江苏省南通市如皋中学高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1已知集合m=1，0，1，n=1，2，则mn=2命题“若实数a满足a3，则a29”的否命题是命题（填“真”、“假”之一）3函数f（x）=xlnx的减区间是 4若函数f（x）=是奇函数，则f（x）的解集为5曲线上以（1，2）为切点的切线方程是6已知函数f（x）满足f（1）=2，f（x+1）=，则f（1）f（2）f（3）f（2011）=7已知函数f（x）=axx+22a（0a1）的零点x0（k1，k）（kz），则k=8对于函数f（x），若存在区间m=（ab），使得y|y=f（x），xm=m，则称区间m为函数f（x）的一个“稳定区间”给出下列3个函数：f（x）=ex；f（x）=lnx+1；f（x）=x3，其中不存在“稳定区间”的函数有（填上正确的序号）9已知函数f（x）=|2x3|，若02ab+1，且f（2a）=f（b+3），则m=3a2+2b+1的取值范围为10已知函数f（x）=|x2|，g（x）=|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上，则实数m的取值范围是二、解答题：本大题共8小题，共110分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤11请用逆矩阵的方法求二元一次方程组的解12已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆c的极坐标方程：（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆c的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线l和圆c的位置关系13若mr，命题p：设x1，x2是方程x2ax3=0的两个实根，不等式|m+1|x1x2|对任意实数a恒成立，命题q：函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（，+）上有极值，求使p且q为真命题，求实数m的取值范围14袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）现从袋中任取一球表示所取球的标号（）求的分布列，期望和方差；（）若=a+b，e=1，d=11，试求a，b的值15已知函数f（x）=+lnx（1）若函数f（x）在（2，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求f（x）在上的最值16如皋市某电子厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器，正品率p与日产量x（件）之间大体满足关系：（注：正品率，如p=0.9表示每生产10件产品，约有9件为合格品，其余为次品）已知每生产一件合格的仪器可以盈利a元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量，（1）试将生产这种仪器每天的盈利额t（元）表示为日产量x（件）的函数；（2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？17设函数，（1）当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；若，且a1=12，求；（2）利用二项式定理求的值（n1，nn*）18设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3x，（xr）的一个极值点（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（2）设，若存在1，2，使得成立，求a的取值范围2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1已知集合m=1，0，1，n=1，2，则mn=1，2，0，1考点：并集及其运算专题：集合分析：由m与n，求出两集合的并集即可解答：解：m=1，0，1，n=1，2，mn=1，2，0，1，故答案为：1，2，0，1点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2命题“若实数a满足a3，则a29”的否命题是真命题（填“真”、“假”之一）考点：四种命题专题：简易逻辑分析：写出该命题的否命题并判断真假解答：解：命题“若实数a满足a3，则a29”的否命题是“若实数a满足a3，则a29”，它是真命题，因为a3时，a29，a29成立故答案为：真点评：本题考查了四种命题之间的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题目3函数f（x）=xlnx的减区间是考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：先求定义域，再令导数0解不等式，取交集可得解答：解：由题意函数的定义域为（0，+），求导数可得f（x）=xlnx+x（lnx）=1+lnx，令f（x）=1+lnx0，解之可得x故函数的减区间为：故答案为：点评：本题考查导数法研究函数的单调性，注意定义域是解决问题的关键，属中档题4若函数f（x）=是奇函数，则f（x）的解集为（ab），使得y|y=f（x），xm=m，则称区间m为函数f（x）的一个“稳定区间”给出下列3个函数：f（x）=ex；f（x）=lnx+1；f（x）=x3，其中不存在“稳定区间”的函数有（填上正确的序号）考点：函数的值专题：函数的性质及应用分析：根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间m即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明由此对三个函数逐一进行判断，即可得到答案解答：解：对于函数f（x）=ex ，若存在“稳定区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有ea=a，eb=b，即方程ex=x有两个解，即y=ex和y=x的图象有两个交点，这与即y=ex和y=x的图象没有公共点相矛盾，故不存在“稳定区间”对于 f（x）=lnx+1，若存在“稳定区间”，由于函数是定义域内的增函数，故有lna+1=a，且lnb+1=b，即方程lnx+1=x有两个解，即y=lnx+1和y=x的图象有两个交点，这与y=lnx+1和y=x的图象有且只有一个公共点相矛盾，故不存在“稳定区间”对于f（x）=x3 存在“稳定区间”，如 x时，f（x）=x3 故存在“稳定区间”存在稳定区间区间的函数有 故答案为：点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于中档题9已知函数f（x）=|2x3|，若02ab+1，且f（2a）=f（b+3），则m=3a2+2b+1的取值范围为m1考点：函数的值专题：函数的性质及应用分析：由题意可得|4a3|=|2b+3|，故4a3和2b+3互为相反数，解得b=2a，代入要求的式子可得 m=3a2+2b+1=3a24a+1（0a），结合二次函数的图象和性质，可得m=3a2+2b+1的取值范围解答：解：f（x）=|2x3|，f（2a）=f（b+3），也就是|4a3|=|2b+3|因为 02ab+1，所以4a2b+2，4a32b+3，所以必须有4a3和2b+3互为相反数4a3+2b+3=0，故 b=2a再由02ab+1可得 02a2a+1，即 0am=3a2+2b+1=3a24a+1的图象是开口朝上，且以直线a=为对称轴的抛物线，此函数在（0，上是减函数，所以m（）tt（0），即m1，故答案为：m1点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用二次函数的单调性求它在某区间上的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题10已知函数f（x）=|x2|，g（x）=|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上，则实数m的取值范围是（，5）考点：函数恒成立问题专题：函数的性质及应用分析：函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x2|+|x+3|m恒成立，利用不等式的性质求出|x2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围解答：解：f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x2|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x2|+|x+3|m恒成立，又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x2|+|x+3|（x2）（x+3）|=5，于是得m5，m的取值范围是（，5）故答案为：（，5）点评：本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，是中档题二、解答题：本大题共8小题，共110分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤11请用逆矩阵的方法求二元一次方程组的解考点：逆矩阵的意义专题：计算题；矩阵和变换分析：记a=，写出其逆矩阵，再由=，即可解得原方程组的解解答：解：记a=，则a1=两边左乘a1可得：x=a1b=，所以，原方程组的解为点评：本小题主要考查逆变换与逆矩阵的计算、系数矩阵的逆矩阵解方程组等基础知识，考查运算求解能力与转化思想属于基础题12已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆c的极坐标方程：（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆c的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线l和圆c的位置关系考点：简单曲线的极坐标方程专题：坐标系和参数方程分析：（1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程，把圆c的极坐标方程化为普通方程即可；（2）根据圆心c到直线l的距离d与半径r的关系，判断直线和圆的位置关系解答：解：（1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程是2xy=3，即2xy+3=0；圆c的极坐标方程为，化简得，=2sincos+2cossin，即2=2sin+2cos，化为普通方程是x2+y2=2y+2x，（x1）2+（y1）2=2；（2）圆心c（1，1）到直线l的距离为d=，dr，直线l和圆c相离点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了直线与圆的位置关系的应用问题，是基础题目13若mr，命题p：设x1，x2是方程x2ax3=0的两个实根，不等式|m+1|x1x2|对任意实数a恒成立，命题q：函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（，+）上有极值，求使p且q为真命题，求实数m的取值范围考点：复合命题的真假专题：简易逻辑分析：对于p，先求出|x1x2|，再根据不等式|m+1|x1x2|对任意实数a恒成立，得到|m+1|4，解得m的范围，对于q，函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（，+）上有极值，则f（x）=3x2+2mx+（m+）=0有实根，根据判别式求出a的范围，由于p且q为真命题，得到p真，q假，问题得解解答：解：若命题p为真命题，x1，x2是方程x2ax3=0的两个实根x1+x2=a，x1x2=3，|x1x2|=，a，|x1x2|，|m+1|x1x2|对任意实数a恒成立，则只要|m+1|x1x2|max在a成立即可|m+1|4m+14或m+14，m3，或m5，若命题q为真命题，f（x）=x3+mx2+（m+）x+3，f（x）=3x2+2mx+（m+），函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（，+）上有极值，f（x）=3x2+2mx+（m+）=0有实根，=4m212m400，解得m2，或m5，p且q为真命题，p真，q假，解得3m5，实数m的取值范围为时，f（x）0，故f（x）在x时，f（x）0，故f（x）在x（1，上单调递增，f（x）在区间上有唯一极小值点，故f（x）min=f（x）极小值=f（1）=0又f（）=1ln2，f（）=+ln，f（）f（）=1ln2+ln=ln3，e，427f（）f（）0，即f（）f（）f（x）在区间上的最大值f（x）max=f（）=1ln2综上可知，函数f（x）在上的最大值是1ln2，最小值是0点评：此题是个中档题本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题，体现了转化的数学思想，很好的考查了学生的计算能力16如皋市某电子厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器，正品率p与日产量x（件）之间大体满足关系：（注：正品率，如p=0.9表示每生产10件产品，约有9件为合格品，其余为次品）已知每生产一件合格的仪器可以盈利a元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出合适的日产量，（1）试将生产这种仪器每天的盈利额t（元）表示为日产量x（件）的函数；（2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？考点：函数模型的选择与应用专题：函数的性质及应用分析：（1）通过每天的赢利t=日产量（x）正品率（p）盈利（a）日产量（x）次品率（1p）亏损（），列出表达式、整理即可；（2）通过（1）可知只需考查f（x）=a（x）的单调性即可，进而计算可得结论解答：解：（1）依题意，t=xpax（1p）=xpaxa=；（2）由（1）可知，只需考查1xc时的情况即可记f（x）=a（x），则f（x）=a，令f（x）=0，解得：x=84，且当x84时f（x）0、当x84时f（x）0，当c84时，日产量为c时利润最大；当84c96时，日产量为84时利润最大点评：本题考查了利润函数模型的应用，并且利用导数方法求得函数的最值问题，也考查了分段函数的问题，注意解题方法的积累，属于中档题17设函数，（1）当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；若，且a1=12，求；（2）利用二项式定理求的值（n1，nn*）考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质专题：综合题；二项式定理分析：（1）m=2时，f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项为第三项，求出即可；由二项式的展开式的通项公式，结合题意求出m的值，再计算的值；（2）根据题意，构造函数f（x）=（1x）n，利用二项式定理展开并求导数，两边再同乘x，求导数，利用特殊值x=1，即可求得结果解答：解：（1）当m=2时，f（4，y）= 的展开式中共有5项，二项式系数最大的项为第三项，t3=12=；f（6，y）= 的通项公式为tr+1=（1）r=（1）r26rm2r6，且f（6，y）=a0+，的系数为a1=632m4=12，解得m=2；f（6，y）= 的通项公式为tr+1=（1）r26r22r6，ar=（1）r26r22r6 =2r，=2+22+23+26=271=127；（2）=+2232+42+（1）nn2设f（x）=（1x）n=cn0cn1x+cn2x2cn3x3+（1）ncnnxn，式两边求导得：n（1x）n1=cn1+2cn2x3cn3x2+（n1）（1）n1cnn1xn2+n（1）ncnnxn1，的两边同乘x得：nx（1x）n1=xcn1+2cn2x23cn3x3+（n1）（1）n1cnn1xn1+n（1）ncnnxn，式两边求导得：n（1x）n1n（n1）x（1x）n2=cn1+22cn2x32cn3x2+（n1）2（1）n1cnn1xn2+n2（1）ncnnxn1，中令x=1，得+2232+42+（1）nn2=0点评：本题考查了二项式定理的展开式应用问题，也考查了函数的导数应用问题，考查了赋值法求值问题，是综合性题目18设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3x，（xr）的一个极值点（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（2）设，若存在1，2，使得成立，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：（1）由已知中函数f（x）=（x2+ax+b）e3x（xr）的一个极值点是x=3我们根据函数在某点取得极值的条件，易得f（3）=0，进而构造方程求出a与b的关系式，分析函