第2章泛函变分的基础概念(16K).doc

第2章 泛函极值问题的一些基本概念2.1 泛函的极大值和极小值问题如果函数在附近的任意点上的值都不大（小）于，也即时，则称函数在上达到极大（极小），而且在上，有 （2-1）对于泛函,也有类似的定义。如果泛函在任何一条与接近的曲线上的值不大（或不小）于，也就是，如果（或）时，则称泛函在曲线上达到极大值（或极小值），而且在上，有 （2-2）在这里，对于泛函的极值概念有进一步说明的必要，凡说到泛函的极大（或极小）值，主要是说泛函的相对的极大（或极小）值，也就是说，从互相接近的许多曲线来研究一个最大（或最小）的泛函值，但是曲线的接近有不同的接近度。因此，在泛函的极大极小的定义里，还应说明这些曲线有几阶的接近度。如同一般函数极大（极小）讨论一样，如果泛函在曲线上有强极大（极小）值，不仅对于那些既是函数接近而且导数也接近的而言是极大（极小）值，而且对于那些只是函数接近但导数不接近的而言，也是极大（极小）值，所以泛函在曲线上是强极大（极小）值时，也必在上是弱极大（极小）值。反之，则不然，即泛函在曲线上有弱极大（极小）值时，不一定是强极大（极小）值，因为有可能对于那些只是函数接近但导数不接近的而言，有一个比函数与导数都接近的所求的极大（极小）更大（小）的极大（极小）值存在。所以弱极大（极小），不能满足强极大（极小）的要求。这一概念可以推广到包含多个函数的泛函中去。2.2 求解泛函极值的欧拉方程变分法的早期工作是如何将泛函驻值问题转化为微分方程问题。当把泛函的驻值问题转化为微分方程时，第一步工作就结束了，下一步是如何求解这一微分方程。这种求解方法在实际应用上碰到很大的困难。自从里兹提出直接求泛函极值的近似法（里兹法）以后，人们才认识到直接从泛函极值出发，而避免从微分方程式出发更为有效与方便，这样的处理方法可以充分利用电子计算机的作用。于是人们研究的目标有所转移，即把原来从泛函驻值问题化为微分方程问题，转变为把微分方程问题转变为定义一个泛函，而成为泛函求驻值的问题。对于前一种问题由欧拉、拉格朗日等已建立了一套比较成熟、比较系统的方法，而对于后一类问题，虽然正在大力进行工作，但尚不成熟。目前用的多的方法，还是根据微分方程物理和工程背景，采取尝试和核对的方法，即先试猜一个泛函的极值和驻值问题，然后再核对一下，看它是否与原来的微分方程问题等价。这种方法在以后的变分原理中将经常用到。现在研究最简单泛函（2-3）式的极值问题所得到的欧拉方程，其中能确定泛函极值曲线的边界是固定不变的，而且有，函数将认为是三阶可微的。 （2-3）首先让我们用拉格朗日法来求泛函的变分于是有让，得 （2-4）其中，而且对于固定边界条件，因为有，所以 （2-5）将（2-5）式代入（2-4）式，得到变分极值条件 （2-6）根据变分法的基本预备定理，求得本题的欧拉方程为 （2-7）这里必须指出，上式中的第二项是对的全导数，不是偏导数，且，所以 （2-8）其中，都是对的二阶偏导数。，所以欧拉方程（2-7）式也可以写成 （2-9）这就是1744年欧拉所得的著名方程。该方程也被称为欧拉-拉格朗日方程。（2-9）式是关于的一个二阶微分方程，其积分常数有两个和，它的积分曲线叫做极值曲线，只有在这族极值曲线上，泛函（2-3）式才能达到极值，积分常数是由极值曲线通过这两个端点条件所决定的。把泛函的变分作为泛函增量的主部，也同样得到欧拉方程（2-7）式及（2-8）式。求泛函增量主部的过程实质上与求微分的过程非常相似。例如从（2-3）式，因为积分限是固定的（不变的），所以有其是从增量引起的，其主部为于是得到（2-4）式，这和拉格朗日法得到的变分表达式是相同的。这里还应指出，（2-9）式这样的欧拉方程，有下列四种特殊的情况，应该予以注意。（2）和无关，即 （2-10）于是（2-9）式可以写成 （2-11）上式可以简化为 （2-12）一次积分后 （2-13）其中为积分常数。（2）和无关，即 （2-14）代入（2-7）式，得 （2-15）积分得 （2-16）其中为积分常数。（3）和无关，即 （2-17）于是欧拉方程为 （2-18）它不是微分方程，不包含什么特定常数，一般情况，所讨论的变分问题不存在，只在个别的情况下，当曲线（2-18）式通过固定端点时，才存在可能达到极值的曲线。（4）是的线性函数，即 （2-19）于是欧拉方程为 （2-20）但是 （2-21）所以（2-20）式可以简化为 （2-22）它也不是一个微分方程式，因为它没有项，一般说来它不满足固定端点条件，因此，变分问题根本不存在。现在我们将上述变分问题推广到含有高阶导数的泛函的极值问题和泛函变分得到的欧拉方程。我们研究泛函 （2-23）的极值，其中泛函被认为对于，是阶可微的，并且假定，端点上有固定条件 （2-24）端点上不仅给出函数值，而且还给出直至阶导数的值。我们将假定，极值在2n阶可微曲线上达到。用上面相同的求泛函变分方法，我们可以证明： （2-25）其中用简略符号代替，代替。积分（2-25）式中的第二项可以分部积分一次，得 （2-26）将积分（2-25）式中第三项分部积分两次，得 （2-27）最后一项经过n次分部积分后，得 （2-28）根据变分法的预备定理，（2-25）式为零时，得 （2-29）这是的2n阶微分方程式，一般称之为泛函（2-23）式的欧拉-泊桑方程，而它的积分曲线就是所讨论变分问题的解（极值曲线）。这个方程的解通常有2n个特定常数，由2n个端点条件（2-24）式决定的。【例2-1】 梁在横向载荷作用下的弯曲问题，就是含有较高阶导数的泛函极值问题的一个例子。设梁的抗弯刚度为，两端固定，在横向分布载荷作用下发生弯曲变形（或称挠度），如图2-1所示。端点固定条件为 （2-30）在梁达到平衡时，其总位能达到最小值。梁的位能等于梁在弯曲时所贮存的弯曲能，它等于图2-1 梁在横向载荷作用下的弯曲 （2-31）其中为梁弯曲后的曲率，它和挠度w(x)的关系为这里假定挠度很小，略去高次项。（2-31）式可以写成载荷在变形上的位能为 （2-32）于是，梁所形成的总位能为 （2-33）梁的平衡条件为使总位能达到最小值，即。于是利用变分计算，并利用固定端条件（2-30）式，得 （2-34）利用变分法的预备定理，求得梁的平衡方程为这就是欧拉泊桑方程。注意到（2-34）式在静力学中被称为虚位移原理，就是满足端点位移约束条件的虚位移。下面讨论另一种形式的泛函 （2-35）的欧拉方程。函数中在域R内连续，其边界由和组成，其中 （在上）为给定的，式中，。现在对（2-35）泛函取一次变分，得到 （2-36）因为，（2-36）式等号右边第一个积分中的末两项可化为利用高等数学中的格林公式上式可化为将（为周边法线的方向余弦）代入上式，并引入边界上的给定条件，再代回（2-36）式中，可得因为为在不同域的任意变分量，由变分法的预备定理，可以求得欧拉方程为 （在R域内） （2-37a）及 （在上） （2-37b）2.3 含多个待定函数的泛函及其欧拉方程，哈密顿原理让我们把上一节的泛函极值和欧拉方程推广到含多个待定函数的泛函极值问题。设有泛函（2-38）其中为个待定函数， 分别表示一阶，二阶，n阶的导数，设这些函数有端点值 （2-39）对所有的x，而言，都是（n+2）阶可微的，待定曲线是2n阶可微的。泛函的变分极值条件为 （2-40）通过分部积分，并利用端点固定的条件，即利用 （2-41）后，可以把（2-40）式化为 （2-42）利用上节相同的方法，我们可以得到i个欧拉方程 （2-43）这是决定的i个待定函数的i个微分方程式组。现在我们研究力学中的一个基本变分原理：哈密顿（Hamilton）原理（或称为最小作用量原理），该原理可叙述为：质点系满足某些约束条件的运动，必使积分“作用量” （2-44）成极值（最小值）。其中分别表示质点系的动能和位能，为时间。满足某些约束条件是指质点系满足下列边值条件： （2-45）如果质点的质量为，坐标为，作用在质点上的力是以为力函数（即势函数）的， （2-46）而势函数只依赖于质点的坐标，这是一个保守力场，即 （2-47）动能是 （2-48）其中分别代表，最小作用原理（即哈密顿原理）要求 （2-49）其中（2-50）通过分部积分，并由约束条件（2-45）式有和都等于零，即得（2-51）于是哈密顿原理可以写为 （2-52）由于为任意的独立变分，所以得到欧拉-泊桑方程 （2-53）这就是个质点的个牛顿运动方程式。从上述的讨论中不难发现，最小位能原理等价于静力平衡方程。而哈密顿原理等价于牛顿运动方程。如果运动还受另外一组独立关系 （2-54）的约束，则独立变量只剩下个。如果我们用个新的变量（或称广义坐标）来表示原来的变量，即 （2-55）则、可以写成 （2-56）于是哈密顿原理或最小作用量原理可以写成 （2-57）经过部分积分可以为 （2-58）而欧拉泊桑方程为， （2-59）习惯上，人们把 （2-60）称为拉格朗日函数。于是哈密顿原理可以写成 （2-61）而欧拉-泊桑方程为 （2-62）在理论力学中，方程组（2-62）是著名的拉格朗日方程。上面用称为“广义坐标”,（2-59）、（2-62）式都是用广义坐标表示的。其优点是不一定要用真正的坐标或位移来表示，这样就显得灵活与方便得多。【例2-2】 如图2-2所示的耦合摆，它们之间以弹簧相连，若略去摆的重量，取为广义坐标，于是动能和势能分别为 （2-63） （2-64）对于微振幅的摆动而言，图2-2 耦合摆的运动，于是 （2-65）拉格朗日方程为 （2-66）将代入，即得 （2-67）由以上三式，即可求得。我们也可以在个（2-54）式的约束条件下用广义坐标来求非保守系统的拉格朗日方程。非保守系统没有这样一个势函数，但我们可以把外力对作的功用广义坐标的变分对广义力作的功来表示。设 （2-68）因为将上式代入（2-68）式，有关的系数给出 （2-69）这就是广义力的表达式。于是，在非保守力系下的最小作用量原理可以写成 （2-70）或可写成 （2-71）于是由在非保守力场中的运动方程（即拉格朗日方程） （2-72）广义坐标在理论力学中受到重视的原因，不止一个。广义坐标使力学系统的描述不受坐标选用的限制。如果我们把一组广义坐标换置为另一组广义坐标，其中则哈密顿原理 （2-73）仍旧给出拉格朗日方程（运动方程）为 （2-74）其形状和坐标无关。用广义坐标的变分原理较易于求得近似解。2.4 含多个自变量的函数的泛函及其极值问题许多平面问题，如弹性板的弯曲、平面应力或应变问题、轴对称问题等都有或两个自变量，其它问题诸如弹性振动、平面热传导、弹塑性理论等有三个或四个自变量，这一类问题在力学物理中非常重要，也是变分法中的主要方面。这类泛函极值问题本质是类似的。首先研究泛函 （2-75）的极值问题。其中函数在域S的边界C上的值已经给出，即在边界C上为已知。记， （2-76）式（2-75）表达的泛函的变分可以写成 （2-77）根据函数变分的定义，有，而且将上式代入（2-77）式，则得 （2-78）根据格林公式（Green formula），对两个连续函数有 （2-79）其中s为边界围线C的弧长，以逆时针为正，顺时针为负，为切线和x轴的夹角（图2-3）。并且有以下关系式， （2-80） （2-81）图2-3 边界的切线和法线并有 （2-82）或 （2-83）以上各式，对简化二维问题时都是很有用的。按（2-79）式，我们有 （2-84）在边界C上，已知为，对于都通过的任意的变分在边界C上都恒等于零。因此（2-84）式右侧围线积分应该恒等于零，于是（2-78）式最后化为 （2-85）当泛函达到极值时，根据变分法基本预备定理，得 （2-86）这就是决定（在边界上满足）的微分方程，也称为欧拉方程式。【例2-3】 弦的振动问题就是和（2-75）式相类似的泛函变分问题。设有均匀弦AB，单位长度的密度为，弦内拉力为，的两端固定。单位长度弦的横向位移既是的函数，也是时间的函数。整个弦的动能为 （2-87）弦内由于变形所积蓄的弹性变形能（即势能）等于弦内拉力（即两端的拉力）和弦长增长的总量的乘积。弦的元素在变形后增长到，因此势能为 （2-88）这里略去了的高次项。为了寻求运动方程，我们可以利用哈密顿原理，即寻求，使弦在中的作用量为最小，即求泛函 （2-89）的极值。应满足固定条件， （2-90）和满足初始和结束时弦的形状条件， （2-91）的变分极值条件给出 （2-92）根据（2-90）、（2-91）式，我们有，所以 （2-93） （2-94）最后（2-92）式可以写成 （2-95）根据变分预备定理，得到弦振动的欧拉方程 （2-96）在以下的公式推导中，将用到下面诸微积分定理，进行简化。（2）格林（Green）定理或高斯（Gauss）定理 （2-97）其中为中和上的连续函数，为闭域的界面，为界面的外法线和轴之间的方向角。（2）格林定理的形式之一 （2-98）其中为V对外法线方向n的导数，。这一公式证明很容易，因为利用分部积分对（2-98）式右边第一项进行运算，以其中第一项为例，有整理后即得到（2-98）式。（3）格林定理 （2-99）该式可以由（2-98）式进行证明。在使用了这些定理之后，我们可以证明下列常见的欧拉方程。（2）泛函 （2-100）为极值的必要条件是，其欧拉方程为 （2-101）其中，其边界条件为在的表面上为已知，即在边界上。（2）泛函 （2-102）为极值的必要条件是，其欧拉方程为（2-103）其中。其边界条件为和在边界上为已知，为外向法线，也即在边界上，。（3）泛函 （2-104）为极值的必要条件是，其欧拉方程为 （2-105）其中。其边界条件为在的表面上已知，即在边界上无论在内任何时间，其起始和终止条件为和为已知，即当时，中的任意点。（4）泛函 （2-106）为极值的必要条件是，其欧拉方程为 （2-107）其中。其边界条件为和在边界上是已知的，即在边界上不论内那个时间，其起始和终止条件为，为已知，即在时上任意点的。下面列出几个常见的例子。【例2-4】 泛函 （2-108）的变分极值问题。由上式取极值必要条件，可得到欧拉方程 （2-109）这是三维的拉普拉斯方程，在边界上的值为给定的，即有。【例2-5】 泛函 （2-110）的变分极值问题。给出的欧拉方程是三维泊桑方程 （2-111）在边界上的值为已知的，即有。【例2-6】 泛函 （2-112a）或泛函 （2-112b）或泛函 （2-112c）其中为抗弯刚度，为泊桑比，为平板所受的横向分布载荷。以上三式的变分极值条件，都给出同一个四阶欧拉方程 （2-113）以上三个泛函都被用于板弯曲问题。但必须指出，这三个泛函虽然给出了相同的欧拉方程，却代表着不同的边界条件。考虑式（2-112a）表示的泛函。首先对式（2-112a）进行变分，（2-114）利用分部积分，等号右边第一、二、三项可分解为或 （2-115）合并（2-115）各式，可得 （2-116）根据格林公式（2-79）式，有 （2-117） （2-118）在边界C上，如果已知，即，即（2-118）式等号右边边界围线积分等于零。如果周边C上为已知的，那么也一定是已知的，在边界C上，0，。现在证明式（2-117）等号右边边界围线积分等于零，为了证明这点，我们引进边界正交坐标（图2-4），坐标，之间的变换关系如（2-82）和（2-83）式。这里是的函数，即，而且有， （2-119）图2-4 边界正交坐标其中为边界曲线的曲率半径，当曲率中心在S域内部时为正，在外侧时为负。于是利用（2-83）式后，可以证明 （2-120）同样，可以证明 （2-121）于是（2-117）式中被积函数可以写成 （2-122）这里必须指出，我们不能把（2-82）、（2-83）式的直接代入来计算（2-122）式，因为（2-82）式所表示的，是在周边C上的导数极限，它们只是的函数，它们对法线的导数一定等于零。（2-122）式中的应该是边界线附近的在时的极限，即 （2-123）让我们取边界正交坐标，这一坐标不在边界C上，如图2-4。同样有以下关系 在上 （2-124）且 （2-125）所以同样，得于是（2-122）式可以化为 （2-126）而且，根据边界的封锁性，我们有 （2-127）其中代表边界C上第k角点的增值量（注意C的方向走向，k角点增量顺序），这里假设共有i个不连续角点，为k角点的值。最后，从（2-117）式导出 （2-128）同样，利用（2-83）式中的第二式，我们可以从（2-118）式证明 （2-129）最后，得的极值（必要）条件 （2-130）如果在边界C上，和为已知，包括边界为固定的，则有 （2-131）从（2-130）式中利用（2-131）的条件，利用变分法的预备定理，就得到欧拉方程，这里为板的平衡方程为 （2-132）如果在边界C的一部分C1上，和都是未知的，在C1边界上和均不等于零，它们可以是