第9讲-封闭型数阵图.docx

2011年名师堂小学数学训练讲义四年级秋季第九讲：观察与发现（十）封闭型数阵图一、训练目标知识传递：填写封闭性数阵图的方法。能力强化： 观察能力、分析能力、计算能力。思想方法：观察思想、分析思想。二、知识与方法归纳数阵图就是将一些数，按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。它的类型一般分为三种：辐射型数阵图；封闭型数阵图；复合型数阵图。辐射型数阵图：从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。一般地，有M条射线，每条射线有N个数的图形称为MN图。辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“射线条数”-1，即M-1.对于辐射型数阵图，有：已知各数之和+重叠数重叠次数=射线上各数之和射线条数。封闭型数阵图：一个数阵图，如果它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为封闭型数阵图。封闭型MN图有M个重叠数，重叠次数都是1次。对于封闭型数阵图因为重叠数只重叠一次，所以：已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和边数。（主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字只和，最后填出数阵图。）解答数阵图问题的关键在于找到重叠数和每条线上和。三、经典例题例1、把15这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。 解： 例2、把15这五个数填入下页左上图中的里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。 解： 例3、把15这五个数填入右图中的里，使每条直线上的三个数之和相等。 解： 例4、将18这八个数分别填入右图的中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。 解： 例5、将16这六个自然数分别填入下图的六个内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。 解： 例6、将16这六个自然数分别填入右图的六个中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。 解： 例7、将29这八个数分别填入下图的里，使每条边上的三个数之和都等于18。 解： 四、内化训练1.将17这七个数分别填入下图中的里，使每条直线上的三个数之和都等于12。 解： 2.将19这九个数分别填入下图中的里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。如果中心数是5，那么又该如何填？ 解： 3.将19这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。 解： 4.将39这七个数分别填入下图的里，使每条直线上的三个数之和等于20。 解： 5.将111这十一个数分别填入下图的里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。解： 6.把18填入下图的八个里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。 解： 家庭交流内容 例1、解 （1+2+3+4+5）+ 重叠数 = 92 = 重叠数 = 由此可推出其他方格内的数字，具体填法如图所示：专家点评：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。知道每条线上的和，最重要的就是要求出重叠数。例2、解 （1+2+3+4+5）+ 5 = 每条线上的和2 = 每条线上的和2 = 每条线上的和2 每条线上的和 = 由此可推出其他方格内的数字，具体填法如图所示：专家点评： 与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于多少。所以，必须先求出这个“和”。进而即可求解。例3、解 （1+2+3+4+5）+ 重叠数 = 每条线上的和2 15 + 重叠数 = 每条线上的和2 每条线上的和 = 因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是 ， ， 。若“重叠数”= ，则每条线上的和为： ；若“重叠数”= ，则每条线上的和为： ；若“重叠数”= ，则每条线上的和为： . 由此可知，此题共有三种情况，具体填法如下：专家点评：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道，重叠数与和的关系：所列数字之和 + 重叠数 = 每条线上的和2，进而求解此题。例4、解 （1+2+3+4+5+6+7+8）+ 重叠数 = = 重叠数 = 因为 = = 所以，当重叠数为 和 时，其余各数可分为（ ， ， ）与（ ， ， ）两组，如图（1）。 当重叠数为 和 时，其余各数可分为（ ， ， ）与（ ， ， ）两组，如图（2）。故此题有两种解。 图（1） 图（2） 专家点评：中间两个数构成了重叠数，重叠次数都是1次，已知两个大圆上的和，关键是求出重叠数，进而即可求解。 例5、解 （1+2+3+4+5+6）+ 重叠数 = 113 = 重叠数 = 因为 12 = = = 所以 重叠数可能为（ ， ， ）、或（ ， ， ）、或（ ， ， ）。当重叠数为 ， ， 时，经试验，不符合题意；当重叠数为 ， ， 时，经试验，不符合题意；当重叠数为 ， ， 时，经试验，符合题意，具体填法如图所示：专家点评： 本题重叠数由三个数组成，即三角形三个顶点内的数都是重叠数，并且各重叠一次。且已知每条线上的和，求出重叠数是此题的关键。例6、解 （1+2+3+4+5+6 ）+ 重叠数 = 每条线上的和321 + 重叠数 = 每条线上的和3每线上的和 = （21+重叠数）3每条线上的和 = 因为每条线上的和应是整数，可得重叠数应为3的倍数，同时重叠数在16内，所以，重叠数可能为 ，或 ，或 ，或 。当重叠数为 时，每条线上的和为： ，具体填法如图（1）；当重叠数为 时，每条线上的和为： ，具体填法如图（2）；当重叠数为 时，每条线上的和为： ，具体填法如图（3）；当重叠数为 时，每条线上的和为： ，具体填法如图（4）。故此题有4种填法。 图（1） 图（2） 图（3） 图（4）专家点评： 与“五阶”不同的是不知道每边的三数之和等于几，也不知道重叠数是多少，且重叠数由三个数组成，都重叠了一次。同“三阶”一样，需讨论。例7、解 （2+3+4+5+6+7+8+9）+ 重叠数 = 184 = 重叠数 = 因为 28 = = 所以