概率统计教学与数学建模思想的融入.pdf

第 2 6 卷第 2 期 2 0 0 8年 4月 沈阳师范大学学报 自然科学版 J o u r n a l o fS h e n y a n g No r ma l Un i v e r s i t y Na t u r a l S c i e n c e Vo1 2 6 No 2 Ap r 2 0 0 8 文章编号 1 6 7 3 5 8 6 2 2 0 0 8 0 2 0 2 4 5 0 3 概 率统计教 学与数 学建模 思想 的融入 李晓毅 徐兆棣 沈阳师范大学 数学与系统科学学院 辽宁 沈阳 1 1 0 0 3 4 摘 要 探讨在概率统计教学中数学建模思想的形成和建立的途径 对概率统计课程的教学 从教学内容 教学实例 教学手段 教学模式等方面进行分析 阐明在概率统计教学中融人数学建 模思想 是提高学生学好概率统计课程的有效途径 关键词 概率统计 数学建模 能力 试验 中图分类号 O 2 1 文献标识码 A 概率统计 是一门理论性和应用性很强 的学科 它几乎在工程和科学 的每一个分支都有着重要 的 应用 随着科学技术和知识更新速度 的不断加快 传统的教学思路必须进行改革 以适应新的形势 在高 科技发展的今天 如何加强学生对概率统计思想的领悟 如何增强学生运用概率统计思想解决实际问 题的能力 在概率统计教学 中融人数学建模 的思想是值得我们认真思考的问题 也是解决学与用之 间 关系 的一个非常有意义 的尝试 教学内容实例 的侧重 大学数学教育的一个重要的 目标就是培养学生应用数学的能力 即建模 解模 的能力 而传统 的概 率统计教学较多地注重数学公式 的推导 计算能力的训练 忽略了知识的实际应用 以至于许多学生 的 实际应用能力得不到发展 如何在教学中提高学生应用概率与统计 的实际能力 呢 那就要在教学 内容 中吸收和融人与实际问题有关的应用性题 目 比如我们在讲授概率的加法公式时 为了加深学生对知识 的理解 我们可以用一个 三个臭皮匠问题 为实例 讲 授加法公式的应用实例 同时引起学生学习的兴 趣 三个臭皮匠合成一个诸葛亮 这是对人多办法多 人多智慧高的一种赞誉 其实这个问题是可以从 概率的计算得到证实的 首先建立数学模型 三个臭皮匠能否合成一个诸葛亮 是要找到他们解决问题 的能力是否相当 因此归结为他们解决问题的概率谁大谁小的问题 不妨用A 表示 第 i 个臭皮匠独立 解决某 问题 i 1 2 3 用 C表 示 诸葛亮解决 某问题 并设 每个臭皮 匠解决 问题 的概率分别 为 P A1 0 4 5 P A2 0 5 5 P A3 0 6 0 诸葛亮解决 问题 的概率为 P C 0 9 0 则某事件 B 问题被解决 对诸葛亮方面表示为 P B P C 0 9 0 对三个臭皮匠方面可表示为 B A1 A2 A 依概率的加法公式 P B P Al A2 A3 P A1 P A2 P A3 一P A1 A2 一P A2 A3 一P A1 A3 P A1 A2 A3 三个事件的加法公式从正面计算 比较复杂 利用对立事件的计算公式 P A 1 一P A 会简化计 算 P B P A1 A2 A3 1一P A1 A2 A3 1一P A1 A2 A3 1一P A1 P A2 P 3 1一 1一P A1 1一P A2 1一P A3 1一 1 0 4 5 1 0 5 5 1 0 6 0 1 0 5 5 0 4 5 0 4 0 0 9 0 1 其中 为事件A 的对立事件 且 A一1 A一2 A 一 3 由此得出三个并不聪 明的臭皮匠解决问题 的概率居然在 9 0 以上 聪 明的诸葛亮也不过如此 收稿 日期 2 0 0 7 1 0 1 6 作者简介 李晓毅 1 9 5 6 一 女 辽宁葫芦岛人 沈 阳师范大学副教授 维普资讯 沈阳师范大学学报 自然科学版 第 2 6卷 此问题 的解决 不仅让学生尝到了数学建模的乐趣 更是轻松 的学习了概率知识 增加 了学生学 习 概率的积极性和主动性 可谓是一剑双雕 这种把贴近 日常生活的应用型案例用到 自己教学的各环节中 去 不但可 以更新教师 自身素质教育的理念 而且也提高了学生应用数学的能力 2 教 学手段 的更新 2 1 数学实验的开设 数学实验主要是以计算机数学软件的应用为平台 结合数学模型 模 拟实验环境进行的教学模式 随着近代计算机的迅速发展 软件的技术 日益成熟 一些大量的统计计算均可由软件来实现 如 S A S S P S S MA B T E等世界著名软件 我们可以使用这些软件来解决有较大数据量和较强应用性的概率或统 计方面的案例 如数据模拟技术 统计推断 数据拟合等方面的题 目 通过统计实验不但体现应用概率统 计知识进行数学建模的全过程 而且学生通过软件的学 习应用 进一步增 强了他们 的应用意识 反过来 促使学生主动学好概率统计课程的理论知识 这样既丰富了学生的实践活动 又增强了学生的实践动手 能力和解决实际问题的能力 2 2 多媒体手段的介入 利用多媒体现代化的教学手段 进行实验性教学 达到化繁为简 化抽象为具体的目的 比如我们可 以用多媒体来模拟高尔顿实验 会面问题 抽纸牌 掷骰子 掷硬币等问题 使学生对复杂抽象的问题具 体化 从而提高学生的分析问题和解决问题的能力 3 教学模式方法的改进 3 1 探索新的教学模式和方法 实践证明传统的老师讲 学生听这种 满堂灌 注入式 的教学模式和方法已不能适应现代化的教学 要求 很难取得满意的教学效果 采用启发式 结合案例的教学模式和方法 不但可以 由浅入深 由直观 到抽象 使学生真正掌握数学的概念和方法 从中获得学习乐趣 而且还可以充分发挥学生的主体能动 作用 变被动学习为主动学习 如何将实 际问题数学化 又怎样利用概率与统计这个工具解决实际问题 在解决与 日常生活有关的实际问题 中不但加强学生的学习兴趣 而且加深学生对知识的理解和掌握 3 2 建立更为灵活 开放的学习方式 在概率与统计教学内容的处理上 我们不能一味地以教材为模版照本宣科 由于数学建模无 固定 的 模式可循 它需要利用各种技能 技巧进行分析和综合 因而教师在传授知识时 不要以哪一版本的课本 为标准 要积极引导学生 让学生 自主地去了解问题 的背景 查阅相关资料 以此提高学生的 自学能力 从而达到 以教为导 以学为主 自主解决 的教学 目的 再适 当地补充前沿 的数学知识把本学科 的新观 念 新思想 新方法补充进来以开阔学生 的视野和思维 在习题 的处理上 不能仅仅局限于课后条件比较充分的问题上 要适当地引进一些条件不充分的实 际问题 要求学生 自己动手收集 分析数据 建立模型 通过学生 自主地 能动地认识 理解 和抽象 问题 增强学生的兴趣和能力 经常开展专题讨论课 鼓励学生敢于提出问题和见解 加强学生问相互交流 相 互学习的能力 比如我们在讲授二项分布 时 为 了加深学生对知识 的理解 我们可 以用一个 盥洗室问 题 为实例 讲授二项分布的实际应用背景 应用模式等 问题提出 宿舍楼的盥洗室在用水高峰时 老是需要排队等待 学生意见很大 学校领导把他作为一 道数学问题 希望学生从理论上 给出一个合理 的解决方案 问题分析 首先 引导学生调查研究收集资料 宿舍楼有 5 0 0名学生 盥洗室有 5 0个水龙头 用水高 峰约 2 h 1 2 0 mi n 每个学生用水时间平均 1 2 m i n 等待时间不长 最多 1 2 m i n 但经常等待实在恼人 同学们的要求合情合理 希望 1 0 0次用水中 需要 等待 的次数不超过 5 1 0次 首先深入分析 提出假 设 简化 合理 固定 1 楼上 下 的学生可以到楼下 上 用水 不必再按楼层调查人数 5 0 0个 同学随 机地用这 5 0个龙头 2 同学们的要求是概率值 因此归结为概率问题 从条件 中找概率 一个学生在盥 1 1 洗室 用水 的概率为 0 1 3 增加水龙头是最简单最实际的解决办法 安装多少个水龙头才能既 能缓解学生的用水紧张 又不造成浪费 维普资讯 第 2期 李晓毅等 概率统计教学与数学建模思想的融人 2 4 7 问题解决 出现在盥洗室的学生超过 5 0人就要等待 学生数是变化 的 而且是随机的 最好 的办法 是用随机变量来描述 第一步 数学化 设 X是某时刻用水的学生数 那么 x 服从什么分布 利用所 学的知识 独立的 5 0 0人 单个用水的概率是 0 1 现在是 x 人用水 类 似于独立实验序列 因此用二项 分布比较适合 故设 x服从二项分布 5 0 0 P 0 1 概率公式为 P x K 1 一P 一 K 第 二步计算概率 我们关心不需要等待 即X 5 0 的 概率P X 5 0 1 一P K 这是一个 初步的模型 是一个二项分布问题 可 以按二项分布来计算 近似计算 由于 很大 5 0 0 直接用二项分布计算太复杂 因此 利用二项分布的两种简化近 似 公式 泊 松分 布和 正态 分布 来 计算 先 考虑泊 松 分布的 情 形 由于I i m c p 1 一 P 一K 鲁 其 中 n p K 0 1 2 所以 用 1 一 P 鲁是一 种简化二 项分布的 有效方法 计 算得 n p 5 0太 大 利用 泊 松 分 布来 近 似 计算 并 不 理 想 因而 考虑 用 正 态 分 布来 近 似 会 更方 便 由于 X E X N 0 1 计算 E x p 5 0 D x 1 p 4 5 所 以用 x N E X D x 来近 P X 5 0 P 0 0 5 P X 5 0 P 所 要 的结果为 P x 5 0 0 5 说 明学生等待 的概率为 0 5 相 当于每两次用水就有一次等待 难怪学生有 意见 以数据说明 很有说服力 如果将水龙头增加到z个 则等待概率是P X z 1 一 学 生 们 希 望 这 个 概 率 是0 0 5 0 1 即1 一 f 曼 1 0 0 5 查 正 态 分 布 表 得 到 旦 1 6 4 5 z 4 5 4 S 6 1 2 8 或 由 1 一 x 5 0 0 1 0 查 正 k 一 川 一 伏 何 elel 到 1 2 8 x 5 8 6 说 明 水 龙 头 的 个 数 在 5 9 6 2 个 时学生等待的概率就 比较合理 此问题的解决 让学生学会 了 自己动手收集 分析数据 建立模型 解决实际问题 的乐趣 更是 轻松 的学习了概率知识 增加 了学生学习概率的积极性和主动性 是提高学生应用数学能力的一种有效途 径 总之 在概率与统计教学 中融人数学建模思想 不但搭建起概率与统计知识 与应用 的桥梁 而且使 得概率与统计知识得以加强 应用领域得以拓广 在推进素质教育和培养创新能力上将会发挥重要的作 用 参考文献 1 姜启源 数学模型 M 北京 高等教育出版社 1 9 9 3 2 郑长波 生活中的概率问题举例 J 沈阳师范大学学报 自然科学版 2 0 0 7 2 5 4 5 3 1 5 3 3 3 倪中新 陈敏 注重统计思想的现代工科概率统计教学方法 J 大学数学 2 0 0 4 2 0 2 2 1 2 3 4 丁永臻 刘兆君 数学建模观与师专概率统计课程教学改革 J 石油教育 2 0 0 0 2 4 1 4 2 5 王庚 数学建模与数学实验课程的探索 实践与收获 J 高等数学研究 2 0 0 7 1 1 1 0 1 1 0 2 6 朱荣生 陈明 工科数学与工程实践能力的培养 J 工科数学 2 0 0 2 1 8 6 7 1 7 3 Ap pl y i ng t he I d e a o f M a t he ma t i c a l M o d e l i ng t o t h e Co u r s e o f Pr o b a b i l i t y a nd S t a t i s t i c s LIXi a o yi X U Zh a o di C o l l e g e o f Ma t h e ma t i c s a n d S y s t e m S c i e n c e S h e n y a n g No r ma l Un i v e r s i t y S h e n y a n g 1 1 0 0 3 4 C h i n a Ab s t r a c t Th e p a p e r d is c u s s e s a n e w wa y i n wh i c h t h e i d e a o f ma t h e ma t ic a l mo d e l i n g f o r ma t s e s t a b l i s h e s d u r i n g t h e p r o c e s S o f t h e p r o b a b i l i t y a n d s t a t i s t i c s c o u r s e Af t e r a n a l y z i n g t h e t e a c h i n g con t e n t s e x a mp l e s me t h ods r r e s a n d S 0 o n i t d e s c b e s t h a t t o a p p l y t h e i d e a o f ma t h e ma t i c a l mo d e l i n g t O t h e p r o c e s s o f t h e c o u r s e i s r e a l l y a g o o d wa y t o p r o mo t e a