2026年黑龙江省龙东地区中考数学试卷（含答案及解析）

数学试卷第1页(共8页)黑龙江省龙东地区2026年初中学业水平考试数学试题考生注意本考场试卷序号（由监考填写）1.考试时间120分钟2.全卷共三道大题，总分120分3.请将答案填写在答题卡的指定位置.一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1.剪纸艺术是中国古老的民间艺术之一，下面剪纸图案中，是中心对称图形的是（）ABCD2.下列运算正确的是（）A.x5⋅x2＝x10B.m2+m23.如图，一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（）4.在“体重管理年”的活动中，某校对学生的体重进行监测，下面是其中的一组数据（单位:kg）:47,49,56,52,56.这组数据的众数和平均数分别是（）A.52,52 B.56,52 C.56,50 D.52,565.深耕黑土地，守护大粮仓.某水稻生产基地2023年平均每公顷产7000kg水稻，到2025年平均每公顷产8470kg水稻，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，可列方程为（）A.7000（1+2x）＝8470 B.7000C.7000+7000（1+x）+7000（1+x）2＝8470 D.7000×2（1+x）＝8470数学试卷第3页(共8页)6.A.k＞-6B.k＜-6C.k＞-6且k≠-4D.k＜-6且k≠-47.在第25届米兰冬奥会上，我国冰雪健儿取得了骄人的成绩.为了弘扬中华体育精神，某中学开展“冰雪运动进校园”活动.学校计划用300元购买笔记本和钢笔两种奖品，笔记本20元/个，钢笔15元/个.所有资金恰好用完，则购买方案有（）A.3种 B.4种 C.5种 D.6种8.如图，在平面直角坐标系中，双曲线y＝kxk≠0上有A,B两点,AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,H为OB的中点,S△AHO＝A.8 B.-8 C.16 D.-169.如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,∠B＝30°,D为BC上一点,且AC＝AD,E,F分别是CD,AB的中点,连接EF,若AC＝2,则EF的长为（）A.23 B.3 C.1 D.0.10.如图,在菱形ABCD中,DE垂直平分BC,∠EDF＝12∠ADC,DF，DE分别交对角线AC于G,H两点,下列结论:①连接EF,则△DEF为等边三角形;②过点G作GN⊥AD于点N,则GN＝GF;③AG＝GH＝CH＝23EF;④M为边AB上任意一点，连接MD和ME,若S△BMB:S△DBC＝4:5,则有S△DAM:SA.①③④ B.②④⑤ C.①②③④ D.①②③⑤二、填空题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）11.2026年5月19日，哈尔滨市举行万人徒步活动，约有12000人参加.将数据12000用科学记数法表示为.12.在函数y＝x-2中，自变量x的取值范围是13.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA＝OC,请添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.14.“七八个星天外，两三点雨山前”，数词在这句诗词中出现的概率为.（标点不计）15.关于x的不等式组x-a＞11+x≤3只有3个整数解，则a的取值范围是.16.如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,∠P＝80°,则∠C＝.17.王芳用一个圆心角为120°，半径为4的扇形卡纸，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为.18.如图,菱形ABCD的边长为10,对角线BD＝16,P,Q为BD上两个动点,且PQ＝2,则AP+AQ的最小值为.19.在综合与实践课上，老师带领同学们以“直角三角形的折叠”为主题开展探究活动，同学们用一张直角三角形纸片进行折叠.已知Rt△ABC,∠ABC＝90∘,∠C＝30∘，AC＝2，在AC边上找一点D，将纸片沿BD折叠，使点20.如图,B₁是直线l:y＝12x+2与y轴的交点，过点B₁作A1B1⊥l交x轴于点A₁，以A₁B₁为边，向右作正方形A1B1B2C1,,延长B₂C₁交x轴于点A₂;以A₂B₂为边,向右作正方形A₂B₂B₃C₂,延长B₃C₂交x轴于点A₃;以.A3B3为边,向右作正方形A₃B₃B₄C₃,延长B₄C数学试卷第4页(共8页)三、解答题（本大题共8道题，满分60分）21.（本题满分5分）先化简，再求值：22.（本题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1,-2）,B（3,-2）,C（2,-3）.（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1（2）画出.△A1B1C1绕点A₁逆时针旋转90（3）求出（2）中线段A1C1所扫过的图形面积.（23.（本题满分6分）如图，抛物线y＝-x2+bx+c经过A（-1,0）,B（3,0（1）求抛物线的解析式；（2）作射线BD交y轴于点D,使∠CBD＝15∘,数学试卷第5页（共8页）24.（本题满分7分）为了传承东北抗联精神，某中学举行“红色经典”主题阅读活动.该校采用简单随机抽样的方法，对本校学生一周的阅读时间（单位：min）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据相关信息，解答下列问题：（1）m＝，C组对应的频数，并补全直方图；（2）调查所得数据的中位数落在组（填组别）；（3）该校共有1500名学生，根据抽样调查结果，估计该校学生一周阅读时间不少于60min的学生人数.25.（本题满分8分）一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发去C地，途经B地，到达C地后，立即按原路原速返回A地；乙车在甲车出发0.1小时后从A地去B地，到达B地停留2小时，立即按原路原速返回，结果比甲车提前0.3小时到达A地，两车均按各自速度匀速行驶.如图是甲车行驶过程中距离B地的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）A,C两地之间的距离为km,乙车的速度为km/h；（2）求线段EF的函数解析式；（3）请直接写出乙车返回A地前，甲车行驶多少小时，甲乙两车相距10km.数学试卷第6页(共8页)26.（本题满分8分）在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为直线AC上一点，连接BE，过E点作EF⊥BE,交AD边所在的直线于点F.（1）如图①,当点E在OC上时,求证:A（2）如图②，当点E在OA上时；如图③，当点E在CA的延长线上时，请分别写出线段AB，AF，AE之间的数量关系，不需要证明.数学试卷第7页(共8.页)27.（本题满分10分）“节能减排，倡导绿色出行”.某新能源汽车生产厂家推出特惠A，B两种型号的新能源汽车，已知销售2台A型汽车和1台B型汽车总售价为21万元，销售3台A型汽车和2台B型汽车总售价为34万元.已知A型汽车的成本为每台7万元，B型汽车的成本为每台4.5万元.（1）求A型汽车和B型汽车每台售价分别为多少万元?（2）若汽车厂家售出A，B两种型号的汽车共50台，售出A型汽车的数量不超过30台，并且投入的总成本不低于295万元，求有哪几种销售方案?（3）在（2）的条件下，全部售出，哪种销售方案获得的利润最大?最大利润为多少万元?28.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，□AOBC的AO边与x轴重合，点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，OA，OC的长是一元二次方程x2-7x+12＝0（1）求点A和点C坐标；（2）在OB边上有一动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒1.6个单位长度的速度沿折线A-C-B匀速运动.已知P，Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t秒，求△APQ的面积S关于运动时间t的函数解析式；（3）在x轴上有一点R（1，0），在y轴上有一动点M，在第一象限内是否存在一点N，使得以M，N，R，B四点为顶点的四边形是矩形?若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由.数学试卷第8页(共8页)黑龙江省龙东地区2026年初中学业水平考试数学试题答案详解及评分标准一.选择题（每题3分，共30分）1.D2.D3.A4.B 5.B 6.C 7.B8.D9.B 10.C二.填空题（每题3分，共30分）11.1.2×104 12x≥2 13.OB＝OD（14.答案解析1.D【分析】把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可.【详解】解：由中心对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是中心对称图形.2.D【分析】根据同底数幂乘法、合并同类项、完全平方公式、积的乘方的运算法则，逐个判断选项即可【详解】解：对选项A：根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加x5对选项B：根据合并同类项法则，合并同类项时，系数相加，字母与指数不变m2对选项C：根据完全平方公式x＋对选项D：根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式分别乘方，再将结果相乘-2a33.A【分析】根据左视图的定义求解即可.【详解】解：由图可知，该几何体的左视图有两列，且从左向右看，每列小正方形的数量为2，1，故选A.4.B【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，平均数等于所有数据的和除以数据的个数，据此求解即可.【详解】解：∵在这组数据中，56出现了2次，其余数都只出现1次，∴这组数据的众数为56；这组数据的平均数为5.B【分析】本题考查平均增长率问题的列方程，根据增长率的计算规律，计算2023年经过两年增长后2025年的产量，即可列出对应方程.【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，∵2023年平均每公顷产量为7000kg，∴2024年平均每公顷产量为7000（1＋x）kg，∴2025年平均每公顷产量为7000又∵2025年平均每公顷产量为8470kg，∴可列方程为70006.C【分析】先解分式方程得到x关于k的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”列出不等式，求解即可得到k的取值范围.【详解】解：原方程可变形为方程两边同乘（x－2）去分母得，4－k＋2k＝x－2整理得，x＝k＋6Q分式方程的解为正数，且分母不能为0∴x＞0且x－2≠0∴k＋6＞0，k＋6－2≠0解得k＞－6且k≠－4.7.B【分析】根据总资金列出方程，再结合x，y为正整数的条件，找出所有符合要求的购买方案.【详解】解：设购买笔记本x个，钢笔y个，x，y均为正整数，由题意得20x＋15y＝300两边同除以5化简得4x＋3y＝60整理得∵y是正整数，4与3互质，∴x必须是3的倍数，又∵y＞0，∴结合x＞0可得，x的取值为3，6，9，12，共4种不同取值，故有4种购买方案.8.D【分析】设点B的坐标为（x，y），由H为OB中点得OB＝2OH，由BD⊥x轴及AC⊥x轴，可得AC∥BD，可证△OHC∽△OBD，先求相似比，即得面积比，根据反比例函数k的几何意义可知建立方程求解即可.【详解】解:设B（x，y），其中x＜0，y＞0，则xy＝k，QH为OB的中点，∴OB＝2OH，QBD⊥x轴，AC⊥x轴，∴ACPBD，由图可知点H在线段AC上，∴△OHC∽△OBD，相似比为OH∴Q点B在双曲线y＝kx上，BD⊥∴∴Q点A在双曲线y＝kx上，AC⊥∴Q∴∴∴|k|＝16，Q双曲线位于第二象限，∴k＜0，∴k＝－16.9.B【分析】连接AE，先根据含30°角的直角三角形性质求出∠C和BC的长，再由勾股定理可得AB的长，再证明△ACD是等边三角形，利用三线合一得到AE⊥BC，最后在Rt△AEB中利用斜边中线定理求出EF的长.【详解】如图，连接AE，Q在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2，∴由勾股定理得：ABQAC＝AD，∠C＝60°，∴△ACD是等边三角形，QE是CD的中点，∴AE⊥CD，即∠AEB＝90°，在Rt△AEB中，F是AB的中点，∴10.C【分析】根据菱形性质及DE垂直平分BC可判定△DBC和△ABD均为等边三角形，进而求出各角度数；利用等边三角形性质、全等三角形判定与性质、相似三角形性质及面积公式逐一判断各结论即可.【详解】解：如图，连接EF，Q四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝4C＋∠BCD＝180°，∠ADC＋∠BCD＝180°.QDE垂直平分B，∴DB＝CD，＝90°，∴DB＝CDC，即△DBC为等边三角形.∴∠DBABC＝120°，∠ADC＝120°.∴△ABD也是等边三角形，60°.Q∴∠EDF＝60°，QDE⊥BC，△DBC为等边三角形，∴DE平分∠CDE＝∠BDE＝30°，∴∠FD60°－30°＝30°.∴∠A°－30°＝30°，Q∠BAD:CD，∠ADF＝∠CDE＝30°，∴△ADF≌△CDE（ASA），∴DF＝DE.Q∠EDF＝60°，∴△DEF为等边三角形，故①正确；如图，过点G作GN⊥AD于点N，Q∠BAD＝60°，∠ADF＝30°，∴∠AFD＝90°，即GF⊥AB，QAC平分∠DAB，GN⊥AD，GF⊥AB，∴GN＝GF，故②正确;Q△ABD是等边三角形，∴AD＝BD，QDF⊥AB，∴QAB∥CD，∴△AFG∽△CDG.∴∴同理∴∴Q点E、F是BC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴∴AC＝2EF，∴如图，M为边AB上任意一点，连接MD和ME，过点M作MH⊥BC交CB延长线于点H，设菱形边长为a，则DE∴Q∴∴解得Q∠ABC＝120°，∴∠MBH＝60°.∴∴∴∴故④正确；由旋转性质及∠PDQ＝60°，Q∠ADB＝60°，∴∠ADP＝∠BDQ.Q∠ADP＝∠BDQ，DA＝DB，∠DAB＝∠DBQ＝60°，∴△DAP≌△DBQ（ASA）.∴QCQ∴∴∴过点P作PM⊥CB交CB延长线于M.Q∠ABC＝120°，∴∠PBM＝60°.∴∴在故⑤错误.综上所述，正确的是①②③④.11.1.2×1【分析】科学记数法的表现形式为a×10"，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定a和n的值即可得到答案.【详解】解:12000＝1.2×10⁴.12.x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出不等式即可求解自变量x的取值范围.【详解】解:由题意得，x－2≥0，解得x≥2.13.OB＝OD（答案不唯一）【分析】已知对角线AC被点O平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只需补充另一条对角线BD也被点O平分即可.【详解】解:添加条件:OB＝OD，Q在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.故答案为：OB＝OD（答案不唯一）14.【分析】先统计去掉标点后句子的总字数，再统计其中数词的个数，根据概率公式计算即可得到结果.【详解】解：去掉标点后，该句共有12个汉字，其中数词的个数为4，根据概率公式，可得数词出现的概率为：15.－2≤a＜－1【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，根据不等式组只有3个整数解确定不等式组的整数解，进而可确定a的取值范围.【详解】解：x－解不等式①得x＞a＋1，解不等式②得x≤2，∵关于x的不等式组{x－a∴该不等式组的整数解为0，1，2，∴－1≤a＋1＜0，∴－2≤a＜－1.16.50°/50度【分析】连接OA，OB，根据切线的性质定理可知∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四边形内角和为360°求出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理求解即可.【详解】解:连接OA，OB，QPA，PB分别与eO相切于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，QOAPB是四边形，∴内角和为360°，Q∠P＝80°，∴∠AOB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠P＝100°，Q∠C，∠AOB分别是弧AB所对的圆周角和圆心角，∴∠17.【分析】本题考查圆锥的相关计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式列方程求解即可.【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径为r，根据题意得解得18.237【分析】利用菱形的轴对称性可知点A关于BD的对称点为点C，则AP＝CP，将AP＋AQ转化为CP＋AQ；通过平移构造平行四边形，将CP转化为C′Q，从而将问题转化为求.AC′的最小值，最后利用勾股定理求解【详解】解：如图，连接AC交BD于点OQ四边形ABCD是菱形∴在Rt△AOB中，OA∴AC＝2OA＝12Q点A关于BD的对称点是点CAP∴AP＋AQ＝CP＋AQ将点C沿BD方向平移2个单位长度得到点C′，连接C′Q，AC′∴CC′PPQ，CC′＝PQ＝2∴四边形CC′QP是平行四边形∴CP＝C′Q∴AP＋AQ＝C′Q＋AQ当A，Q，C′三点共线时，C′Q＋AQ最小，最小值为线段AC′的长QAC⊥BD，CC′∥BD∴AC⊥CC′∴∠ACC′＝90°在Rt△ACC′中， A∴AP＋AQ的最小值为219.【分析】先根据直角三角形的性质求出原三角形的边长，再根据折叠的性质得到对应边和对应角相等，分三种情况讨论：当A′B⊥AC，当A′D⊥AC，当BD⊥AC当利用直角三角形的边角关系计算A′D的长度.【详解】解:已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝2，所以AB＝1，∠A＝60°.由折叠性质可知:A′D＝AD，AB＝AB＝1，∠BA′D＝∠A＝60°.过当在当A′D⊥AC时:∠A′DA＝90°，由折叠性质得∠ADB＝∠A′DB＝45°，在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠BDE＝45°，所以所以当BD⊥AC时:∠BDA′＝90°，则D，E重合，所以综上，20.tan然后可得B1A1＝B0B1⋅tan∠OB0B1＝5＝A1C1＝B1【详解】解：由直线l:y＝12x＋2可令x＝0时，则有y＝2，令y＝0时∴B₁（0，2），B₀（－4，0），∴∴∴∵四边形A₁B₁B₂C₁是正方形，∴∴∴分别过点C₁，C₂，C₃作x轴的垂线，垂足分别为E，F，H，如图所示:∴∴∴∴∴C₁的纵坐标为1；∵四边形A₂B₂B₃C₂，A₃B₃B₄C₃都是正方形，∴同理可得：∠∵∴∴∴∴…;∴三.解答题（满分60分）21.（本题满分5分）解：原式＝当x＝4cos60°+1＝2+1＝3时 （1分）原式22.（本题满分6分）解:（1）如图所示:△A₁B₁C₁即为所求,……………1分A₁（1,2）⋯………………1分（2）如图所示:△A₁B₂C₂即为所求,⋯1分C₂（0,3） 1分（3）由题意得A∠C1A线段23.（本题满分6分）解:（1）∵抛物线y＝-x2+bx+c经过点A（－1,0）和点B∴-1-b+c＝解得b＝2c＝3····················································∴抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3233-3或3-3······································24.（本题满分7分）解：（1）4525补全直方图如图所示······································································3分（2）B··········································································································1分答：估计该校学生一周阅读时间不少于60min的学生人数为675名：……1分第24题图25.（本题满分8分）解（1）270 100……………………2分（2）甲车的速度为（180+90）÷3＝90（km/h） ∵90÷90＝1（h）,180÷90＝2（h） ∴E（4,0）,F（6,180）……………1分设线段EF的解析式为y＝kx+b（k≠0）把E（4,0）和F（6,180）代入得 4k+b＝06k+b＝180∴y＝90x－360（4≤x≤6）………………2分（3）当甲车行驶.199h或359h或4h时,两车相距10km26.（本题满分8分）解:（1）证明:过点E作EM⊥AE交AB的延长线于点M,则∠AEM∵四边形ABCD是