江苏省南通市启东中学高一数学上学期第一次月考试卷（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在相应位置上1若集合a=x|1x3，b=x|2x4，则集合ab=2已知a=1，3，m，集合b=3，4，若ba，则实数m=3函数y=定义域（区间表示）4若f（1x）=x2，则f（1）=5若集合a=1，2，3，b=1，3，4，则ab的真子集个数为6函数的单调增区间为7给定映射f：（x，y）（x+2y，2xy），则映射f下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为8若函数的定义域和值域都是1，b，则b的值为9若集合a=x|kx2+4x+4=0，xr中只有一个元素，则实数k的值为10函数f（x）=1的最大值是11若函数y=的定义域为r，则实数a的取值范围12函数f（x）是定义在（1，1）上的奇函数，且它为单调增函数，若f（1a）+f（1a2）0，则a的取值范围是13函数f（x）是偶函数，当x0，2时，f（x）=x1，则不等式f（x）0在2，2上的解集为（用区间表示）14对于实数a和b，定义运算*：，设f（x）=（2x1）*（x1），若直线y=m与函数y=f（x）恰有三个不同的交点，则m的取值范围二、解答题（本大题6小题，共90分解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15已知集合a=x|x2=1，b=x|ax=1若ba，求实数a的值16已知函数f（x）的定义域为d，若存在x0d，使等式f（x0）=x0成立，则称x=x0为函数f（x）的不动点，若x=1均为函数f（x）=的不动点（1）求a，b的值（2）求证：f（x）是奇函数17“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当4x20时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v的值为0（千克/年）（1）当0x20时，求函数v（x）的表达式；（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）f（x）=xv（x）可以达到最大，并求出最大值18已知集合a=x|x22x80，b=x|x2+2x30，c=x|x23ax+2a20试求实数a的取值范围使cab19已知二次函数f（x）=x24x4在闭区间t，t+2（tr）上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式，并求出g（t）的最小值20已知f（x）是定义在1，1上的奇函数，且f（1）=2，任取a，b1，1，a+b0，都有0成立（1）证明函数f（x）在1，1上是单调增函数（2）解不等式f（x）f（x2）（3）若对任意x1，1，函数f（x）2m22am+3对所有的a0，恒成立，求m的取值范围2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在相应位置上1若集合a=x|1x3，b=x|2x4，则集合ab=x|2x3【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】由a与b，求出两集合的交集即可【解答】解：a=x|1x3，b=x|2x4，ab=x|2x3故答案为：x|2x3【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知a=1，3，m，集合b=3，4，若ba，则实数m=4【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】计算题【分析】先由ba知，集合b是集合a的子集，然后利用集合子集的定义得集合a必定含有4求出m即可【解答】解：已知a=1，3，m，集合b=3，4，若ba，即集合b是集合a的子集则实数m=4故填：4【点评】本题主要考查了集合的关系，属于求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型3函数y=定义域（2，1）（1，+）（区间表示）【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，即，解得x2且x1，即函数的定义域为（2，1）（1，+），故答案为：（2，1）（1，+）【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件4若f（1x）=x2，则f（1）=0【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数的解析式，进行转化即可【解答】解：f（1x）=x2，f（1）=f（10）=02=0，故答案为：0【点评】本题主要考查函数值的计算，比较基础5若集合a=1，2，3，b=1，3，4，则ab的真子集个数为15【考点】并集及其运算【专题】集合【分析】由a与b，求出两集合的并集，找出并集的真子集个数即可【解答】解：a=1，2，3，b=1，3，4，ab=1，2，3，4，则ab的真子集个数为241=15故答案为：15【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键6函数的单调增区间为，1）和（1，+）【考点】复合函数的单调性【专题】函数的性质及应用【分析】利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可【解答】解：由x（1x）0得x0且x1，即函数的定义域为x|x0且x1，设t=x（1x）=x2+x，对称轴为x=，则函数等价y=，由t=x（1x）0得0x1，此时y=为减函数，要求函数f（x）的单调递增区间，则求函数t=x（1x）在0x1上的递减区间，当x1时，函数t=x（1x）单调递减，此时函数f（x）的单调递增区间为，1）由t=x（1x）0得x1或x0，此时y=为减函数，要求函数f（x）的单调递增区间，则求函数t=x（1x）在x1或x0的递减区间，当x1时，函数t=x（1x）单调递减，此时函数f（x）的单调递增区间为（1，+）函数的单调递增区间为，1）和（1，+）故答案为：，1）和（1，+）【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键注意要对分母进行讨论7给定映射f：（x，y）（x+2y，2xy），则映射f下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为（1，1）【考点】映射【专题】函数的性质及应用【分析】本题已知映射f的对应法则和映射的象，可列出参数x、y相应的关系式，解方程组求出原象，得到本题题结论【解答】解：映射f：（x，y）（x+2y，2xy），映射f下的对应元素为（3，1），（3，1）原来的元素为（1，1）【点评】本题考查的是映射的对应关系，要正确理解概念，本题运算不大，属于容易题8若函数的定义域和值域都是1，b，则b的值为3【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法【专题】计算题【分析】先根据f（x）在1，b上为增函数，当x=1时，f（x）=1，当x=b时，f（x）=（b1）2+1=b，可得然后把b代入即可得出答案【解答】解：函数的定义域和值域都是1，b，且f（x）在1，b上为增函数，当x=1时，f（x）=1，当x=b时，f（x）=（b1）2+1=b，解得：b=3或b=1（舍去），b的值为3，故答案为：3【点评】本题考查了函数的值域及函数的定义域的求法，属于基础题，关键是根据f（x）在1，b上的单调性求解9若集合a=x|kx2+4x+4=0，xr中只有一个元素，则实数k的值为0或1【考点】集合关系中的参数取值问题【专题】计算题【分析】集合a表示的是方程的解；讨论当二次项系数为0时是一次方程满足题意；再讨论二次项系数非0时，令判别式等于0即可【解答】解：当k=0时，a=x|4x+4=0=1满足题意当k0时，要集合a仅含一个元素需满足=1616k=0解得k=1故k的值为0；1故答案为：0或1【点评】本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为0的情况、考虑判别式的情况10函数f（x）=1的最大值是1【考点】函数的值域【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由观察法可直接得到函数的最大值【解答】解：0，11，即函数f（x）=1的最大值是1故答案为：1【点评】本题考查了函数的最大值的求法，本题用到了观察法，属于基础题11若函数y=的定义域为r，则实数a的取值范围0，）【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】由题意得不等式组，解出即可【解答】解：由题意得：，解得：0a，故答案为：0，）【点评】本题考查了二次函数，二次根式的性质，是一道基础题12函数f（x）是定义在（1，1）上的奇函数，且它为单调增函数，若f（1a）+f（1a2）0，则a的取值范围是0a1【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】将不等式进行转化，利用函数的单调性和奇偶性，即可得到结论【解答】解：f（x）为奇函数，f（1a）+f（1a2）0可化为f（1a）f（1a2）=f（a21），又f（x）在定义域（1，1）上递增，1a211a1，解得0a1a的取值范围为：0a1故答案为：0a1【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查抽象不等式的求解，考查学生的转化能力综合考查函数的性质13函数f（x）是偶函数，当x0，2时，f（x）=x1，则不等式f（x）0在2，2上的解集为2，1）（1，2（用区间表示）【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】先求出当x0，2时，解集为（1，2，再由函数的奇偶性求出当x2，0时，解集为（1，2，即可求出不等式f（x）0在2，2上的解集【解答】解：当x0，2时，f（x）=x10，即有x1，解集为（1，2，函数f（x）是偶函数，所以图象是对称的，当x2，0时，解集为2，1），综上所述，不等式f（x）0在2，2上的解集为2，1）（1，2，故答案为：解集为2，1）（1，2【点评】本题主要考察了函数奇偶性的性质，属于基础题14对于实数a和b，定义运算*：，设f（x）=（2x1）*（x1），若直线y=m与函数y=f（x）恰有三个不同的交点，则m的取值范围（0，）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】化简f（x）=，作函数f（x）的图象，利用数形结合的方法求解【解答】解：当x0时，2x1x1，f（x）=（2x1）*（x1）=（2x1）2（2x1）（x1）=（2x1）x，当x0时，2x1x1，f（x）=（2x1）*（x1）=x（x1），故f（x）=，作函数f（x）=的图象如下，结合图象可知，m的取值范围为（0，）；故答案为：（0，）【点评】本题考查了数形结合的思想的应用及分段函数的化简与运算二、解答题（本大题6小题，共90分解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15已知集合a=x|x2=1，b=x|ax=1若ba，求实数a的值【考点】集合关系中的参数取值问题【专题】计算题；分类讨论【分析】已知ba，分两种情况：b=，b，然后再根据子集的定义进行求解；【解答】解：显然集合a=1，1，对于集合b=x|ax=1，当a=0时，集合b=，满足ba，即a=0；当a0时，集合，而ba，则，或，得a=1，或a=1，综上得：实数a的值为1，0，或1【点评】此题主要考查子集的定义及其性质，此题还用到分类讨论的思想，注意b=，这种情况不能漏掉；16已知函数f（x）的定义域为d，若存在x0d，使等式f（x0）=x0成立，则称x=x0为函数f（x）的不动点，若x=1均为函数f（x）=的不动点（1）求a，b的值（2）求证：f（x）是奇函数【考点】函数奇偶性的判断【专题】函数的性质及应用【分析】（1）直接利用定义把条件转化为f（1）=1，f（1）=1联立即可求a，b的值及f（x）的表达式；（2）根据奇函数的定义进行证明【解答】解：（1）有题意可得：解得：；（2）由（1）知，故f（x）=，定义域是r，设任意x，则，f（x）=f（x），故函数f（x）是奇函数【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的奇偶性，属于基础题17“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当4x20时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v的值为0（千克/年）（1）当0x20时，求函数v（x）的表达式；（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）f（x）=xv（x）可以达到最大，并求出最大值【考点】函数模型的选择与应用【专题】应用题；综合题【分析】（1）由题意：当0x4时，v（x）=2当4x20时，设v（x）=ax+b，v（x）=ax+b在4，20是减函数，由已知得，能求出函数v（x）（2）依题意并由（1），得f（x）=，当0x4时，f（x）为增函数，由此能求出fmax（x）=f（4），由此能求出结果【解答】解：（1）由题意：当0x4时，v（x）=2当4x20时，设v（x）=ax+b，显然v（x）=ax+b在4，20是减函数，由已知得，解得故函数v（x）=（2）依题意并由（1），得f（x）=，当0x4时，f（x）为增函数，故fmax（x）=f（4）=42=8当4x20时，f（x）=+，fmax（x）=f（10）=12.5所以，当0x20时，f（x）的最大值为12.5当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米【点评】本题考查函数表达式的求法，考查函数最大值的求法及其应用，解题时要认真审题，注意函数有生产生活中的实际应用18已知集合a=x|x22x80，b=x|x2+2x30，c=x|x23ax+2a20试求实数a的取值范围使cab【考点】一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题【专题】计算题【分析】先求出集合a与集合b，从而求出ab，讨论a的正负，根据条件cab建立不等关系，解之即可【解答】解：依题意得：a=x|2x4，b=x|x1或x3，ab=x|1x4（1）当a=0时，c=，符合cab；（2）当a0时，c=x|ax2a，要使cab，则，解得：1a2；（3）当a0时，c=x|2axa，a0，c（ab）=，a0不符合题设综合上述得：1a2或a=0【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合关系中的参数取值问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题19已知二次函数f（x）=x24x4在闭区间t，t+2（tr）上的最大值记为g（t），求g（t）的表达式，并求出g（t）的最小值【考点】二次函数在闭区间上的最值【专题】函数的性质及应用【分析】首先不二次函数的一般式转化成顶点式，进一步求出对称轴方程，根据轴固定和区间不固定进行分类讨论，然后确定函数的单调性，进一步求出最大值和最小值【解答】解：二次函数f（x）=x24x4=（x2）28开口方向向上，对称轴方程：x=2，当2，即t1时，x=t+2距离对称轴的距离比x=t的距离远，所以，当x=t+2时，g（t）=t28；当2，即t1时，x=t+2距离对称轴的距离比x=t的距离近，所以，当x=t时，g（t）=t24t4；综上可得，g（t）=当t1时，t=0时，g（t）取小值8，当t1时，t=2时，g（t）取小值8，所以g（t）的最小值为8【点评】本题考查的知识点：二次函数一般式与顶点式的转换，对称轴方程，二次函数轴固定与区间不固定之间的讨论，求二次函数的最