江苏省盐城市盐阜中学高三数学上学期12月月测试卷（含解析）.docVIP

2015-2016学年江苏省盐城市盐阜中学高三（上）12月月测数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1已知集合a=1，0，e，2i2（i是虚数单位），b=x|x210，则ab=2某篮球选手近五场比赛的上场时间分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1（单位：分钟），则这组数据的方差为3袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色为一红一黄的概率为4已知向量=（1，2），=（m，4），且（）（2+），则实数m的值为5已知一个正方体的边长为2，则其外接球的体积是6如图是一个算法的流程图，它最后输出的k值为7“函数f（x）在r上单调递减”是“f（x）0在r上恒成立”的条件8已知实数x，y满足，则z=2xy的最大值为9已知（0，），cos=，则tan（+）=10设d是abc所在平面内一点，且，设，则x+y=11函数f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为12等差数列an的前n项和为sn，已知s10=0，s15=25，则nsn的最小值为13已知函数，则函数y=g（x）x的零点个数是14函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）=0存在唯一正实数根x0，则a取值范围是二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且acosb=bcosa（1）求证：a=b（2）若sina=，求sin（c）的值16如图，四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd为矩形，e，f分别为棱ab，pc的中点 （1）求证：pebc； （2）求证：ef平面pad17已知（1）若，求证：（2）设，若，求，的值18如图，墙上有一壁画，最高点a离地面4米，最低点b离地面2米观察者从距离墙x（x1）米，离地面高a（1a2）米的c处观赏该壁画，设观赏视角acb=（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？（2）若tan=，当a变化时，求x的取值范围19已知an的前n项和sn，an0且an2+2an=4sn+3（1）求an的通项公式；（2）若bn=，求bn的前n项和tn20设函数f（x）=x（xr），其中m0（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1x2，若对任意的xx1，x2，f（x）f（1）恒成立，求m的取值范围2015-2016学年江苏省盐城市盐阜中学高三（上）12月月测数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1已知集合a=1，0，e，2i2（i是虚数单位），b=x|x210，则ab=e，2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】利用复数性质确定出a，求出b中不等式的解集确定出b，找出a与b的交集即可【解答】解：由b中不等式变形得：（x+1）（x1）0，解得：x1或x1，即b=（，1）（1，+），a=1，0，e，2i2=1，0，e，2，ab=e，2，故答案为：e，2【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2某篮球选手近五场比赛的上场时间分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1（单位：分钟），则这组数据的方差为0.044【考点】极差、方差与标准差【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】先求出这组数据的平均数，再计算这组数据的方差【解答】解：某篮球选手近五场比赛的上场时间分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1（单位：分钟），这组数据的平均数为=（9.7+9.9+10.1+10.2+10.1）=10，这组数据的方差为： （9.710）2+（9.910）2+（10.110）2+（10.210）2+（10.110）2=0.044故答案为：0.044【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用3袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色为一红一黄的概率为【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】应用题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可【解答】解：根据题意，记白球为a，红球为b，黄球为c1、c2，则一次取出2只球，基本事件为ab、ac1、ac2、bc1、bc2、c1c2共6种，其中2只球的颜色不同的是bc1、bc2共2种；所以所求的概率是p=故答案为：【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目4已知向量=（1，2），=（m，4），且（）（2+），则实数m的值为2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】计算题；转化思想；数学模型法；平面向量及应用【分析】由已知向量的坐标求出、2+的坐标，然后利用向量共线的坐标表示列式求得m值【解答】解： =（1，2），=（m，4），=（1，2）（m，4）=（1m，2），2+=2（1，2）+（m，4）=（2+m，8）又（）（2+），8（1m）（2）（2+m）=0，解得：m=2故答案为：2【点评】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别若=（a1，a2），=（b1，b2），则a1a2+b1b2=0，a1b2a2b1=0，是基础题5已知一个正方体的边长为2，则其外接球的体积是4【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何【分析】正方体的外接球的直径是正方体的体对角线，由此能求出正方体的外接球的体积【解答】解：正方体棱长为2，正方体的外接球的半径r=，正方体的外接球的体积v=4故答案为：4【点评】本题考查正方体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，解题的关键是明确正方体的外接球的直径是正方体的体对角线6如图是一个算法的流程图，它最后输出的k值为30【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加s=21+22+23+229的值，并输出，从而得解【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，s=0满足条件s30，s=21，k=2满足条件s30，s=21+22，k=3满足条件s30，s=21+22+229，k=30不满足条件s30，退出循环，输出k的值为30故答案为：30【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视写出程序结果也是重要的考试题型，属于基础题7“函数f（x）在r上单调递减”是“f（x）0在r上恒成立”的必要不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】利用导函数的性质与函数增减性间的关系判断即可【解答】解：若f（x）0在r上恒成立，则有函数f（x）在r上单调递减；反之，函数f（x）在r上单调递减，则有f（x）0在r上恒成立，则“函数f（x）在r上单调递减”是“f（x）0在r上恒成立”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握导函数的性质是解本题的关键8已知实数x，y满足，则z=2xy的最大值为7【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合【分析】根据约束条件画出可行域，得到abc及其内部，其中a（5，3），b（1，3），c（2，0）然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2xy有最大值，并且可以得到这个最大值【解答】解：根据约束条件画出可行域如图，得到abc及其内部，其中a（5，3），b（1，3），c（2，0）平移直线l：z=2xy，得当l经过点a（5，3）时，z最大为253=7故答案为：7【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解9已知（0，），cos=，则tan（+）=【考点】两角和与差的正切函数【专题】三角函数的求值【分析】由cos的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，进而求出tan的值，然后把所求的式子利用两角和与差的正切函数公式化简，把tan的值代入即可求出值【解答】解：cos=，（0，），sin=，tan=，则tan（+）=故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，学生在求值时注意角度的范围10设d是abc所在平面内一点，且，设，则x+y=1【考点】向量的线性运算性质及几何意义【专题】数形结合；转化法；平面向量及应用【分析】根据题意，画出图形，结合图形用向量、表示出，即可求出x、y的值【解答】解：画出图形，如图所示：=3， =+=；=+=+=+（）=+，x=，y=；x+y=1故答案为：1【点评】本题考查了平面向量的线性运算问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题目11函数f（x）=cos（x+）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为2k，2k+，kz【考点】余弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】由函数的图象和五点法作图可得函数的解析式，由余弦函数的单调性和复合函数的单调性可得【解答】解：由题意可得函数的周期为2（）=2，=2，解得=，f（x）=cos（x+），再根据函数的图象以及五点法作图，可得+=，解得=，f（x）=cos（x+），令2kx+2k+，可解得2kx2k+，f（x）的单调递减区间为：2k，2k+，kz故答案为：2k，2k+，kz【点评】本题考查余弦函数的单调性，求出函数的解析式是解决问题的关键，属基础题12等差数列an的前n项和为sn，已知s10=0，s15=25，则nsn的最小值为49【考点】利用导数研究函数的极值；等差数列的前n项和；等差数列的性质【专题】压轴题；等差数列与等比数列【分析】由等差数列的前n项和公式化简已知两等式，联立求出首项a1与公差d的值，结合导数求出nsn的最小值【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，s10=10a1+45d=0，s15=15a1+105d=25，a1=3，d=，sn=na1+d=n2n，nsn=n3n2，令nsn=f（n），f（n）=n2n，当n=时，f（n）取得极值，当n时，f（n）递减；当n时，f（n）递增；因此只需比较f（6）和f（7）的大小即可f（6）=48，f（7）=49，故nsn的最小值为49故答案为：49【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键13已知函数，则函数y=g（x）x的零点个数是3【考点】函数零点的判定定理【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】在同一坐标系中画出函数的图象和y=x的图象，分析两图象交点的个数，可得答案【解答】解：函数的图象如下图所示：由图可得，函数y=g（x）与函数函数y=x的图象有三个交点，故函数y=g（x）x的零点个数是3个，故答案为：3【点评】本题考查的知识点是函数的零点及个数判断，将函数的零点转化为函数图象的交点，是解答的关键14函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）=0存在唯一正实数根x0，则a取值范围是（，2）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用【分析】分类讨论：当a0时，容易判断出不符合题意；当a0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f（）0，解出即可得到a的范围【解答】解：当a=0时，f（x）=3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a0时，令f（x）=3ax26x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下：x（，0）0（0，）（，+）f（x）+00+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增x，f（x），而f（0）=10，存在x0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x00，应舍去当a0时，f（x）=3ax26x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下：x（，）（，0）0（0，+）f（x）0+0f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=10，x+时，f（x），存在x00，使得f（x0）=0，f（x）存在唯一的零点x0，且x00，极小值f（）=a）33（）2+10，化为a24，a0，a2综上可知：a的取值范围是（，2）故答案为：（，2）【点评】本题考查了函数的导数在判断函数的单调性的运用，函数的零点的判断及应用，属于难题二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且acosb=bcosa（1）求证：a=b（2）若sina=，求sin（c）的值【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理得到结果，即可证明（2）由（1）可得：c=2a，利用sina=，a为锐角，可得：cosa，sin2a，cos2a的值，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式即可求值【解答】解：（1）证明：已知等式利用正弦定理化简得：sinbcosa=sinacosb，即sinacosbcosasinb=sin（ab）=0，a，b都为三角形内角，ab=0，即a=b，则三角形形状为等腰三角形a=b得证（2）由（1）可得：c=ab=2a，sina=，a为锐角，可得：cosa=，sin2a=2sinacosa=，cos2a=2cos2a1=，sin（c）=sin（2a）=sin（+2a）=（cos2a+sin2a）=（+）=【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式的应用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题16如图，四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd为矩形，e，f分别为棱ab，pc的中点 （1）求证：pebc； （2）求证：ef平面pad【考点】直线与平面平行的判定【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离【分析】（1）证明pabc，abbc，证得cb平面pab，从而有cbpe（2）取cd的中点g，由fg是三角形cpd的中位线，可得 fgpd，再由举行的性质得 egad，证明平面efg平面pad，从而证得ef平面pad【解答】解：（1）证明：侧棱pa垂直于底面，pabc又底面abcd是矩形，abbc，这样，cd垂直于平面pad内的两条相交直线，cb平面pab，cbpe（2）取cd的中点g，e、f分别是ab、pc的中点，fg是三角形cpd的中位线，fgpd，fg面pad底面abcd是矩形，egad，eg平面pad 故平面efg平面pad，ef平面pad【点评】本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题17已知（1）若，求证：（2）设，若，求，的值【考点】平面向量数量积的运算【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用【分析】（1）证明即可；（2）根据向量相等列出方程组，解出，【解答】解：（1），（）2=2，即22+2=2，2=cos2+sin2=1， 2=cos2+sin2=1，=0，（2）=（cos+cos，sin+sin）=（0.1），2+2得cos（）=0，0=，即，代入得sin+sin（）=1，整理得=1，即sin（+）=10，=，=，=，【点评】本题考查了平面向量的数量积运算、向量的模、同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题18如图，墙上有一壁画，最高点a离地面4米，最低点b离地面2米观察者从距离墙x（x1）米，离地面高a（1a2）米的c处观赏该壁画，设观赏视角acb=（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？（2）若tan=，当a变化时，求x的取值范围【考点】解三角形的实际应用【专题】解三角形【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围【解答】解：（1）如图，作cdaf于d，则cd=ef，设acd=，bcd=，cd=x，则=，在rtacd和rtbcd中，tan=，tan=，则tan=tan（）=（x0），令u=，则ux22x+1.25u=0，上述方程有大于0的实数根，0，即441.25u20，u，即（tan）max=，正切函数y=tanx在（0，）上是增函数，视角同时取得最大值，此时，x=，观察者离墙米远时，视角最大；（2）由（1）可知，tan=，即x24x+4=a2+6a4，（x2）2=（a3）2+5，1a2，1（x2）24，化简得：0x1或3x4，又x1，3x4【点评】本题考查应用两角和的正切公式及其函数的单调性与最值，注意解题方法的积累，属于中档题19已知an的前n项和sn，an0且an2+2an=4sn+3（1）求an的通项公式；（2）若bn=，求bn的前n项和tn【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）运用递推关系式an2+2an=4sn+3，3+4sn+1=an+12+2an+1，相减得出an+1an=2，可判断等差数列，求解通项公式（2）利用an的通项公式得出bn= 裂项求解即可【解答】（1）证明：3+4sn=an2+2an，3+4sn+1=an+12+2an+1，两式相减整理可得（an+1+an）（an+1an2）=0，n1时，an0，an+1an2=0，an+1an=2，n=1时，a1=1（舍去），a1=3an成等差数列，首项为3，公差为2，an=2n+1（2）bn=，bn= bn的前n项和tn= += =【点评】本题综合考查了等差数列的性质，通项公式，裂项法求解数列的和，考查了学生的运算化简能力，属于中档题20设函数f（x）=x（xr），其中m0（