcd中，ad=bd，abc=90，点e，f分别为棱ab，ac上的点，点g为棱ad的中点，且平面efg平面bcd求证：（1）ef=bc；（2）平面efd平面abc考点：平面与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）利用平面与平面平行的性质，可得egbd，利用g为ad的中点，可得e为ab的中点，同理可得，f为ac的中点，即可证明ef=bc；（2）证明ab平面efd，即可证明平面efd平面abc解答：证明：（1）因为平面efg平面bcd，平面abd平面efg=eg，平面abd平面bcd=bd，所以egbd，又g为ad的中点，故e为ab的中点，同理可得，f为ac的中点，所以ef=bc（2）因为ad=bd，由（1）知，e为ab的中点，所以abde，又abc=90，即abbc，由（1）知，efbc，所以abef，又deef=e，de，ef平面efd，所以ab平面efd，又ab平面abc，故平面efd平面abc点评：本题考查平面与平面平行的性质，考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计），易拉罐的体积为108ml设圆柱的高度为hcm，底面半径半径为rcm，且h4r，假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关，已知易拉罐侧面制造费用为m元/cm2，易拉罐上下底面的制造费用均为n元/cm2（m，n为常数）（1）写出易拉罐的制造费用y（元）关于r（cm）的函数表达式，并求其定义域；（2）求易拉罐制造费用最低时r（cm）的值考点：导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：导数的综合应用分析：（1）由题意，体积v=r2h，可求得h，再由易拉罐的制造费用公式求得费用，根据函数得意义求得定义域（2）利用导数求出函数的单调区间，继而求得函数在定义域内的最值解答：解：（1）由题意，体积v=r2h，得h=y=2rhm+2r2n=2 （+nr2）因为h4r，即4r，所以r3，即所求函数定义域为（0，3（2）令f（r）=+nr2，则f（r）=+2nr由f（r）=0，解得r=若1，当n2m时，（0，3，由r（0，）（，3f（r）0+f（r）减增得，当r=时，f（r）有最小值，此时易拉罐制造费用最低若1，即n2m时，由f（r）0知f（r）在（0，3上单调递减，当r=3时，f（r）有最小值，此时易拉罐制造费用最低点评：本题主要考查导数在实际应用题中的应用，利用导数求得单调区间求出满足题意的结果属于中档题型，在2015届高考中时有考查18（16分）在平面直角坐标系xoy中，设椭圆c：=1（ab0）的左焦点为f，左准线为lp为椭圆c上任意一点，直线oqfp，垂足为q，直线oq与l交于点a（1）若b=1，且bc，直线l的方程为x=（i）求椭圆c的方程（ii）是否存在点p，使得？，若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由（2）设直线fp与圆o：x2+y2=a2交于m，n两点，求证：直线am，an均与圆o相切考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）（i）将b=1代入椭圆的方程，根据椭圆的性质从而求出b，c；（ii）设p（m，n），表示出p点的坐标，根据fp、fq的关系从而得到答案；（2）设出m（x0，y0），表示出a（，t），求出，的坐标，由=0，求出t，得到的表达式，从而证出结论解答：解：（1）（i）由题意，b=1，=，又a2=b2+c2，所以2c25c+2=0，解得c=2，或c=（舍去）故a2=5所求椭圆的方程为+y2=1（ii）设p（m，n），则+n2=1，即n2=1当m=2，或n=0时，均不符合题意； 当m2，n0时，直线fp的斜率为，直线fp的方程为y= （x+2）故直线ao的方程为y=x，q点的纵坐标yq=，所以=|=|=|，令=，得4m2+21m+27=0 ，或4m2+19m+23=0 ，由4m2+21m+27=0，解得m=3，m=，又m，所以方程无解由于=19244230，所以方程无解，故不存在点p使=（3）设m（x0，y0），a（，t），则=（x0+c，y0），=（，t）因为oafm，所以=0，即（x0+c）（）+ty0=0，由题意y00，所以t=所以a（，）因为=（x0+，y0），=（x0，y0），所以=（x0+）x0+（y0）y0=x02+y02+x0y0=x02+y02+x0x0a2=x02+y02a2因为m（x0，y0）在圆o上，所以=0即amom，所以直线am与圆o相切同理可证直线an与圆o相切点评：本题考察了直线和椭圆的关系，考察椭圆的方程问题，考察向量的应用，本题是一道难题19（16分）设函数f（x）=（xa）lnxx+a，ar（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（2）若a0，试判断函数f（x）在区间（e2，e2）内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的x（t，t+a），f（x）a1考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（1）求解f（x）=lnx，利用f（x）0，f（x）0，解不等式求解单调递增区间，单调递减区间（2）f（x）=lnx，其中x0，再次构造函数令g（x）=xlnxa，分析g（x）的零点情况g（x）=lnx+1，令g（x）=0，x=，列表分析得出g（x）单调性，判断g（x）min=g（）=a，分类讨论求解若a，若a，若a0，f（x）的单调性，f（x）最大值，最小值，确定有无零点问题（3）先猜想x（1，1+a），f（x）a1恒成立再运用导数判断证明令g（x）=lnxx+1，x1g（x）=10，求解最大值，得出g（x）g（1）=0即可解答：解：（1）当a=0时，f（x）=xlnxx，f（x）=lnx，令f（x）=0，x=1，列表分析x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）单调递减单调递增故f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+）（2）f（x）=（xa）lnxx+a，f（x）=lnx，其中x0，令g（x）=xlnxa，分析g（x）的零点情况g（x）=lnx+1，令g（x）=0，x=，列表分析x（0，）（，+）g（x）0+g（x）单调递减单调递增g（x）min=g（）=a，而f（）=lnae=1ae，f（e2）=2ae2=（2+ae2），f（e2）=2=（2e2a），若a，则f（x）=lnx0，故f（x）在（e2，e2）内没有极值点；若a，则f（）=lnae0，f（e2）=（2+ae2）0，f（e2）=（2e2a）0，因此f（x）在（e2，e2）有两个零点，f（x）在（e2，e2）内有两个极值点；若a0，则f（）=lnae0，f（e2）=（2+ae2）0，f（e2）=（2e2a）0，因此f（x）在（e2，e2）有一个零点，f（x）在（e2，e2）内有一个极值点；综上所述，当a（，时，f（x）在（e2，e2）内没有极值点；当a（，）时，f（x）在（e2，e2）内有两个极值点；当a，0）时，f（x）在（e2，e2）内有一个极值点（3）猜想：x（1，1+a），f（x）a1恒成立证明如下：由（2）得g（x）在（，+）上单调递增，且g（1）=a0，g（1+a）=（1+a）ln（1+a）a因为当x1时，lnx1（*），所以g（1+a）（1+a）（1）a=0故g（x）在（1，1+a）上存在唯一的零点，设为x0 由x（1，x0）x0（x0，1+a）f（x）0+f（x）单调递减单调递增知，x（1，1+a），f（x）maxf（1），f（1+a）又f（1+a）=ln（1+a）1，而x1时，lnxx1（*），所以f（1+a）（a+1）11=a1=f（1）即x（1，1+a），f（x）a1所以对任意的正数a，都存在实数t=1，使对任意的x（t，t+a），使 f（x）a1补充证明（*）：令f（x）=lnx+1，x1f（x）=0，所以f（x）在1，+）上单调递增所以x