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杨辉三角和二项式系数性质 10 4二项式定理 杨辉三角 九章算术 杨辉 杨辉三角 详解九章算法 中记载的表 1 杨辉三角 的来历及规律 杨辉三角 展开式中的二项式系数 当时 如下表所示 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 杨辉三角 点击图片可以演示 杨辉三角 课件 第5行1551 第0行1 杨辉三角 第1行11 第2行121 第3行1331 第4行141 第6行161561 第n 1行1 1 第n行1 1 15 15 5 10 20 20 10 10 10 6 4 10 10 6 4 10 6 6 3 3 4 1 3 4 1 2 5 第5行15101051 第6行1615201561 第7行172135352171 第1行11 第0行1 第2行121 第3行1331 第4行14641 1 3 8 13 21 34 如图 写出斜线上各行数字的和 有什么规律 第8行18285670562881 从第三个数起 任一数都等于前两个数的和 这就是著名的斐波那契数列 二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是 从函数角度看 可看成是以r为自变量的函数 其定义域是 当时 其图象是右图中的7个孤立点 二项式系数的性质 2 二项式系数的性质 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式得到 图象的对称轴 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 由于 所以相对于的增减情况由决定 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 由 二项式系数是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 可知 当时 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 3 各二项式系数的和 二项式系数的性质 在二项式定理中 令 则 这就是说 的展开式的各二项式系数的和等于 同时由于 上式还可以写成 这是组合总数公式 例1证明在的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数 它有三条性质 要理解和掌握好 同时要注意 系数 与 二项式系数 的区别 不能混淆 只有二项式系数最大的才是中间项 而系数最大的不一
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