从动态统计信息理论到 物理学规律的信息表述(报告).pdf

从动态信息理论到物理学 规律的信息表述 从动态信息理论到物理学 规律的信息表述 邢 修 三 邢 修 三 北京理工大学物理系 北京理工大学物理系 信息理论 其重要性不仅体现于 当前的信息革命 还可能是物理科 学 生命科学和思维科学等理论统一 的基础 信息理论 其重要性不仅体现于 当前的信息革命 还可能是物理科 学 生命科学和思维科学等理论统一 的基础 1 引言 1 引言 2 动态信息演化方程 2 动态信息演化方程 3 物理学方程的信息表述 3 物理学方程的信息表述 4 信息流和力 4 信息流和力 5 退化和进化的统一信息 5 退化和进化的统一信息 表述 表述 6 结论 6 结论 1 1 1 引言 引言 现有 Shannon 统计信息理论是静态 的 现有 Shannon 统计信息理论是静态 的 物理学和数学中每个静态 平衡 态 理论之后 总出现动态 非平衡 态 理论 且出现相应的演化方程 物理学和数学中每个静态 平衡 态 理论之后 总出现动态 非平衡 态 理论 且出现相应的演化方程 动态统计信息理论的主要内容 动态统计信息理论的主要内容 研究动态统计信息的本质和演 化规律 其核心是探求描述这种演化 规律的动态信息演化方程 研究动态统计信息的本质和演 化规律 其核心是探求描述这种演化 规律的动态信息演化方程 本报告主要讨论四个问题 本报告主要讨论四个问题 a 动态信息演化方程是什么形 式 如何建立 可否由它导 出其它各主要结果 a 动态信息演化方程是什么形 式 如何建立 可否由它导 出其它各主要结果 b 物理学运动规律通常由物理 方程表述 可否亦由信息方程 表述 若能 这些方程又是 什么形式 b 物理学运动规律通常由物理 方程表述 可否亦由信息方程 表述 若能 这些方程又是 什么形式 c 信息流如何表述 它和力有c 信息流如何表述 它和力有 2 何相似性和相关性 何相似性和相关性 d 动力学系统的退化和进化如 何由信息统一表述 d 动力学系统的退化和进化如 何由信息统一表述 2 动态信息演化方程 2 动态信息演化方程 信息 是客观事物状态及其运动 规律的显示或反映 通常由所谓信息 符号序列如语言 文字 图象和信号 等序列表示之 在 Shannon 统计信息 理论中 可将信息理解为客观事物状 态及其运动规律的不确定性的显示 或反映 信息 是客观事物状态及其运动 规律的显示或反映 通常由所谓信息 符号序列如语言 文字 图象和信号 等序列表示之 在 Shannon 统计信息 理论中 可将信息理解为客观事物状 态及其运动规律的不确定性的显示 或反映 Shannon定 义 的 信 息 熵Shannon定 义 的 信 息 熵 1 log n i i i HAS Ap ap a 其中信息 符号是一组随机变量 其中信息 符号是一组随机变量 i a i p a 是出 现的概率 是出 现的概率 i a 动态信息理论 把描述动力学 系统状态的态变量作为信息符号 态变量在空间的传递就是信息符 号的传递 态变量的概率密度的演 化方程 简称态变量演化方程 就 动态信息理论 把描述动力学 系统状态的态变量作为信息符号 态变量在空间的传递就是信息符 号的传递 态变量的概率密度的演 化方程 简称态变量演化方程 就 3 是信息符号演化方程 本节只以随 机动力学系统为例 其它系统从 略 是信息符号演化方程 本节只以随 机动力学系统为例 其它系统从 略 设所研究的随机动力学系统 由 设所研究的随机动力学系统 由n个态变量个态变量 12n a a aa 描述 且 它们作为信息符号在系统之外的 三维坐标空间 描述 且 它们作为信息符号在系统之外的 三维坐标空间 123 x x xx 中传递 则 描述这种随机动力学系统的状态 和演化规律及其在坐标空间传递 的态变量概率密度演化方程即信 息符号演化方程应为下述 中传递 则 描述这种随机动力学系统的状态 和演化规律及其在坐标空间传递 的态变量概率密度演化方程即信 息符号演化方程应为下述n维 Fokker Planck 方程 维 Fokker Planck 方程 3 i 1k 1 n p tp t p t t ik ik a xa x Kaa x ax 2 3 ij 2 i j 1k 1 ij n p t p t k k a x Baa xQ aax 1 1 其中为态变量自身的漂移变化 速率 为其噪声强度或扩散系 数 其中为态变量自身的漂移变化 速率 为其噪声强度或扩散系 数 i Ka i j Ba k 为态变量即信息符号在坐标空 间的漂移传递速率 为其噪声强度 或扩散系数 为态变量即信息符号在坐标空 间的漂移传递速率 为其噪声强度 或扩散系数 k Q p t dda xax为 时在 和 为 时在 和t a 4 da a间的态变量传递到空间坐标间的态变量传递到空间坐标x 和和dxx 间的概率 间的概率 p t dda xax满足 归一化条件 满足 归一化条件 p t dda xax1 动力学系统演化动力学系统演化t时的动态信息 可定义为下列两个表达式中的一 种 时的动态信息 可定义为下列两个表达式中的一 种 log a x a xa x a x m m pt I tSS tptd d p ax a xIt d d 2 2 或 或 a xa xa x mm I tSS tSpt pt d d 2a 2a m SIt d d ax a x 其中 其中 log ax a x a x a x m pt Itpt p 3 3 或或 log ax a xa xItptpt 3a 3a 为 时单位态变量空间和单位坐标 空间的动态信息密度 为 时单位态变量空间和单位坐标 空间的动态信息密度 t 由 2 或 2a 得 由 2 或 2a 得 m I tS tS 或或 0 axax ItSt 5 4 4 即由 4 知信息与熵各自都不守 恒 但信息 密度 与熵 密度 之和守恒 即由 4 知信息与熵各自都不守 恒 但信息 密度 与熵 密度 之和守恒 将 2 式两边各对时间将 2 式两边各对时间t求偏导 并代入信息符号演化方程 1 得动 态信息密度的演化方程 求偏导 并代入信息符号演化方程 1 得动 态信息密度的演化方程 ax I t 3 111 nn ikij iki j ikij II K IB I taxaa axax axax aa 23 2 11 log n ij k ki j ki B II Qp xpta i tI a axax ax a a x a x log ax ax a x jj I ptI aa 2 3 1 log k k kk QI ptI ptxx ax ax a x a x 5 5 这就是随机动力学系统的动态信息 演化方程 它表明 当作为信息之源 的随机动力学系统的信息在系统之 外的坐标空间传递时 它的动态信息 密度随时间的变化率是由其在系统 内部的态变量空间和传递过程的坐 这就是随机动力学系统的动态信息 演化方程 它表明 当作为信息之源 的随机动力学系统的信息在系统之 外的坐标空间传递时 它的动态信息 密度随时间的变化率是由其在系统 内部的态变量空间和传递过程的坐 6 标空间的漂移 扩散和耗损三者引起 的 标空间的漂移 扩散和耗损三者引起 的 方程 5 对可用概率密度描述的 各动力学系统有普遍性 这儿略 方程 5 对可用概率密度描述的 各动力学系统有普遍性 这儿略 得到方程 5 的基点有二 1 态 变量是信息符号 2 动态信息定义 得到方程 5 的基点有二 1 态 变量是信息符号 2 动态信息定义 设动力学系统的态变量只在空 间传递而其自身不变化 且空间不 存在噪声 则可得 设动力学系统的态变量只在空 间传递而其自身不变化 且空间不 存在噪声 则可得 22 2 22 xx II t x 6 6 这就是信息波方程 这就是信息波方程 静态信息理论 通信用的是点模 型 对于限带加性连续高斯信道 单位时间的高斯信道容量为 静态信息理论 通信用的是点模 型 对于限带加性连续高斯信道 单位时间的高斯信道容量为 ln 1 a n p CW P 7 7 式中式中W为频带宽度为频带宽度 2 aa P 和 为输入信号和噪声的方差 即两者的 平均功率 和 为输入信号和噪声的方差 即两者的 平均功率 7 式就是著名的 式就是著名的Shannon 信道容量公式 信道容量公式 2 nn P 7 通通 信信 模模 型型 1 静态信息理论 静态信息理论 零传递时间模型零传递时间模型 0lv 2 动态信息理论 动态信息理论 非零传递时间模型非零传递时间模型 0lv 8 动态信息理论 信息在时空传递过 程中有耗损 限频加性连续高斯信道 单位时间的信道容量公式为 动态信息理论 信息在时空传递过 程中有耗损 限频加性连续高斯信道 单位时间的信道容量公式为 1 2 ln 1 a td n eP CW P 8 8 与传递时间即信道长度 传 递速度 与传递时间即信道长度 传 递速度 l v l 及空间噪声强度及空间噪声强度Q有关 当 即或 有关 当 即或0lv 0l v 则 动态信道容量公式 8 还原为静态 信道容量公式 7 通常 则 动态信道容量公式 8 还原为静态 信道容量公式 7 通常 1 01 动态信道容量小于静态信道容量 动态信道容量小于静态信道容量 3 物理学方程的信息表述 3 物理学方程的信息表述 物理学规律通常由物理方程表 述 可否亦由信息演化方程表述 这可称之谓物理学方程的信息化 物理学规律通常由物理方程表 述 可否亦由信息演化方程表述 这可称之谓物理学方程的信息化 本节给出三种系统的结果 本节给出三种系统的结果 3 1 随机动力学系统 3 1 随机动力学系统 这 种 系 统 的 演 化 规 律 可 由 Fokker Planck 方程表述 这 种 系 统 的 演 化 规 律 可 由 Fokker Planck 方程表述 9 2 11 nn ii ii j iij p t j Kp tBp t taa a a aaaa 9 9 对应的信息方程为 对应的信息方程为 2 ii i 1i j 1 iij nn I KIBI taa a j a aa aa i j i j 1 iij log log n B j II ptIptI ptaaaa aa aa a aa a 10 10 其中其中aax x II d 为单位态变量空间的动 态信息密度 为单位态变量空间的动 态信息密度 3 2 经典非平衡态统计物理系统 3 2 经典非平衡态统计物理系统 系统的宏观行为和演化规律可由 6 系统的宏观行为和演化规律可由 6N N维相空间的Liouville扩散方程表 述 维相空间的Liouville扩散方程表 述 22 qX X q H DD t 11 11 其中 其中 X t 对应的 6对应的 6N N维信息方程为 维信息方程为 2 2 ln ID IDIII tk X XXqXqXqX X 12 12 其中其中 XX X X IH I X I 为单位 6为单位 6N N维 相空间的动态信息密度 维 相空间的动态信息密度 10 同样 6 维信息方程为 同样 6 维信息方程为 1 1111111111 2 2 111 1 ln q p q q q F I D IIDIf II tkf 1 V 13 13 其中其中 111111 q p ff tf t 为单位 6 维 相空间的动态信息密度 为单位 6 维 相空间的动态信息密度 1 I 111 11 1122022 14 14 1010 1 ln ff Nkffd ff qpp 为两粒子相互作用位能为两粒子相互作用位能 1212 qq 引 发的 6 维动态信息密度的变化率 引 发的 6 维动态信息密度的变化率 3 3 特殊电磁场系统 3 3 特殊电磁场系统 这类系统 如大热库驱动的腔内 激光系统或自由电磁场系统 腔内的 单模电磁场或光场的运动规律可由 波模振幅运动方程表述 模振幅 和 的概率密度的 Fokker Planck 方程 为 这类系统 如大热库驱动的腔内 激光系统或自由电磁场系统 腔内的 单模电磁场或光场的运动规律可由 波模振幅运动方程表述 模振幅 和 的概率密度的 Fokker Planck 方程 为 1 b 2 b 222 22 12 2 11 4 ii ii ii pDp p t bbb b bb 15 15 其中其中 和和 为常数 为常数 12 b bpp t 为为t时 振幅 和的概率密度 时 振幅 和的概率密度 1 b 2 b 11 对应的信息方程为 对应的信息方程为 222 22 12i 2 i 1i 1 ii 4 bb b bbb bb ID I t I 2 2 i 1 ii log 4 b b bb DI p I p 16 16 其中为单位模振幅空间的动态信息 密度 其中为单位模振幅空间的动态信息 密度 b I 可见 当方程 9 11 和 15 看成是由物理方程表述了上述三种 动力学系统的演化规律时 则方程 10 12 13 和 16 既可看 成是表述了这三种系统自身的动态 信息的演化规律 亦可看成是由信息 方程 经由线性变换得来的 表述了 各有关系统的演化规律 换言之 系 统的演化规律既可由物理方程描述 亦可由其对应的信息方程表述 即用 信息概念和语言如信息流 信息耗损 和信息产生及其方程阐述动力学问 题 进而可用信息方程来表述动力学 系统有序度演化的方程 以上三种信 可见 当方程 9 11 和 15 看成是由物理方程表述了上述三种 动力学系统的演化规律时 则方程 10 12 13 和 16 既可看 成是表述了这三种系统自身的动态 信息的演化规律 亦可看成是由信息 方程 经由线性变换得来的 表述了 各有关系统的演化规律 换言之 系 统的演化规律既可由物理方程描述 亦可由其对应的信息方程表述 即用 信息概念和语言如信息流 信息耗损 和信息产生及其方程阐述动力学问 题 进而可用信息方程来表述动力学 系统有序度演化的方程 以上三种信 12 息演化方程的数学形式相同 一致表 明 动态信息密度随时间的变化率是 由其在系统内部的态变量空间的漂 移 扩散和耗损三者引起的 息演化方程的数学形式相同 一致表 明 动态信息密度随时间的变化率是 由其在系统内部的态变量空间的漂 移 扩散和耗损三者引起的 其他物理学方程亦可这样信息 化 其他物理学方程亦可这样信息 化 方程 10 12 13 16 与 方程 5 的差别 是其不在系统之 外的坐标空间传递 方程 10 12 13 16 与 方程 5 的差别 是其不在系统之 外的坐标空间传递 4 信息流和力 4 信息流和力 所谓信息流 即单位时间流过的信 息量 而信息流密度 则是坐标空间 或 和 态变量空间单位时间单位面 积流过的信息量 所谓信息流 即单位时间流过的信 息量 而信息流密度 则是坐标空间 或 和 态变量空间单位时间单位面 积流过的信息量 4 1 系统外部坐标空间的信息流密度 4 1 系统外部坐标空间的信息流密度 它们都由漂移信息流密度和扩散 信息流密度相加而成 它们都由漂移信息流密度和扩散 信息流密度相加而成 A 随机动力学系统 A 随机动力学系统 ax ax ax k xkk k I JIQ x 17 17 13 B 经典统计物理系统 6N 维 6 维相空间 B 经典统计物理系统 6N 维 6 维相空间 18 18 Xx ax Xx k xkk k I 19 19 4 2 系统内部态变量空间的信息流密 度 4 2 系统内部态变量空间的信息流密 度 它们同样都由漂移信息流密度和 扩散信息流密度相加而成 它们同样都由漂移信息流密度和 扩散信息流密度相加而成 A 随机动力学系统 A 随机动力学系统 1 a aa aa a a i n ii j j j JKIBI 20 20 B 经典统计物理系统 6N 维 6 维和 12 维相空间 B 经典统计物理系统 6N 维 6 维和 12 维相空间 pXq X XXqX qX JX H IDI IDI H I X 21 21 22 22 1 11 1 1 1 1 1 q J F IDI I V JIQ x 1 1 1 x x x k xkk I k JIQ x 14 22 2 2 2 11 1 1 1 1 i i iq qij IDI I J F V 23 23 各信息流密度特点 各信息流密度特点 A 漂移信息流密度都等于漂移传递 速度和信息密度之乘积 扩散信息流 密度都等于扩散系数与信息密度负 梯度之乘积 A 漂移信息流密度都等于漂移传递 速度和信息密度之乘积 扩散信息流 密度都等于扩散系数与信息密度负 梯度之乘积 B 系统内部的漂移传递速度和扩散 系数由系统性质决定 系统外部的漂 移传递速度 和扩散系数 由载体 性质决定 载体为光时 则 为光速 载体为声时 则 为声速 B 系统内部的漂移传递速度和扩散 系数由系统性质决定 系统外部的漂 移传递速度 和扩散系数 由载体 性质决定 载体为光时 则 为光速 载体为声时 则 为声速 k Qk k k C 系统内部的信息流 负责内部联 系 系统外部的信息流 实现系统与 外部环境间的信息联系 C 系统内部的信息流 负责内部联 系 系统外部的信息流 实现系统与 外部环境间的信息联系 4 3 信息流与力之间的类似性和相 关性 4 3 信息流与力之间的类似性和相 关性 在物理世界和物理科学中 力是 基本的 起着核心作用 物理世界的 稳定存在和运动规律 都靠各种力维 在物理世界和物理科学中 力是 基本的 起着核心作用 物理世界的 稳定存在和运动规律 都靠各种力维 15 持 在信息世界和信息科学 生命世 界和生命科学以及思维科学中 信息 是基本的 起着类似的核心作用 生 物社会包括人类社会的稳定存在和 发展 生命体所以能以活的生命形式 存在 遗传 发育和进化 都有赖于 信息传递和调控 当描述系统演化规 律的物理方程 9 11 15 变成 信息方程 10 12 13 16 时 力虽仍然存在 已不再以原来角色出 现 取代它的则是信息流 从公式 21 22 23 可看出 力 持 在信息世界和信息科学 生命世 界和生命科学以及思维科学中 信息 是基本的 起着类似的核心作用 生 物社会包括人类社会的稳定存在和 发展 生命体所以能以活的生命形式 存在 遗传 发育和进化 都有赖于 信息传递和调控 当描述系统演化规 律的物理方程 9 11 15 变成 信息方程 10 12 13 16 时 力虽仍然存在 已不再以原来角色出 现 取代它的则是信息流 从公式 21 22 23 可看出 力 H q 和 和 Fi i ijq 是以传递速度的形式出现 在信息流表达式中 可见 在物理表 述中 相互作用力聚合了两个系统 而在信息表述中 联系两个系统的则 是信息流 是以传递速度的形式出现 在信息流表达式中 可见 在物理表 述中 相互作用力聚合了两个系统 而在信息表述中 联系两个系统的则 是信息流 5 退化和进化的统一信息表述 5 退化和进化的统一信息表述 自然界演化有两个方向 一是由熵 增加定律表述的退化 另一是以生物 自然界演化有两个方向 一是由熵 增加定律表述的退化 另一是以生物 16 学进化为典型的自组织进化 如何统 一描述这二者 本节用表示动力学 系统有序度变化的信息方程描述 学进化为典型的自组织进化 如何统 一描述这二者 本节用表示动力学 系统有序度变化的信息方程描述 由信息方程知 动力学系统总存在 信息耗损 率 其表达式为 由信息方程知 动力学系统总存在 信息耗损 率 其表达式为 A A 随机动力学系统 随机动力学系统 i a aaaa aa I apt Bd t aaaa aB 0 24 24 其中 25 其中 25 0 ln a a pt p a B 经典统计物理系统 6N 维 6 维和 12 维相空间 B 经典统计物理系统 6N 维 6 维和 12 维相空间 2 i X qX X I kDtd t 2 0kD qX 26 26 1 11 2 i 11 q I kDftd t 1 11 2 0kD q 27 27 17 1 2 1 2 2 2121 q iI kD ft d d t 2 1 2 2 0kD q 28 28 其中 其中 0 ln t X X X 1 11 01 ln ft f 1 2 212 2012 ln ft f 29 29 25 29 式中的 可简称系统 的离开平衡率 25 29 式中的 可简称系统 的离开平衡率 信息耗损表示系统有序度减少 信息耗损表示系统有序度减少 当内部粒子 组元 间存在纯相互 吸引作用时 动力学系统可能有信息 产生 率 其表达式为 当内部粒子 组元 间存在纯相互 吸引作用时 动力学系统可能有信息 产生 率 其表达式为 21 1 qp R tNke 1 30 30 信息产生表示系统有序度增加 信息产生表示系统有序度增加 A 内部有相互吸引作用的孤立系统 的总信息变化率 A 内部有相互吸引作用的孤立系统 的总信息变化率 qqp 21 2 i 11 I kD Nk e t 1 18 31 31 它由信息耗损定律公式和信息产生 率公式两者组成 当后者不存在时 系统向无序度方向发展 若后者大于 前者时 可能出现自组织结构 它由信息耗损定律公式和信息产生 率公式两者组成 当后者不存在时 系统向无序度方向发展 若后者大于 前者时 可能出现自组织结构 B 开放系统的总信息变化率 B 开放系统的总信息变化率 21 2 V11qqp CA oI I dkD Nk e t 1 32 32 其中 为流体平均速度 其中 为流体平均速度 A为系 统的面积 为单位体积的信息 密度 它由信息损耗 信息产生和信 息流入 出 三者决定 当信息流入 与信息产生两者之和大于信息损耗 时 系统可能涌现自组织结构 为系 统的面积 为单位体积的信息 密度 它由信息损耗 信息产生和信 息流入 出 三者决定 当信息流入 与信息产生两者之和大于信息损耗 时 系统可能涌现自组织结构 C