概率论与数理统计 第七章习题__偶数答案.pdf

注意 这是第一稿 存在一些错误 第七章数理统计习题 偶数 doc 4 解 矩估计 1 012 122 222 2 222121 1 1A 2 3 4 B 故 222 221 3 222121 4 解得 1 4 3 8 为所求矩估计 极大似然估计 3 32 14526837 0 2 11LP XXXXXXXX ln 3ln2ln3ln 1lL 33 0 1 23 0 1 l l 解得 3 8 1 4 即为所求 6 解 1 1 0 1 1 2 EXxx dx 由 1 2 X 得 21 1 X X 为 的矩估计量 1 1 1 01 0 n n n i i i i xx Lfx 其他 1 ln1ln 01 ln 0 n i i nxx lL 其他 令 1 ln0 1 n i i l n x 得 1 1 ln n i i n x 所以 的极大似然估计为 1 1 ln n i i n x 2 1 2 0 EXxf xdxe 令 2 eX 得 2lnX 为 的矩估计量 2 1 ln 2 1 2 1 1 2 n i i x n in n i i i Lfxe x 2 1 1 ln ln ln 2ln 22 n i n i i i x n lLx 令 2 1 2 ln 0 22 n i i x ln 得 2 1 1 ln n i i x n 为 的极大似然估计 3 2 0 2 1 EXxf xdx 令 2 1 X 得 2 X X 为 的矩估计量 1 1 1 2 02 0 n nn n i i i i xx Lfx 其他 1 lnln21ln 02 ln 0 n i i nnxx lL 其他 令 1 ln2ln0 n i i ln nx 得 1 ln2ln n i i n nx 为 的极大似然估计 4 100 100 2 EXxf xdx 令 100 2 X 得 2100X 为 的矩估计量 1 1 100 n i n i Lfx 因0100 得 2 1 2 n i i X n 为 的矩估计量 1 1 1 2 0 n i i X n inn i exLfx 其他 则 1 1 ln2ln ln 0 n i i nnxx lL 其他 令 1 2 0 n i i x ln 得 1 1 n i i x n 为 的极大似然估计 8 1 X 22 222 111 111 2 nnn iiii iii EXE XEXEX nnn 2 1 22 222 1111 111 221 nnn iiiiiiii iii E kXXkE XXkEXEXEXEXnk 则 1 21 k n 即为所求 10 1 依题 i X j Y与 l Z相互独立 2222 123 ETaESbEScESabc 故T是 2 的无偏估计的充要条件为1abc 2 记n个样本的方差为 2 S 则 2 2 2 1 1 nS n 4 2 2 1 D S n 故 24 1 2D S 24 2 D S 24 3 2 3 D S 故 22 22222224 123 2 23 bc DTa DSb DSc DSa 要使T为最有效估计 只须使 22 2 23 bc a 在1abc 的条件下取最小值即可 令 22 2 1 23 bc Laabc 由 20 0 2 0 3 1 L a a L b b Lc c abc 得 1 6 1 3 1 2 a b c 即为所求 12 2 2 0 0 x x f x 2 3 EXxfxdx 故 3 2 X 为 的矩估计量 且为无偏估计 2 1 1 2 0 0 n n n i n i i i xx Lfx 其他 显然 L 关于 单调递减 故 取最小值时 L 最大 又 不小于 1 max n XX 故 21 max nn XXX 为 的极大似然估计 又 21 2 2 0 0 n n n X n xx fx 故 1 比 2 更有效 4 由切比雪夫不等式知 0 1 1 222 1 111 D P n 2 2 22 1 111 D P n 故 1 与 2 为 的相合估计 16 1 2 0 22 3 x EXxdx 故 1 3 2 X 为 的矩估计量 且为无偏估计 2 2 2 22 2 0 22 318 x DXEXEXxdx 2 1 99 448 DDXDX nn 故 2 1 1 2 111 8 D P n 故 1 为 的相合估计 2 2 11 2 n nn ii n ii Lf xx 易知 L 为 的单调递减函数 故 取最小值时 L 取最大值 又 不小于 1 max n XX 故 21 max nn XXX 为 的极大似然估计 21 2 2 0 0 n n n X n xx fx 其他 故 2 2 21 n n EEX n 故 2 为 的有偏估计 2 2 2 2 2 121 nnn n DDXEXEX nn 所以 2 2 2 22 2 111 121 D n P nn 故 2 为 的相合估计 18 1 因 1 1 1 1 nx X FxP XxP Xxe 与参数 无关 故可 取 1 X 为关于 的区间估计问题的枢轴量 2 设常数ab 满足 1 1P aXb 即 1 1 1P XbXa 此时 区间的平均长度为Lba 易知 取 1 ln 1 2 a n 1 ln 2 b n 时 区间的长度最短 从而 的置信水平为1 的置信区间为 1 1 11 ln ln 1 22 XX nn 20 易知 的置信水平为 95 的置信区间为 0 0250 025 XzXz nn 将 0 025 1 96z 10 25n 140X 代入得 的置信水平为 95 的置信区间为 136 08 143 92 22 2 的置信水平为 99 的置信区间为 22 22 0 0050 095 11 11 nSnS nn 将16n 2 2S 2 0 005 15 及 2 0 095 15 的值代人得 2 的置信水平为 99 的置信区间为 2 213 15 779 24 已知 1 12n 13 8X 1 1 2S 2 15n 12 9Y 2 1 5S 1 22 2 1 12 的置信水平为 95 的置信区间为 0 02512 12 11 1 w XYtnnS nn 其中 22 11222 12 11 2 w nSnS S nn 查 EXCEL 表得 0 025 26t的值 将各值代人得 12 的置信水平为 95 的置信区间为 0 198 1 998 2 依题 13 8 12 90 90 198 1 998XY 故可认为无显著差异 26 1 16n 1 55 7S 2 20n 2 31 4S 10 95 1 2 1 2 2 的置信水平为 95 的置信区间为 2222 1212 0 0250 975 15 1915 19 SSSS FF 查 EXCEL 表得 0 025 15 19F和 0 975 15 19F的值 将各值代人得 2 1 2 2 的置信水平为 95 的置信区间为 0 678 4 919 2 这些资料不足于说明 2 1 不同于 2 2 28 易知P置信水平