第四章 随机变量的数字特征-2.doc

第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第二部分第二部分 1 已知随机变量 的密度函数为 求 的标准 化随机变量的密度函数 例题 期望 方差 标准化 分析 设 为 的标准化随机变量 则 因此求 的密度 函数 必需先求出 解 所以 从而 当 有 此时 有分布函数 从而 于是 2 设 与 独立同分布 且服从 求 例题 独立 同分布 正态分布 期望 分析 如果令 由正态分布可加性 知道 也服从正态分布 从而可以解决问题 解 因 与 独立同分布 故 服从正态分布 且 故 于是 3 设随机变量 与 独立同分布 都服从泊松分布 令 求 与 的相关系数 例题 相关 系数 独立同分布 泊松分布 分析 要求相关系数 需要求得 及 解 由于 与 独立同分布 故 所以 于是 4 设供电公司在某指定时段的供电量 万 在 上均匀分布 而用户的需求量 在 上均匀分布 设公司每供电 获利 0 1 元 若需求量超过供电量 则公司可从电网上取得附加电量来补充 每供电 获利 0 05 元 求该公司在这段时间内获利的数学期望 例题 数 学期望 电量供应 分析 根据题意知 获利的多少与供电量和需求量都有关系 因此获利是供 电量和需求量的函数 可以断定这是一个二维随机变量函数的数学期望的问 题 解 由于 独立 可知 的联合密度为 利润函数为 因此 平均利润为 下面我们确定有效的积分区域 有 效的积分区域应该使得 所以得到如下的图形 图中阴影部分为有效的积分区域 表示 表示 所以 该公司在这段时间内平均获利约 1 7 万元 5 因为随即变量 的期望定义为 或者 因此 期望存在就等价于级数 或者 收敛 基本概念 期望 答 不正确 期望的定义首先要求 或者 绝对收敛 即要求 或者 收敛 为什么要求绝对收敛呢 这是因为随即变量 取 是随机的 不是按照 一定的顺序取值的 而期望存在 则要求是唯一的 这就要求期望不会因为 取值的顺序而发生变化 即要求级数求和是可以重排的 要满足这个条件等 价于要求级数是绝对收敛的 6 判断下面的解法是否正确 设随即变量 的分布律为 求 解答如下 例题 期望 答 不正确 因为 即 不绝对收敛 故 不存 在 7 随机变量 的方差 反映了 的波动状态 方差小则波动小 方差 大则波动大 基本概念 方差 答 是 什么是波动状态 我们举例说明 例子 对两个班某次数学考试成绩进行抽样检查 每班各抽 10 人 成绩分 别为 学 号 12345678910 甲 组分 数 X 72707573757370724575 学 号 12345678910 已 组分 数 Y 72859090852645457290 容易算出两个标本的平均成绩都是 70 分 即 就平均成绩 而言 两个组的成绩是一样好 但实际上 我饿每年还是认为甲组成绩比乙 组要好些 因为乙组成绩波动得比较大 可以用个人成绩减去平均成绩来反 应偏离的程度 为了避免符号带来的麻烦 通常使用平方来描述 比如说 那么 总体的平均偏离程度就可以为 为什 么方差能够衡量随机变量的波动状态 这可以使用切比雪夫不等式获得证明 事实上 由切比雪夫不等式 可知 对于给定的 当 小时 上式左边就更小 左边小就说明 落在 附近的可能性大 集中落在 的一个很小领域内就说明 取值的波动小 8 随机变量 的期望 存在 则方差 一定存在 概念 方差与期 望的关系 答 不是 我们可以举一个反例来验证 设 的联合密度为 由于被积函数是奇函数 所以 同理 可知 但是 都不存在 事实上 同理 可得 9 随机变量 的期望不存在 则方差一定不存在 概念 期望 方差 答 正确 由方差的定义 可知若 不存在 当然 也不 存在 下面举一个期望与方差都不存在的一个例子 柯西 cauchy 分 布 设 的密度函数为 由于 当 所以 不存在 从而 也不存在 10 随机变量 的方差 存在 则期望一定存在 概念 期望 方差 答 正确 由方差的定义 知道 若期望存在则方差一定存在 而问题中的提法正好是这个结论的逆否命题 所以成立 11 随机变量的方差一定非负 即 概念 方差 非负性 答 正确 我们下面分别对离散型和连续型变量进行证明 对于离散型变量 其中 又 从而知离散型随机变量的方差是非负的 对于连续型 其中密 度函数是非负的 又 故 12 若随机变量 的方差存在 则 成立 概念 方差 答 正确 根据方差和期望的定义 知道 所以 13 设随机变量 的方差 存在 则对任意的常数 有 其中等号当且仅当 时成立 概念 方差 答 正确 下面给出证明 当 时 根据方差的定义 有 当 时 因为 又 故 显然 当 有 于是 14 设随机变量 的方差 存在 则 的充要条件是存在常数 使 概念 方差 答 是 证明如下 必要性 设 由切比雪夫不等式知道 对任意的 有 又因为 根据概率的连续性 有 从而 即存在 常数 使得 充分性 若存在常数 使得 则知 的分布律为 从而知道 所以 从上面的 证明可知常数 15 设 随机变量 则 概念 数学期望 答 正确 下面给出连续型随机变量的证明 对于二维连续型随机变量的函数 有联合密度函数 我们有 由此 可 知道 16 概念 数学期望 答 正确 证明如下 得证 17 若随机变量 相互独立 则 方差 独立 性 答 不正确 因为当 独立时 有 但不一定有 当 相互独立时 应该有 证明如下 18 若随机变量 相互独立 则 方差 独立性 答 不正确 当 独立时 只有 证明如下 左边 19 对于二维随机变量 相互独立等价于 不相关 概念 相关性 答 不正确 首先我们必须了解关于不相关的定义 若随机变量 的相 关系数 则城 不相关 否则称为相关 命题 1 若 相互独立 则 不相关 这个命题是正确的 证明如 下 由于 独立 知道 故 命题 2 若 不相关 则可以证明 相互独立 这个命题是错误的 下面举一个反例 设 的联合密度为 下面我 们证明 是不相关的但并不是独立的 根据期望的定义知 由于 是奇函数 所以有 同理可知 因此由方差的定义可知 利用极坐标变换来 计算积分 类似地 可以计算 从而 因此 根据相关系数的定义可知 不相关 但 并不独立 事实上 同 理可知 因为 所以根据独立性的定义知 不独立 综上所述 知道 1 独立 不相关 2 不相关 独立 3 相关 不独立 4 不独立 相关 20 设随机变量 的期望 方差 协方差都存在 则 独立的充分必要 是协方差 协方差 独立性 答 不正确 是 独立的必要条件 但非充分条件 即 独 立能推出 但 并不能推出 独立 21 设随机变量 的方差存在 则 独立的充要条件是 方差 独立性 答 不正确 根据方差的性质可以知道 如果 相互独立则 当由 并不能断定 独立 我们举一个反例来说明 设 的联合密度为 下面我们证明 是不相关的但并不是独立的 根据期望的定义知 由于 是奇函数 所以有 同理可知 因此由方差的定义 可知 利用极坐标 变换来计算积分 类似地 可以计算 从而 因此 根据相关系数的定义可知 不相关 但 并不独立 事实上 同 理可知 因为 所以 并不独立 22 数字特征间 相关性与独立性的相互关系 数字特征 相关性 独立性 答 1 不相关 相关系数 2 相关系数 协方差 3 对于二维正态分布 相关系数 相互独立 4 协方差 5 独立 协方差 6 协方差 7 独立 联合密度函数 23 两个随机变量的期望相等 则两个随机变量是同一随机变量 期望 答 不是 举一个反例 设 是取自总体 的一个样本 与 均 为随机变量 显然它们不是同一随机变量 但是 我们可以证明 这是因为 取自同一总体 从而 应 与 同分布 故 故 24 若 用两点分布的分布律可以秋初 及 例题 期望 方差 两点分布 二项分布 解 是 由于 所以可把 看成 次重复独立试验中事件 出现的次 数 若又用 计第 次试验中 出现的次数 则显然有 又每个 服从两点分布 且有分布律 故 所以 25 事件在一次试验中发生次数的方差一定不超过 0 25 例题 方差 答 是 证明如下 设事件 在一次试验中发生的概率为 不发生的概率为 又设随 机变量 则 服从两点分布 有分布律 故 因此显然有 26 无论随机变量服从哪种分布 只要 存在 则随机变量 的数学期望 而方差 随机变量的标准 化 答 是 我们知道 当 时 如果令 则 这种代换成为正态分布的标准化代换 这各代换对其它期望和 方差都存在的随机变量同样成立 证明如下 27 比赛问题 设排球队 与 进行比赛 若有一队胜 4 场则比赛结束 假定不会有和局 假定 在每场比赛中获胜地概率都是 试求需要 比赛场数的数学期望 例题 数学期望 离散型 解 设随机变量 位比赛的场数 根据题意知 获胜的一队至少要比三四 场 所以 至少为 4 又如果比赛进行了 7 场 则有一队以获胜 4 场 所以 最大为 7 显然 的取值为 4 5 6 7 是离散型随机变量 要求数学期望 需要知道分布律 下面先求分布律 1 第一种情形 比赛进行了四场 此时 或者四场全为 获胜 或 者四场全为 获胜 这可以看成是 4 重贝努利试验 成功概率为 因此 若 4 次都成功或都失败比赛都结束 故有 2 第二种情形 比赛进行了 5 场 此时 或者 在第 5 场获胜 而 在前 4 场中又胜 3 场 或者 在第 5 场中取胜 而在前 4 场中又胜 3 场 把 5 场比赛看成 5 重贝努利试验 有 3 第三种情形 比赛进行了 6 场 此时 或者 在第 6 场取胜 而 在前 5 场中 又获胜 3 场 或者 在第 6 场取胜 而在前 5 场中 又胜 3 场 所以有 4 第四种情形 比赛进行了 7 场 此时 或者 在第 7 场取胜 而 在前 6 场中 又获胜 3 场 或者 在第 7 场取胜 而在前 6 场中 又胜 3 场 所以有 所以比赛场数的数学期望为 这就是说 在比赛双方实 力相当时 使用上面的比赛规则 平均地说 要赛约 6 场才能分胜负 28 随机变量 的期望的一种表示式 试证 1 对非负整数值随机变量 若 存在 则 2 对任一随机变量 若 存在 则 例题 数学 期望 证明 1 因为 上式方括号内的级数收敛性由期望的存在性保证 2 只对连续型随机变量 加以证明 设 的概率密度函数为 则 于是有 上式中 为第一象限中由 和 轴夹成的区域 为第四象限中由 和 轴夹成的区域 交换积分次序有 29 公共