江苏省南通市天星湖中学高二数学上学期期中试题（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省南通市天星湖中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1在直角坐标系中，直线y+1=0的倾斜角的大小是_弧度2若直线x+ay2a2=0与直线ax+ya1=0平行，则实数a=_3双曲线2x2y2=1的渐近线方程是_4点（2，t）在直线2x3y+6=0的上方，则t的取值范围是_5点a（4，5）关于直线l的对称点为b（2，7），则l的方程为_6若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为_7设x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为_8两圆x2+y2=9与x2+y2+8x6y+25r2=0（r0）相交，则r的取值范围是_9已知圆c1：（x+2）2+y2=1，圆c2：x2+y24x77=0，动圆p与圆c1外切，与圆c2内切，则动圆圆心的轨迹方程是_10直线ax+by+c=0与o：x2+y2=4相交于m，n两点，若c2=a2+b2，则（o为坐标原点）等于_11设实数x、y满足，则z=|x+y+4|的取值范围为_12已知动点a、b分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动，若abx，点n的坐标为（1，0），则三角形abn的周长l的取值范围是_13若圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围为_14如图，已知过椭圆（ab0）的左顶点a（a，0）作直线1交y轴于点p，交椭圆于点q，若aop是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为_二、解答题（本大题共有6个小题，共90分）15（14分）已知y=2x是abc中c的内角平分线所在直线的方程，若a（4，2），b（3，1）（1）求点a关于y=2x的对称点p的坐标；（2）求直线bc的方程；（3）判断abc的形状16（14分）如图，矩形abcd的两条对角线相交于点m（2，0），ab边所在直线的方程为x3y6=0，点t（1，1）在ad边所在直线上（1）ad边所在直线的方程；（2）矩形abcd外接圆的方程17（14分）如图，已知椭圆c：+=1（ab0）的右焦点为f（c，0），下顶点为a（0，b），直线af与椭圆的右准线交于点b，若f恰好为线段ab的中点（1）求椭圆c的离心率；（2）若直线ab与圆x2+y2=2相切，求椭圆c的方程18（16分）已知圆m：x2+（y2）2=1，设点b，c是直线l：x2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，t+4（tr），点p在线段bc上，过p点作圆m的切线pa，切点为a（1）若t=0，求直线pa的方程；（2）经过a，p，m三点的圆的圆心是d，求线段do长的最小值l（t）19（16分）已知以点a（1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切过点b（2，0）的动直线l与圆a相交于m、n两点，q是mn的中点，直线l与l1相交于点p（i）求圆a的方程；（）当时，求直线l的方程；（）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由20（16分）如图，a，b是椭圆的左右顶点，m是椭圆上异于a，b的任意一点，若椭圆c的离心率为，且右准线l的方程为x=4（1）求椭圆c的方程；（2）设直线am交l于点p，以mp为直径的圆交直线mb于点q，试证明：直线pq与x轴的交点r为定点，并求出r点的坐标2015-2016学年江苏省南通市天星湖中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1在直角坐标系中，直线y+1=0的倾斜角的大小是0弧度【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【专题】作图题【分析】因为对于平行于x轴的直线，规定其倾斜角为0弧度，所以直接可得结果【解答】解：直线y+1=0可化为y=1，图象是平行于x轴的直线，倾斜角为0弧度故答案为0【点评】本题主要考查倾斜角的概念，属于基础题2若直线x+ay2a2=0与直线ax+ya1=0平行，则实数a=1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】直线与圆【分析】根据直线平行的条件，建立方程即可【解答】解：若a=0，则两个直线方程为x=2和y=1此时两直线不平行若a0，若两直线平行，则，解得a=1或a=1，当a=1时，两直线方程为x+y4=0和x+y2=0，满足两直线平行当a=1时，两直线方程为xy=0和x+y=0，不满足两直线平行a=1故答案为：a=1【点评】本题主要考查直线的方程以及直线平行的等价条件，注意对a要进行讨论3双曲线2x2y2=1的渐近线方程是【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】将双曲线化成标准方程，得到a、b的值，再由双曲线的渐近线方程是y=x，即可得到所求渐近线方程【解答】解：双曲线2x2y2=1的标准方程为：，b2=1，可得a=，b=1又双曲线的渐近线方程是y=x双曲线2x2y2=1的渐近线方程是y=x故答案为：y=x【点评】本题给出双曲线方程，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题4点（2，t）在直线2x3y+6=0的上方，则t的取值范围是t【考点】两条直线的交点坐标【专题】计算题【分析】点在直线上方，点的坐标代入方程，有43t+60，求出t的取值范围【解答】解：点（2，t）在直线2x3y+6=0的上方，则43t+60 则t的取值范围是：t故答案为：t【点评】本题考查点与直线的位置关系，是基础题5点a（4，5）关于直线l的对称点为b（2，7），则l的方程为3xy+3=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【专题】计算题【分析】先求出a、b的中点，再求ab的斜率，求出中垂线的斜率，然后用点斜式求出直线方程【解答】解：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线a、b的中点坐标（1，6），ab的斜率为：中垂线的斜率为：3则l的方程为：y6=3（x1）即：3xy+3=0故答案为：3xy+3=0【点评】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查计算能力，是基础题6若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为4【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，可得c=，可得右焦点f（c，0）由抛物线y2=2px可得焦点利用=c即可得出【解答】解：由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，c=2，右焦点f（2，0）由抛物线y2=2px可得焦点=2，解得p=4故答案为：4【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7设x，y满足约束条件，则z=2xy的最大值为8【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）由z=2xy得y=2xz，平移直线y=2xz，由图象可知当直线y=2xz经过点a时，直线y=2xz的截距最小，此时z最大由，解得，即a（5，2）将a的坐标代入目标函数z=2xy，得z=252=8即z=2xy的最大值为8故答案为：8【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法8两圆x2+y2=9与x2+y2+8x6y+25r2=0（r0）相交，则r的取值范围是2r8【考点】圆与圆的位置关系及其判定【专题】计算题【分析】求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系，【解答】解：圆x2+y2=9的圆心（0，0），半径为3，圆x2+y2+8x6y+25r2=0（r0）的圆心（4，3），半径为：r，因为圆x2+y2=9与x2+y2+8x6y+25r2=0（r0）相交，所以，解得2r8故答案为：2r8【点评】本题考查两个圆的位置关系，通过圆心距在半径差与半径和之间求解，也可以联立方程组，利用判别式解答9已知圆c1：（x+2）2+y2=1，圆c2：x2+y24x77=0，动圆p与圆c1外切，与圆c2内切，则动圆圆心的轨迹方程是【考点】轨迹方程【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由两圆的方程分别找出圆心c1与c2的坐标，及两圆的半径r1与r2，设圆p的半径为r，根据圆p与c1外切，得到圆心距pc1等于两半径相加，即pc1=r+1，又圆p与c2内切，得到圆心距pc2等于两半径相减，即pc2=9r，由pc1+pc2等于常数2a，c1c2等于常数2c，利用椭圆的基本性质求出b的值，可得出圆心p在焦点在x轴上，且长半轴为a，短半轴为b的椭圆上，根据a与b的值写出此椭圆方程即可【解答】解：由圆c1：（x+2）2+y2=1，圆c2：（x2）2+y2=81，得到c1（2，0），半径r1=1，c2（2，0），半径r2=9，设圆p的半径为r，圆p与c1外切而又与c2内切，pc1=r+1，pc2=9r，pc1+pc2=（r+1）+（9r）=2a=10，又c1c2=2c=4，a=5，c=2，b=，圆心p在焦点在x轴上，且长半轴为10，短半轴为2的椭圆上，则圆心p的轨迹方程为：故答案为：【点评】此题考查了圆与圆的位置关系，椭圆的基本性质，以及动点的轨迹方程，两圆的位置关系由圆心角d与两圆半径r，r的关系来判断，当drr时，两圆内含；当d=rr时，两圆内切；当rrdr+r时，两圆相交；当d=r+r时，两圆外切；当dr+r时，两圆外离10直线ax+by+c=0与o：x2+y2=4相交于m，n两点，若c2=a2+b2，则（o为坐标原点）等于2【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系【分析】设m（x1，y1），n（x2，y2）当b0时，直线方程与圆的方程联立并利用a2+b2=c2可得根与系数的关系，利用=x1x2+y1y2即可得出当b=0时，a0，c=a，直线化为y=x，联立，解得即可【解答】解：设m（x1，y1），n（x2，y2）当b0时，联立，a2+b2=c2化为c2x2+2acx+c24b2=0，y1y2=x1x2+y1y2=2当b=0时，a0，c=a，直线化为y=x，联立，解得x=y=或此时=2综上可知：故答案为2【点评】本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题11设实数x、y满足，则z=|x+y+4|的取值范围为【考点】简单线性规划【专题】转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】根据题意，画出可行域，求出最优解，计算z=|x+y+4|的最小值与最大值即可【解答】解：根据题意，实数x、y满足，画出可行域，如图所示；求出最优解，则当x=1，y=1时，z=|x+y+4|取得最小值zmin=1+1+4=6，当x=5，y=2时，z=|x+y+4|取得最大值zmax=5+2+4=11；z的取值范围是故答案为：【点评】本题考查了线性规划的应用问题，解题时应根据线性约束条件画出可行域，求出最优解，从而求出目标函数的取值范围，是基础题目12已知动点a、b分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动，若abx，点n的坐标为（1，0），则三角形abn的周长l的取值范围是（）【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出a，b点的横坐标范围，再利用焦半径公式转换为以b点的横坐标为参数的式子，再根据前面求出的b点横坐标方位计算即可【解答】解：由得，抛物线y2=4x与椭圆在第一象限的交点横坐标为，设a（x1，y1），b（x2，y2），则0x1，x22，由可得，三角形abn的周长l=|an|+|ab|+|bn|=x1+x2x1+aex2=+a+x2=3+x2，x22，3+x24故答案为（）【点评】本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知13若圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围为【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】求出圆心与半径，则圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2等价为圆心到直线l：ax+by=0的距离d，从而求直线l的斜率的取值范围【解答】解：圆x2+y24x4y10=0可化为（x2）2+（y2）2=18，则圆心为（2，2），半径为3；则由圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则圆心到直线l：ax+by=0的距离d32=；即，则a2+b2+4ab0，若b=0，则a=0，故不成立，故b0，则上式可化为1+（）2+40，由直线l的斜率k=，则上式可化为k24k+10，解得2k2+，故答案为：【点评】本题考查了直线与圆上点的距离的应用以及直线斜率的求解，将圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2转化为圆心到直线l：ax+by=0的距离d是本题解答的关键，属于中档题14如图，已知过椭圆（ab0）的左顶点a（a，0）作直线1交y轴于点p，交椭圆于点q，若aop是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点q的坐标，再代入椭圆方程即可【解答】解：aop是等腰三角形，a（a，0）p（0，a）设q（x0，y0），（x0，y0a）=2（ax0，y0），解得代入椭圆方程得，化为=故答案为【点评】熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法”等是解题的关键二、解答题（本大题共有6个小题，共90分）15（14分）已知y=2x是abc中c的内角平分线所在直线的方程，若a（4，2），b（3，1）（1）求点a关于y=2x的对称点p的坐标；（2）求直线bc的方程；（3）判断abc的形状【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；三角形的形状判断；直线的一般式方程【专题】计算题；解三角形；直线与圆【分析】（1）设p（m，n）根据轴对称的性质建立关于m、n的方程组，解之得m=4且n=2，即可得到所求点p的坐标；（2）根据角的两边关于角平分线所在直线对称，得到p（4，2）在bc上，用点斜式写出直线pb的方程，即得直线bc的方程；（3）则bc方程与ac方程联解得出c（2，4），从而得到ab、bc、ac的长度，算出|ab|2=|bc|2+|ac|2，从而得到abc为以c为直角的直角三角形【解答】解：（1）设a关于y=2x的对称点为p（m，n）解之得，即点p的坐标为（4，2）（2）p（4，2）在bc上，bc的方程为y1=3（x3），即3x+y10=0（3）由，解得c的坐标为（2，4）由，得|ab|2=|bc|2+|ac|2，abc为以c为直角的直角三角形【点评】本题给出abc的顶点a、b的坐标，在给出角a平分线的基础之上求bc的方程，并判断三角形的形状，着重考查了两点的距离公式、直线与直线的位置关系和三角形形状的判断等知识，属于中档题16（14分）如图，矩形abcd的两条对角线相交于点m（2，0），ab边所在直线的方程为x3y6=0，点t（1，1）在ad边所在直线上（1）ad边所在直线的方程；（2）矩形abcd外接圆的方程【考点】直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标；圆的标准方程【专题】计算题【分析】（1）由已知中ab边所在直线的方程为x3y6=0，且ad与ab垂直，我们可以求出直线ad的斜率，结合点t（1，1）在直线ad上，可得到ad边所在直线的点斜式方程，进而再化为一般式方程（2）根据矩形的性质可得矩形abcd外接圆圆心即为两条对角线交点m（2，0），根据（i）中直线ab，ad的直线方程求出a点坐标，进而根据am长即为圆的半径，得到矩形abcd外接圆的方程【解答】解：（1）ab边所在直线的方程为x3y6=0，且ad与ab垂直，直线ad的斜率为3又因为点t（1，1）在直线ad上，ad边所在直线的方程为y1=3（x+1），3x+y+2=0（2）由，解得点a的坐标为（0，2），矩形abcd两条对角线的交点为m（2，0）m为矩形abcd外接圆的圆心，又|am|2=（20）2+（0+2）2=8，从而矩形abcd外接圆的方程为 （x2）2+y2=8【点评】本题考查的知识点是直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）的关键是根据已知中ab边所在直线的方程及ad与ab垂直，求出直线ad的斜率，（2）的关键是求出a点坐标，进而求出圆的半径am长17（14分）如图，已知椭圆c：+=1（ab0）的右焦点为f（c，0），下顶点为a（0，b），直线af与椭圆的右准线交于点b，若f恰好为线段ab的中点（1）求椭圆c的离心率；（2）若直线ab与圆x2+y2=2相切，求椭圆c的方程【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由b在右准线x=上，且f（c，0）恰好为线段ab的中点可求得2c=，从而可求得其斜率；（2）由（1）可知a=c，b=c，从而可设ab的方程为y=xc，利用圆心o（0，0）点到直线y=xc间的距离等于半径2即可求得c，从而使问题得到解决【解答】解 （1）因为b在右准线x=上，且f（c，0）恰好为线段ab的中点，所以2c=，即=，所以椭圆的离心率e= （2）由（1）知a=c，b=c，所以直线ab的方程为y=xc，即xyc=0，因为直线ab与圆x2+y2=2相切，所以=，解得c=2所以a=2，b=2所以椭圆c的方程为+=1 【点评】本题考查椭圆的简单性质与椭圆的标准方程，考查化归思想与方程思想，求得椭圆的离心率是关键，属于中档题18（16分）已知圆m：x2+（y2）2=1，设点b，c是直线l：x2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，t+4（tr），点p在线段bc上，过p点作圆m的切线pa，切点为a（1）若t=0，求直线pa的方程；（2）经过a，p，m三点的圆的圆心是d，求线段do长的最小值l（t）【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；压轴题【分析】（1）由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，因为p在直线l上，所以设p的坐标为（a，2a），然后由m和p的坐标，利用两点间的距离公式表示出mp的长，根据列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到p的坐标，设过p点切线方程的斜率为k，根据p的坐标和斜率k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离公式等于半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心m到切线方程的距离d，让d等于圆的半径r，即可得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线pa的方程即可；（2）根据圆的切线垂直于过切点的半径得到ap垂直am，所以三角形apm为直角三角形，所以外接圆圆心d为斜边pm的中点，根据m和设出的p的坐标利用中点坐标公式表示出d的坐标，然后利用两点间的距离公式表示出od的长，得到关于a的函数为开口向上的抛物线，分三种情况：大于抛物线顶点的横坐标，小于抛物线顶点的横坐标小于+2，和+2小于顶点的横坐标，利用二次函数的图象即可求出函数的最小值线段do长的最小值l（t）为一个分段函数，写出此分段函数的解析式即可【解答】解：（1）由圆m：x2+（y2）2=1，得到圆心m（0，2），半径r=1，设p（2a，a）（0a2），解得a=1或（舍去）p（2，1）由题意知切线pa的斜率存在，设斜率为k所以直线pa的方程为y1=k（x2），即kxy2k+1=0直线pa与圆m相切，解得k=0或直线pa的方程是y=1或4x+3y11=0；（2）设pa与圆m相切于点a，pama经过a，p，m三点的圆的圆心d是线段mp的中点m（0，2），d的坐标是设do2=f（a）当，即时，；当，即时，；当，即时，则【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切是所满足的条件，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，灵活运用二次函数求最值的方法解决实际问题，是一道比较难的题19（16分）已知以点a（1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切过点b（2，0）的动直线l与圆a相交于m、n两点，q是mn的中点，直线l与l1相交于点p（i）求圆a的方程；（）当时，求直线l的方程；（）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程；圆的标准方程【专题】计算题；证明题【分析】（）设出圆a的半径，根据以点a（1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l过点b（