第5章频率法.doc

5-1 某放大器的传递函数如下 今测得其频率响应，当时，幅频A=12/2，相频。问放大系数K及时间常数T各为多少。解 当时由上述两式得 ，。5-2 设单位负反馈控制系统的开环传递函数，当下列输入信号作用在闭环系统上时，求系统的稳态输出。（1）（2）（3）解 （1）系统的闭环传递函数为 由输入信号的表达式可知。当时，幅值及相角分别为系统的稳态输出为 （2）由输入信号的表达式可知。当时，幅值及相角分别为稳态输出为。（3）根据线性系统叠加原理得 5-3 若系统的单位阶跃响应为 试求系统的频率特性。解 对阶跃响应进行拉氏变换得 则系统的闭环传递函数为 系统频率特性 R1R2C+_ucur+R2R1+_C1C2ucur_R1R2+_Cucur(a)(b)(c)图 5-15-4 试求图5-1所示网络的频率特性，并画出其对数幅频渐近线。解 (a)20dB/dec图5-2 对数幅频渐近特性曲线令，则 其对数幅频渐近特性如图5-2所示（b）网络的传递函数为-20dB/dec图5-3 对数幅频渐近特性曲线令 则 其对数幅频渐近特性如图5-3所示。(c)网络的传递函数为 令，且，为简化问题的分析设满足-20dB/dec20dB/dec图5-4 对数幅频渐近特性曲线且。由则一定存在，使得 图5-5 幅相曲线综上得对数幅频渐近特性如图5-4所示。图5-6 对数幅频和对数相频曲线5-5 试绘制传递函数 的幅相曲线，对数幅频和对数相频曲线。解 其幅相曲线如图5-5所示，对数幅频和对数相频曲线如图5-6所示。j图5-7 幅相曲线5-6 概略绘制以下传递函数的幅相曲线 （1） （2）（3）解 （1）,其幅相曲线如图5-7所示。 （2），其幅相曲线如图5-8所示。 （3），其幅相曲线如图5-9所示。j图5-8 幅相曲线j图5-9 幅相曲线5-7 试画出以下传递函数的对数幅频渐近特性曲线和相频特性曲线 （1） （2）（3）图5-10对数幅频和相频曲线（4）解 （1）系统由下列环节组成 , 转折频率 ,转折频率 其对数幅频渐近特性曲线和相频特性曲线如图5-10所示.图5-11 对数幅频和相频曲线 (2)系统由下列环节组成 ,低频段的斜率为-40dB/dec. ,转折频率. 转折频率. 其对数幅频渐近特性曲线和相频特性曲线如图5-11所示.图5-12 对数幅频和相频曲线（3）系统由下列环节组成 ,低频段的斜率为-40dB/dec. ,转折频率. 转折频率. .其对数幅频渐近特性曲线和相频特性曲线如图5-12所示.(4)系统由下列环节组成图5-13对数幅频和相频曲线 ,低频段的斜率为-40dB/dec. ,转折频率. 转折频率. ,转折频率. .其对数幅频渐近特性曲线和相频特性曲线如图5-13所示.5-8 图5-14（a）和(b)分别为某型和某型系统的对数幅频特性的渐近线，试证：；-40dB/dec0-20dB/dec0(a)(b)图 5-14 其中和分别为静态速度误差系数和静态加速度误差系数。证明 由图5-14（a）的对数幅频特性渐近线可知，系统低频段的传递函数为，当时有，由于系统是型的所以。 图5-14（b）所示系统低频段的传递函数为，当时有，由于系统是型的所以，即。5-9 已知一些最小相位元件的对数幅频特性曲线如图5-15所示，试写出它们的传递函数，并计算出各参数值。图5-15解(a) ,由于，故 (b) , 由于, ,则 。(c) 当时，(d) ，由得，即(e) ,又，所以(f) 由得，所以(g) 得。(h) 由得，故5-10 三个最小相位传递函数的对数幅频渐近特性如图5-16所示，要求： 写出对应的传递函数表达式。 概略地画出每个传递函数对应的幅相频率特性曲线。图5-16解 (a) ,故 （b） 由得。 (c) 其幅相频率特性曲线如图5-17所示。图5-175-11 设系统开环频率特性如图5-18所示，试判别系统的稳定性。其中p为开环不稳定极点的个数，v为开环积分环节的个数。图5-18解 (a) ， ， ，系统稳定 (b) ， ， ，系统不稳定 (c) ， ， ，系统稳定(d) ， ， ，系统稳定(e) ， ， ，系统不稳定(f) ， ， ，系统不稳定(g) ， ， ，系统稳定(h) ， ， ，系统不稳定(i) ， ， ，系统稳定(j) ， ， ，系统不稳定。5-12 图5-19是传递函数的幅相特性，图中p是分母中实部为正的根的数目。试说明传递函数代表的闭环系统是否稳定，为什么？图5-19解 （a） ， ， ，系统不稳定.(b) ， ， ，系统稳定.(c) ， ， ，系统稳定.5-13 某系统其结构图和开环幅相特性曲线，如图5-20(a)(b)所示。图中 试判断闭环系统稳定性，并确定闭环特征方程正实部根的个数。100G(s)H(s)R(s)C(s)-1（a）（b）图5-20解 根据图5-20(a)得系统的开环传递函数为 令 由劳斯判据知所有的根具有负实部，即开环无右半平面极点。由图5-20(b)知。，闭环系统正实部根的个数为2。5-14 已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为 试用对数稳定判据判别两闭环系统的稳定性。解 和的Bode图分别如图5-21和图5-22所示从图5-21中可以看出，该系统在幅值大于零的区域内相频曲线对线没有穿越，因此系统是稳定的。而图5-22在幅值大于零分贝的区域内相频曲线对线有一次负穿越，且系统开环无右半复平面极点，因此闭环系统不稳定。图5-22 系统Bode图图5-21 系统Bode图5-15 某单位负反馈系统的开环传递函数分别为 （1） （2）（3）（4） （5）试用乃氏判据或对数频率稳定判据判别其闭环系统的稳定性。解 （1） 系统频率特性为其Nyquist曲线如图5-23所示， 曲线对（-1，j0）点没有包围闭环系统是稳定的。 （2），转折频率分别为：，系统的对数幅频渐近曲线和相频曲线如图5-24所示。，相角裕度。即在幅值大于零分贝的区域内相频曲线对线有一次负穿越，且系统开环无右半复平面极点，因此闭环系统不稳定。j图5-23 Nyquist 曲线图5-24 对数幅频及相频曲线（3），转折频率分别为：，系统的对数幅频渐近曲线和相频曲线如图5-25所示。，相角裕度。即在幅值大于零分贝的区域内相频曲线对线有一次负穿越，且系统开环无右半复平面极点，因此闭环系统不稳定。（4），转折频率分别为：，系统的对数幅频渐近曲线和相频曲线如图5-26所示。图5-25 对数幅频及相频曲线图5-26 对数幅频及相频曲线，相角裕度。即在幅值大于零分贝的区域内相频曲线对线无穿越，且系统开环无右半复平面极点，因此闭环系统稳定。图5-27 对数幅频及相频曲线（5），转折频率分别为：，系统的对数幅频渐近曲线和相频曲线如图5-27所示。，相角裕度。在幅值大于零分贝的区域内相频曲线对线有次穿越，系统开环有一个右半复平面极点，由知闭环系统不稳定。5-16 设最小相位系统，其开环频率特性由实验求得，并已用渐进线表示出其曲线如图5-28所示。试求系统的开环传递函数。分别绘制其相应的相频特性，并判断这些系统是否稳定。图5-28解(a) 又得，所以其相应的对数幅频和相频曲线如图5-29所示。从图中可看出相频曲线对线无穿越，因此系统稳定。图5-29 对数幅频和相频曲线(b) 在时得，又得所以其相应的对数幅频和相频曲线如图5-30所示。从图中可看出相频曲线对线无穿越，因此系统稳定。图5-30 对数幅频和相频曲线(c)由得。因此有其相应的对数幅频和相频曲线如图5-31所示。从图中可看出相频曲线对线无穿越，因此系统稳定。图5-31 对数幅频和相频曲线5-17 设一单位负反馈系统的开环传递函数若使系统的幅值裕度为20dB，开环放大倍数应为何值？此时相角裕度为多少？解 令则，由题意知当时得，即当时，相角裕度为 5-18 已知系统如图5-32所示，试计算系统的相角裕度和幅值裕度。2R(s)C(s)图5-32 系统结构图解 系统的开环传递函数为令时即得此时，幅值裕度为。计算截止频率，由得，即。相角裕度为5-19 小功率随动系统动态结构图如图5-33所示，试用两种方法判别其稳定性。50R(s)C(s)4s图5-33 系统结构图解 方法一系统的开环传递函数为j图5-34 曲线二阶振荡环节的无阻尼自然频率为曲线如图5-34所示。当时，曲线与负实轴相交，此时值为即曲线包围（-1,j0）点，系统不稳定。 方法二闭环系统的特征式为 系统不稳定。5-20 图5-35表示负反馈系统开环传递函数的幅相特性，开环增益。试确定使系统稳定的K的取值范围。j-1-50-20-0.050图 5-35解 改变开环增益，只改变，不改变。当增大使幅值0.05变为1，此时。减小使幅值50变为1，；减小使幅值20变为1，。因此使系统稳定的条件为：或。5-21 设负反馈系统中，试确定闭环系统稳定时的临界值，设。j-1图5-36 曲线解 系统稳定时曲线如图5-36所示，当曲线与（-1，j0）相交时对应的即为的临界值。令有即上式两边取正切得于是有，。将带入得 即，5-22 设单位负反馈控制系统的开环传递函数为， 试确定使相角裕度等于的值。 试确定使相角裕度等于的值。解 相角裕度为 由上式得。又，解得，。相角裕度为 则 又得。5-23 一台笔录仪，其传递函数为，要求被测正弦信号的频率在5Hz以内时，记录的振幅误差不大于被测信号振幅的10%，试计算仪器应有的频宽。解 当时 解得，因此仪器的频带宽度为 。5-24 系统的方程组如下 试求保证系统稳定时，的允许范围，并判断取何范围能使系统阶跃过渡过程没有超调。解 系统结构图如图5-37所示2C(s)R(s)K图5-37开环传递函数为闭环特征方程为整理得系统稳定的条件为解得。转折频率分别为 ，若曲线在中频段斜率为，而且占据的频率范围较宽，则该系统可近似为一阶系统，此时节约相应无超调，由此可知应使，为了使中频段有足够的频宽范围，取。由于在处有即所以。5-25 一单位负系统的开环对数幅频渐近曲线如图5-38所示，要求：100.10.24-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-40dB/dec图5-38 写出系统开环传递函数。 判断闭环系统的稳定性。 将幅频向右平移10倍频程，试讨论对系统阶跃响应的影响。解 当时得，系统的开环传递函数为由系统的开环传递函数可知在区域内相频曲线对线无穿越，闭环系统稳定。 将幅频向右平移10倍频程，则传递函数变为，所以阶跃响应的调节时间为原来的1/10。设原系统的相稳定裕度为，平移后为则所以超调量不变。5-26 系统动态结构图如图5-39所示要求在保持稳定裕度不变的情况下，将闭环系统的频宽扩展为原来的10倍，试确定这时参数和应有的变化，并说明理由。解 闭环频宽扩展至原来的10倍，亦即要求开环频宽扩展至原来的10倍，原系统的开环频率特性为R(s)C(s)图5-39扩频后有根据题意应有 所以，即增益扩大至10倍，时间常数缩小为原来的。5-27 单位负反馈系统的开环传递函数为 试计算下列参数。超调量、调节时间、峰值时间、截止频率、谐振峰值、谐振频率、频带、相角裕度、幅值裕度。解 令得 ， 闭环传递函数为 当时，所以。5-28 设一单位负反馈控制系统的开环传递函数为 确定使系统