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第三章连续型随机变量一、 教学目的与要求1掌握分布函数的定义和性质；2掌握连续型随机变量的概率密度，特别是均匀分布、指数分布、正态分布的概率密度；二维连续型随机变量的联合概率密度和边际密度。3掌握连续型随机变量的数学期望、方差。4掌握表示随机变量相互关系的数字特征：协方差、相关系数，随机变量的不相关与独立的异同。5掌握连续型随机变量函数的分布密度的求法，掌握卷积公式。二、 教学重点与难点 教学重点是分布函数与连续型随机变量的密度函数，期望、方差的有关概念。 教学难点是协方差、相关系数的有关计算，及卷积公式的应用。第三章 连续型随机变量3.1随机变量及分布函数一、分布函数的概念定义：设定义在样本空间上的随机变量，对于任意实数x,是随机变量的概率分布函数，简称为分布函数或分布。分布函数实质上就是事件的概率。二、分布函数的性质 由概率的性质可知：1）非负性： 2）单调性： 若则3）若 进一步 4）极限性 证都存在，又由概率的完全可加性有5）左连续性 证：是单调有界函数，其任意一点的左极限必存在，为证明其左连续性，只要对某一列单调上升的数列证明成立即可。这时有由此可得2）、4）、5）是分布函数的三个基本性质，反过来还可以证明任一个满足这三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数。知道了随机变量的分布函数，不仅可以求出的概率而且还可以计算下述概率由此可以看出，上述这些事件的概率都可以由算出来，因此全面地描述了随机变量的统计规律，既然分布函数能够全面地描述一般的随机变量的统计规律，因而分布函数这个概念比分布列更重要。三、离散型随机变量的分布函数设为一个离散型随机变量，它的分布列为 则的分布函数为对离散型随机变量，用得较多的还是分布列。例1、 若服从退化分布即则的分布函数为例2、 若服从两点分布1 0P q求的分布函数F（x）。解： 当当时，当时，例3、 设的分布列为0 1 20.3 0.4 0.3求的分布函数。解： 当当时， 当时，当于是从上面例子可以看到，是一阶梯状的左连续函数，在处有跳跃，其跃度为在处的概率。例4、 等可能的向区间上投掷质点，求质点坐标的分布函数。解：设为任一实数，当时，显然有当时，由几何概型可知当从而例5设随机变量的分布函数为求1）常数A，B ； 2）P（。解：1）由极限性 得 从而解于是2）例6设随机变量的分布函数为 ， 求： 1）常数A ； 2）落在上的概率。解：1）左连续，故于是2）由例5，例6可知求分布函数中的待定常数，主要是利用分布函数的极限性及左连续性。3.2 连续型随机变量一、连续型随机变量的概念1、定义定义：设是随机变量，是它的分布函数，如果存在可能函数使得对任意的，有，则称为连续型随机变量，相应的为连续型分布函数，同时称是的概率密度函数或称为密度。2、密度函数的性质由分布函数的性质，可以验证任一连续型随机变量的密度函数必具备下列性质：1）非负性：2）规范性：反过来，定义在R上的函数，如果具有上述两个性质，即可定义一个分布函数。密度函数除了上述两条特征性质外，还有如下一些重要性质：3）在R上连续，且在的连续点处，有，对连续型随机变量，分布函数和密度函数可以相互确定，因此密度函数也完全刻画了连续型随机变量的分布规律。4）设为连续型随机变量，则对任意实数，有这表明连续型随机变量取个别值的概率为0，这与离散型随机变量有本质的区别，顺便指出并不意味着是不可能事件。5）对任意这一个结果从几何上来讲，落在区间中的概率恰好等于在区间上曲线y=p(x)的曲边梯形的面积。同时也可以发现，整个曲线y=p(x)与x轴所围成的图形面积为1。例1、 设随机变量的密度函数为试求1）常数c ； 2)的分布函数 ； 3）。解：1）由密度函数的性质可知即于是密度函数为2）3）例2、 设随机变量的密度函数为试求1）常数c ； 2）分布函数F（x）； 3）。解：1）由密度函数的性质于是2）当当于是3）例3、 设连续型随机变量的分布函数为，求它的密度函数。解：因为所以二、几种常用分布1、均匀分布设随机变量的密度函数为 ，则称服从区间上的均匀分布，记作 。向区间上均匀投掷随机点，则随机点的坐标服从上的均匀分布。在实际问题中，还有很多均匀分布的例子，例如乘客在公共汽车站的候车时间，近似计算中的舍入误差等。设随机变量，则对任意满足，则有这表明，落在内任一小区间上取值的概率与该小区间的长度成正比，而与小区间的位置无关，这就是均匀分布的概率意义，实际上均匀分布描述了几何概型的随机试验。2、指数分布若随机变量的密度函数为：，则称服从参数为的指数分布，记作。指数分布是一种应用广泛的连续型分布，它常被用来描述各种“寿命”的分布，例如无线电元件的寿命、电话问题中的通话时间等都可以认为服从指数分布。例4、假定打一次电话所用的时间（单位：分）服从参数的指数分布，试求在排队打电话的人中，后一个人等待前一个人的时间（1）超过10分钟；（2）10分钟到20分钟之间的概率。解：由题设知，故所求概率为1）2）3、正态分布若随机变量的密度函数为称服从参数为的正态分布，记为。密度曲线呈倒钟形，称为位置参数，称为形状参数。由数学分析知识可知从而当时，正态分布N（0，1）称之为标准正态分布，其密度函数为分布函数，对于可以查正态分布表设即。一般地设，则。从而，若， 则例5，设求1） 2） 3）解：例6、设，求。解：一般地这个概率与无关。4、分布设随机变量的密度函数为为两个常数其中， ，称服从参数为的分布。特别的当时，随机变量的密度函数为： 称服从自由度为n的分布，记作。这是数理统计中的一个重要分布。特别地，当时，就为参数为的指数分布。3.3多维连续型随机变量及其分布一、多维随机变量的联合分布函数1、定义定义1、设是定义在同一个样本空间上的随机变量，则n维随机向量是样本空间上的n维随机变量或n维随机向量，并称n元函数是n维随机变量的联合分布函数，称为联合分布或分布，联合分布函数描述了多维随机变量的统计规律。下面着重讨论二维随机变量，若表示笛卡儿平面上的点的坐标，那么为的联合分布函数，这表示点落在图中阴影部分的概率。2、联合分布函数的性质显然1）对x或y都是单调不减的；2）对x和y都是左连续的，即3）对任意x和y，有4）对任意和（，其中有5）反过来还可以证明，任意一个具有上述四个性质的二元函数必定可以作为某个二维随机变量的分布函数，因而满足这四个条件的二元函数通常称为二元联合分布函数。3、边缘（边际）分布函数设为二维随机变量，那么它的分量的分布函数称为边际分布函数，记为。设二维随机变量的联合分布函数为，那么它的两个分量的分布函数可由求得同理。由此可知，由联合分布可以唯一确定边际分布函数，反之，不一定成立。例1、 设的联合分布函数为，求：1）常数A，B，C ； 2）边际分布函数。解：1）由解得2）二、二维连续型随机变量及其密度函数1、定义定义2 ：设为一个二维随机变量，为其联合分布函数，若存在可积函数，使对任意的(x,y )有，则称为二维连续型随机变量，的联合分布函数，简称为密度函数。2、联合密度的性质由联合分布函数的性质有1）非负性：2）规范性：反过来，具有上述两个性质的二元函数必定可以作为某个二维连续型随机变量的密度函数。3）若在点（x,y）连续，是相应的分布函数则有。4)若G是平面上的某一区域，则这表明取值落在平面上任一区域G内的概率，可以通过密度函数在G上的二重积分求得。3、边缘密度函数设二维连续型随机变量的联合密度函数为，则的边际分布函数为。这表明也是连续型随机变量，其边际密度函数为类似地由此可以看出，边际密度由联合密度唯一确定。例2、设的联合密度函数为，求：1）常数C ； 2）分布函数F（x,y） ； 3）边际密度函数及相应的边际密度；4）。解：1）由联合密度的性质解得c=4于是2） 3） 4）三、两种常用分布1、均匀分布设G是平面上的一个有界区域，其面积为A，令则是一个密度函数，以为密度函数的二维联合分布称为区域G上的均匀分布。若服从区域G上的均匀分布，则G中的任一（有面积）的子区域D，有。其中是D的面积。 上式表明二维随机变量落入区域D的概率与D的面积成正比，而与在G中的位置与形状无关，这正是第一章中提过的在平面区域G中等可能投点试验，由此可知“均匀”分布的含义就是“等可能”的意思。特别的若服从G上的均匀分布，其联合密度函数为相应的边际密度由此说明，矩形区域上的均匀分布其边际密度是一维的均匀分布。2、 二维正态分布设二维随机变量的联合密度函数为则称服从二维正态分布，记为，其中为参数。习惯上称为二维正态向量，由的联合分布可以求得边际密度函数分别为由此说明二维正态分布的两个边际分布函数都是一维正态分布，分别为如果则两个二维正态分布是不相同的。但由上面可以知道它们有完全相同的边际分布，由此例也说明了边际分布不能唯一确定她们的联合分布，此外即使两个边际分布都是正态分布的二维随机变量，它们的联合分布还可以不是二维正态分布。例3、设的联合密度函数为，求边际密度函数。解： 同理即都是标准正态分布的随机变量，但却不是二维正态分布四、随机变量的独立性定义3、设的联合分布函数为的边际分布函数为，若对任意的有成立，则称随机变量是相互独立的。如果是二维连续型随机变量，则都是连续型随机变量，它们的密度函数分别为这时容易验证与相互独立由此可知，要判断连续型随机变量是否独立，只需要验证是否为联合密度函数。例4、设服从G上的均匀分布。试问它们是否相互独立？若G为矩形区域呢？解：的联合密度函数为所以不相互独立。例5、若则相互独立随机变量的独立性还可以推广到多个随机变量的情形。定义4、设n维随机变量的联合分布函数为为它们的边际分布函数，若则称是相互独立的随机变量。若为n维连续型随机变量，则相互独立的充要条件为其中的联合密度函数，的边际密度函数。3.4 随机变量函数的分布一、一个随机变量函数的分布定理1.设为连续型随机变量，为其密度函数。又y=f(x)严格单调其反函数h(y)具有连续导数。则也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 其中证明：略例1 设证：为单调函数。且反函数h(y)=一般地，若，则也服从正态分布。定理1在使用时的确很方便，但它要求的条件“函数（X）严格单调且反函数连续可微”很强，在很多场合下往往不能满足。事实上这个条件可以减弱为“f(x)逐段单调，反函数连续可微”。这时密度公式应作相应的修改。一般地我们都是先求其分布函数，然后再求其密度函数。例2 设试求的密度函数。解： 当y当上述密度函数为分布的密度函数在n=1时的特例，也就是说N(0，1)变量的平方是自由度为1的变量。二、两个随机变量函数的分布若而的联合密度函数为p(x,y)，则同上面一样讨论可得到。1、和的分布若而的联合密度函数为p(x,y)则如果与相互独立时，有，从而 因此的密度函数为也可写为由上式给出的运算称为卷积，通常记为。例3、设与相互独立且都服从N（0，1）证明证：由卷积公式故一般说，若是n个相互独立的服从分布的随机变量则仍然是一个服从正态分布N的随机变量，并且参数这个事实有时也称为正态分布具有可加性。在前面已经证明了普阿松分布具有可加性，这里也说明了正态分布具有可加性，其实还有其他一些分布，如分布也具有可加性，即若大家自己证明，由此可知，分布对他的第一个参数具有可加性。由于为参数为n的分布，因此分布也具有可加性。如果是n个相互独立的随机变量，每一个都服从N（0，1），由例2可知每一个都服从分布且仍然相互独立，这时由分布的可加性并利用归纳法可知是服从自由度为n的分布，即n个相互独立的N（0，1）的平方和是一个参数为n的分布，习惯上独立变量的个数称为“自由度”。2、商的分布设是二维连续型随机变量，密度函数为p(x,y)，表示点落在阴影部分的概率。于是密度函数为例4、设与相互独立，分别服从自由度为n及m的分布的随机变量，试求的密度函数。解： 的密度函数为 的密度函数为 于是的密度函数为上式的密度函数的分布称为参数为n,m的F-分布，记作F（n,m）它是数理统计中最常用的分布之一。在上例中，已知相互独立，在计算中用到的的相互独立，当然由相互独立很快推出的相互独立。一般的，若是n个相互独立的随机变量，则也是相互独立的，这里是任意的一元波雷尔函数。例5、设相互独立，求的密度函数。解：这个密度函数称为自由度为n的t-分布。三、随机变量的变换若 的密度函数为，求的分布，这时有 (*)显然，这是最一般的场合，当m=1时，便是随机向量的函数的情形，当m=n=1时，得到单个随机变量的函数的情形，下面考虑另一个重要的特殊情形，即当与有一一对应变换关系时，当然这时m=n必须成立。若对存唯一的反函数且的的密度函数为，那么比较（*）与（*）可知其中J为坐标变换的雅可比行列式。例6、设与相互独立的随机变量，且具有相同的指数分布密度函数求的联合密度函数。解：对做变换因此所以可以验证这里的是相互独立的，分别具有密度例7、设与相互独立，且均服从N（0，1）试证是相互独立的。证：（U，V）的联合分布函数为当s0时做变换反函数有两支与考虑到反函数具有两支，分别利用两组变换得对F（u,v ）求导，得（U，V）的联合密度为（其余为0）所以U，V两随机变量独立。3.5随机变量的数字特征，契贝晓夫不等式一、数学期望1、定义定义1、设为一个连续型随机变量，密度函数为当时，称的数学期望(均值)存在，且，的数学期望是的可能取值（关于概率）的平均，这里要求道理与离散型随机变量一样。例如:的密度函数为因为, 所以不存在。2、几种常用分布的期望1）均匀分布设, 则2）指数分布设, 则3）正态分布设, 则 , 事实上4）分布设即的密度函数为这里用到为的分布密度函数，因而有再利用函数的性质知道即为参数为的指数分布，因而。3、随机变量函数的数学期望定理3、若为连续型随机变量，密度函数为p(x)，又f(x)为实变量x的函数，且则定理4、设是二维连续型随机变量，联合密度函数为p(x,y)又f(x,y)为二元函数，则随机变量的数学期望当然这也要求上述积分绝对收敛。例1、 设。解：例2、 过单位圆上一点P作任意弦PA，PA与直径PB的夹角服从均匀分布，求弦PA的长的数学期望。解：由任意的密度函数为例3、 设相互独立，且都服从N（0，1），求。解：联合密度函数为4、数学期望的性质性质1、若则的数学期望存在，且特别的若，则Ec=c。性质2、对任一二维连续型随机变量若都存在，则对任意实数存在且。性质3、若相互独立，则存在且。性质2与性质3可以推广到任意有限个情形对任意n个常数，有。若相互独立，则。二、方差1、定义定义2、设为一个随机变量，又存在，则称是随机变量的方差，记作D，并称是的根方差或标准方差。2、计算公式3、几种常用分布的方差1）均匀分布设 2）指数分布设， 则。3）正态分布设， 则。4）分布 设4、契贝晓夫不等式我们知道方差反映了随机变量离开数学期望的平均偏离程度，如果随机变量，数学期望，方差为，那么对任意大于零的常数C，事件（）发生的概率P（）应该与有一定的关系，粗略的说，如果越大那么P（）也会越大，将这个直觉严格化，就有下面著名的契贝晓夫不等式。定理3、对任意的随机变量，若又存在，则对任意正数有。将契贝晓夫不等式给出的估计式中，只须知道方差及数学期望两个数字特征就够了，因而使用起来是比较方便的。但因为它没有完整的用到随机变量的统计规律分布函数或密度函数，所以一般说来，它给的估计是比较粗的。利用契贝晓夫不等式可以证明下列事实：随机变量的方差D=0的充要条件是取某个常数值的概率为1，