江苏省南通市海门中学高二数学上学期第一次调考试卷（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省南通市海门中学高二（上）第一次调考数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1若直线x+（a1）y+1=0与直线ax+2y+2=0垂直，则实数a的值为2已知椭圆方程为=1，则它的离心率是3若方程x2+y22ax4y+5a=0表示圆，则a的取值范围是4以（2，0）为圆心，并与圆x2+y2=1相外切的圆的方程5已知椭圆中心在原点，一个焦点为f（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是6椭圆kx2+8ky2=8的一个焦点为，则k的值为7圆心在y轴上且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是8设椭圆=1右焦点为f2，点p是圆x2+y26x+8=0上的动点，则pf2的最大值为9设圆c：x2+y22x+2y+c=0与y轴交于a、b两点，若acb=120，则c=10在平面直角坐标系xoy中，设直线l：3x4y+a=0与圆c：x2+y2=4相交于a、b两点，以oa、ob为邻边作平行四边形oamb，若点m在圆c上，则实数a=11已知圆c：（x+1）2+y2=25，定点a（1，0），m为圆上的一个动点，连接ma，作ma的垂直平分线交半径mc于p，当m点在圆周上运动时，点p的轨迹方程为12设f1、f2为椭圆=1（ab0）的左右焦点，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若pf1f2=60，则椭圆的离心率是13直线ax+by=1（a，b是实数）与圆x2+y2=1相交于a、b两点，且aob是直角三角形（o是坐标原点），则点p（a，b）与点（0，1）之间的距离的最小值为14已知圆c：（xa）2+（ya）2=1（a0）与直线y=3x相交于p，q两点，则当cpq的面积最大时，此时实数a的值为二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15在平面直角坐标系xoy中，设直线l1：kxy=0，直线l2：（2k1）x+（k1）y7k+4=0（1）若直线l1l2，求实数k的值；（2）求证：直线l2过定点c，并求出点c的坐标；（3）当k=2时，设直线l1，l2交点为a，过a作x轴的垂线，垂足为b，求点a到直线bc的距离d16在直角坐标系xoy中，中心在原点o，焦点在x轴上的椭圆c上的点到两焦点的距离之和为4（1）求椭圆c的方程；（2）设点p在椭圆c上，f1、f2为椭圆c的左右焦点，若f1pf2=，求f1pf2的面积17如图，在平面直角坐标系xoy中，点a（0，3），直线l：y=2x4，设圆c的半径为1，圆心在l上（1）若圆心c也在直线y=x1上，求圆c的方程；（2）若点m满足ma=2mo，求点m的轨迹方程；（3）若圆c上存在点n，使na=2no，求圆心c的横坐标a的取值范围18如图，已知圆m：x2+（y4）2=4，q是x轴上的动点，qa、qb分别切圆m于a，b两点（1）若点q的坐标为（2，0），求切线qa、qb的方程；（2）求四边形qamb的面积的最小值及此时点q的坐标；（3）若ab=，且q在x轴正半轴上，求四边形qamb外接圆的方程19如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆+=1（ab0）的左顶点为a，右焦点为f（c，0）p（x0，y0）为椭圆上一点，且papf（1）若a=3，b=，求x0的值；（2）若x0=0，求椭圆的离心率；（3）求证：以f为圆心，fp为半径的圆与椭圆的 右准线x=相切20已知o：x2+y2=1和点m（4，2）（）过点m向o引切线l，求直线l的方程；（）求以点m为圆心，且被直线y=2x1截得的弦长为4的m的方程；（）设p为（）中m上任一点，过点p向o引切线，切点为q试探究：平面内是否存在一定点r，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由2015-2016学年江苏省南通市海门中学高二（上）第一次调考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1若直线x+（a1）y+1=0与直线ax+2y+2=0垂直，则实数a的值为【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】方程思想；综合法；直线与圆【分析】直线a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0垂直时，a1a2+b1b2=0，列出方程求出a的值【解答】解：当直线x+（a1）y+1=0与直线ax+2y+2=0垂直时，1a+2（a1）=0，解得a=故答案为：【点评】本题考查了两条直线互相垂直的应用问题，是基础题目2已知椭圆方程为=1，则它的离心率是【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆方程=1，可得a2=4，b2=1再利用椭圆的离心率计算公式e=即可得出【解答】解：由椭圆方程=1，可得a2=4，b2=1椭圆的离心率e=故答案为：【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其离心率计算公式e=，属于基础题3若方程x2+y22ax4y+5a=0表示圆，则a的取值范围是a4或a1【考点】二元二次方程表示圆的条件【专题】计算题；直线与圆【分析】根据二元二次方程表示圆的条件进行求解即可【解答】解：方程x2+y22ax4y+5a=0表示一个圆，则4a2+1620a0，即a25a+40，解得a4或a1，故答案为：a4或a1【点评】本题主要考查圆的一般方程的应用，根据二元二次方程表示圆的条件是解决本题的关键4以（2，0）为圆心，并与圆x2+y2=1相外切的圆的方程（x+2）2+y2=1【考点】圆与圆的位置关系及其判定【专题】计算题；直线与圆【分析】求出所求圆的半径，然后求出所求圆的标准方程即可【解答】解：因为以（2，0）为圆心，并与圆x2+y2=1相外切，所以，设所求圆的半径为r，所以2=r+1，所以r=1，所以所求圆的标准方程为：（x+2）2+y2=1故答案为：（x+2）2+y2=1【点评】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，圆的标准方程的求法，考查计算能力5已知椭圆中心在原点，一个焦点为f（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是【考点】椭圆的标准方程【专题】计算题【分析】先根据题意a=2b，c=2并且a2=b2+c2求出a，b，c的值，代入标准方程得到答案【解答】解：已知为所求；故答案为：【点评】本题主要考查椭圆的标准方程属基础题6椭圆kx2+8ky2=8的一个焦点为，则k的值为【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用椭圆的标准方程及其性质即可得出【解答】解：椭圆kx2+8ky2=8化为=1，由于它一个焦点为，=，解得k=故答案为：【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7圆心在y轴上且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是x2+（y5）2=25【考点】圆的标准方程【专题】直线与圆【分析】由题意求出圆的圆心与半径，即可写出圆的方程【解答】解：圆心在y轴上且过点（3，1）的圆与x轴相切，设圆的圆心（0，r），半径为r则：解得r=5所求圆的方程为：x2+（y5）2=25故答案为：x2+（y5）2=25【点评】本题考查圆的方程的求法，求出圆的圆心与半径是解题的关键8设椭圆=1右焦点为f2，点p是圆x2+y26x+8=0上的动点，则pf2的最大值为3【考点】椭圆的简单性质【专题】数形结合；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由圆x2+y26x+8=0可得（x3）2+y2=1，可得圆心c，半径r则|pf2|最大值=|cf2|+r【解答】解：椭圆=1，可得=1右焦点为f2（1，0），由圆x2+y26x+8=0可得（x3）2+y2=1，可得圆心c（3，0），半径r=1|cf2|=2则|pf2|最大值=|cf2|+r=2+1=3故答案为：3【点评】本题了考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9设圆c：x2+y22x+2y+c=0与y轴交于a、b两点，若acb=120，则c=2【考点】圆的一般方程【专题】计算题；直线与圆【分析】依题意，可求得圆x2+y22x+2y+c=0的圆心c（1，1），半径r=，|ab|=2，由acb=120，可求得c【解答】解：圆x2+y22x+2y+c=0的圆心c（1，1），半径r=，令x=0得：y2+2y+c=0，设a（0，y1），b（0，y2），则y1，y2是方程y2+2y+c=0的两根，y1，2=|ab|=|y1y2|=2，acb=120，|ab|=r=，由得：c=2故答案为：2【点评】本题考查圆的一般方程，考查方程思想与运算能力，属于中档题10在平面直角坐标系xoy中，设直线l：3x4y+a=0与圆c：x2+y2=4相交于a、b两点，以oa、ob为邻边作平行四边形oamb，若点m在圆c上，则实数a=5【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】把直线与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出xa+xb，然后利用直线方程求得ya+yb的表达式，进而可求得ab的中点的坐标，同时利用向量的平行四边形法则可求得=+=2，进而可求得m的坐标代入圆的方程求得a【解答】解：直线l：3x4y+a=0与圆x2+y2=4相交于a，b两点联立两方程得：25x2+6ax+a264=0xa+xb=，ya+yb=kxa+1+kxb+1=所以ab中点c的坐标为（，）利用向量的平行四边形法则可求得=+=2说明m点的坐标为ab中点的两倍，m（，）m点在圆上，代入方程化简得： a2=4所以a=5故答案为：5【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质，平面向量的基本性质考查了学生数形结合思想的应用和基本运算的能力11已知圆c：（x+1）2+y2=25，定点a（1，0），m为圆上的一个动点，连接ma，作ma的垂直平分线交半径mc于p，当m点在圆周上运动时，点p的轨迹方程为【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据圆c的标准方程得到点c（1，0），半径r=5再由线段中垂线定理，可化简出pc+pa=5，从而得出点p的轨迹c是以c、a为焦点，2a=5的椭圆最后根据椭圆的基本概念，即可得出点p的轨迹对应的椭圆的标准方程【解答】解：圆c方程为：（x+1）2+y2=25，点c（1，0），半径r=5，ma的垂直平分线交半径mc于p，pm=pa，可得pc+pa=cm点m是圆c上的动点，cm长为圆c的半径5，动点p满足pc+pa=5，点p的轨迹是以c、a为焦点，2a=5的椭圆可得a2=，c=1，b2=a2c2=，轨迹的方程为故答案为：【点评】本题借助一个动点的轨迹，得到椭圆的第一定义，进而求出其轨迹方程着重考查了线段的垂直平分线定理和椭圆的基本概念等知识点，属于基础题12设f1、f2为椭圆=1（ab0）的左右焦点，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若pf1f2=60，则椭圆的离心率是2【考点】椭圆的简单性质【专题】数形结合；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】把x=c代入可得，解得y，利用pf1f2=60，即可得出【解答】解：把x=c代入可得，解得y=，pf1f2=60，=，化为e2+2e1=0，又0e1，解得e=2故答案为：2【点评】本题了考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13直线ax+by=1（a，b是实数）与圆x2+y2=1相交于a、b两点，且aob是直角三角形（o是坐标原点），则点p（a，b）与点（0，1）之间的距离的最小值为1【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；直线与圆【分析】根据题意画出图形，过o作oc垂直于弦ab，由aob是直角三角形且|oa|=|ob|=1，可得此三角形为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一可得c为斜边ab的中点，利用勾股定理求出|ab|的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的半径可求出|oc|的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知的直线的距离，令求出的距离等于求出的|oc|的长，可得a与b的关系式，从而用b表示出a且得到b的范围，最后利用两点间的距离公式表示出所求两点间的距离d，把表示出的a代入得到关于b的二次三项式，设被开方数为f（b），可得此函数为开口向上，且对称轴为x=2的抛物线，根据b的范围判定得到函数为减函数，把b的最大值代入d可求出d的最小值【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：过o作ocab，因为aob为等腰直角三角形，所以c为弦ab的中点，又|oa|=|ob|=1，根据勾股定理得：|ab|=，|oc|=|ab|=，圆心到直线的距离为=，即2a2+b2=2，即a2=b2+1，b，则点p（a，b）与点（0，1）之间距离d=，设f（b）=b22b+2，此函数为对称轴为x=2的开口向上的抛物线，当b2时，函数为减函数，f（）=32，d的最小值为1故答案为：1【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，以及二次函数的图象与性质，利用了数形结合及函数的数学思想，其中表示出所求的距离d，由自变量b的范围，根据二次函数的图象与性质判断得出函数f（b）为减函数是解本题的关键14已知圆c：（xa）2+（ya）2=1（a0）与直线y=3x相交于p，q两点，则当cpq的面积最大时，此时实数a的值为【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质【专题】直线与圆【分析】求出圆的圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离与半弦长求解三角形的面积，然后求出最大值即可【解答】解：圆c：（xa）2+（ya）2=1（a0）的圆心（a，a）半径为1，圆心到直线的距离d=，半弦长为： =，cpq的面积s=，当a2=时10a24a4取得最大值，最大值为：，cpq的面积s的最大值为： =此时a=故答案为：【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形面积的最值的求法，点到直线的距离公式的应用等知识，考查分析问题解决问题的能力二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15在平面直角坐标系xoy中，设直线l1：kxy=0，直线l2：（2k1）x+（k1）y7k+4=0（1）若直线l1l2，求实数k的值；（2）求证：直线l2过定点c，并求出点c的坐标；（3）当k=2时，设直线l1，l2交点为a，过a作x轴的垂线，垂足为b，求点a到直线bc的距离d【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】直线与圆【分析】（1）由已知条件利用直线平行的性质能求出k（2）直线l2转化为（2x+y7）k（x+y4）=0，由k的系数为0，能求证明直线l2过定点c（3，1）（3）当k=2时，直线l1：2xy=0，直线l2：3x+y10=0，解方程组求出a（2，4），从而求出b（2，0），再求出直线bc的方程，然后利用点a（2，4）到直线bc的距离求出d【解答】（1）解：直线l1：kxy=0，直线l2：（2k1）x+（k1）y7k+4=0，直线l1l2，解得k=（2）证明：直线l2：（2k1）x+（k1）y7k+4=0，（2x+y7）k（x+y4）=0，由，得x=3，y=1，直线l2过定点c（3，1）（3）当k=2时，直线l1：2xy=0，直线l2：3x+y10=0，解方程组，得x=2，y=4，a（2，4），过a作x轴的垂线，垂足为b，b（2，0），直线bc的方程为：，即xy2=0，点a（2，4）到直线bc的距离d=2【点评】本题考查直线方程中参数的求法，考查直线过定点的证明，考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质、点到直线的距离公式的合理运用16在直角坐标系xoy中，中心在原点o，焦点在x轴上的椭圆c上的点到两焦点的距离之和为4（1）求椭圆c的方程；（2）设点p在椭圆c上，f1、f2为椭圆c的左右焦点，若f1pf2=，求f1pf2的面积【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由题意设出椭圆标准方程，且求得a，把点代入椭圆方程求b，则答案可求；（2）先根据椭圆的方程求得c，进而求得|f1f2|，设出|pf1|=t1，|pf2|=t2，利用余弦定理可求得t1t2的值，最后利用三角形面积公式求解【解答】解：（1）由题意，设椭圆c：（ab0），则2a=4，a=2点在椭圆上，解得b=，所求椭圆的方程为；（2）a=，b=，c=，设|pf1|=t1，|pf2|=t2，则t1+t2=，t12+t222t1t2cos60=36，由2得t1t2=4，t1t2sin60=4=【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质涉及焦点三角形问题，常用椭圆定义及余弦定理解决，是中档题17如图，在平面直角坐标系xoy中，点a（0，3），直线l：y=2x4，设圆c的半径为1，圆心在l上（1）若圆心c也在直线y=x1上，求圆c的方程；（2）若点m满足ma=2mo，求点m的轨迹方程；（3）若圆c上存在点n，使na=2no，求圆心c的横坐标a的取值范围【考点】轨迹方程；直线和圆的方程的应用【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】（1）联立直线l与直线y=x1解析式，求出方程组的解得到圆心c坐标，即可得到圆的方程；（2）设m（x，y），由ma=2mo，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点m的轨迹方程；（3）点n的轨迹为以（0，1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆d，由n在圆c上，得到圆c与圆d相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围【解答】解：（1）联立直线l：y=2x4与直线y=x1得圆心c（3，2），圆c的方程是（x3）2+（y2）2=1（2）设点m（x，y），由ma=2mo，知： =2，化简得：x2+（y+1）2=4；（3）点n的轨迹为以（0，1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆d，又点n在圆c上，c（a，2a4），圆c与圆d的关系为相交或相切，1|cd|3，其中|cd|=，13，解得：0a【点评】此题考查了圆的方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题18如图，已知圆m：x2+（y4）2=4，q是x轴上的动点，qa、qb分别切圆m于a，b两点（1）若点q的坐标为（2，0），求切线qa、qb的方程；（2）求四边形qamb的面积的最小值及此时点q的坐标；（3）若ab=，且q在x轴正半轴上，求四边形qamb外接圆的方程【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程【专题】综合题；直线与圆【分析】（1）设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求切线qa、qb的方程；（2）求出四边形qamb的面积的表达式，利用|mq|mo|求出面积的最小值；（3）设ab与mq交于点p，通过mpab，mbbq，求出|mp|，求出|mq|，确定q的坐标，即可求四边形qamb外接圆的方程【解答】解：（1）设过点q的圆m的切线方程为x=my+2，则圆心m到切线的距离为2， =2，m=或0，切线qa、qb的方程分别为3x+4y6=0和x=2（2）maaq，smaqb=|ma|qa|=，此时q（0，0）；（3）设ab与mq交于点p，则mpab，mbbq，|mp|=，在rtmbq中，|mb|2=|mp|mq|，解得|mq|=4设q（x，0），则x2+16=32，q在x轴正半轴上，x=4四边形qamb外接圆的方程是（x2）2+（y2）2=8【点评】本题考查圆的切线方程的求法，四边形面积的求法，两点间的距离公式的应用，考查转化思想与计算能力19如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆+=1（ab0）的左顶点为a，右焦点为f（c，0）p（x0，y0）为椭圆上一点，且papf（1）若a=3，b=，求x0的值；（2）若x0=0，求椭圆的离心率；（3）求证：以f为圆心，fp为半径的圆与椭圆的 右准线x=相切【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）根据a，b，c的关系易得c=2，由papf及，解得；（2）联立条件x0=0及papf，计算得a2c2=ac，所以e2+e1=0，解之即可（注意舍去负值） （3）联立，以及papf得，解得，计算可得pf=，即得结论【解答】解：（1）因为a=3，b=，所以c2=a2b2=4，即c=2，由papf得，即，又，所以，解得或x0=3（舍去）； （2）当x0=0时，由papf得，即b2=ac，故a2c2=ac，所以e2+e1=0，解得（负值已舍）； （3）依题意，椭圆右焦点到直线的距离为，且，由papf得，即，由得，解得或x0=a（舍去）所以pf=|a|=a+=，所以以f为圆心，fp为半径的圆与右准线相切【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查直线与椭