江苏省苏州市第五中学高中数学 2.4抛物线学案（无答案）苏教版选修21.doc

24 抛物线一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议抛物线的标准方程掌握1让学生独立探索抛物线的标准方程， 对学生建立不同坐标系后得到的不同形式的方程加以比较讨论2能运用先”定位”再”定量”的方法求抛物线方程抛物线的几何性质掌握关注两点：一是开口， 二是焦准距p 并会用顶点及通径的端点画抛物线的草图直线与抛物线的位置关系了解类比直线与椭圆位置关系的讨论， 但要特别关注定义的运用二、预习指导1预习目标(1)通过本节的学习，掌握抛物线的定义及其标准方程；(2)掌握抛物线的几何性质，会用顶点及通径的端点画抛物线的草图；(3)能熟练地利用几何性质求抛物线的标准方程及标准形式下的焦点坐标、准线方程，并能进行计算和证明；(4)了解直线与抛物线的位置关系； (5)通过对与抛物线定义、方程有关问题的讨论，提高综合灵活地运用知识、各种方法技巧分析问题、解决问题的能力2预习提纲(1)回顾22，23椭圆与双曲线的相关知识，回答下列问题：椭圆的标准方程是如何建立的?双曲线的标准方程是如何建立的?(2)阅读课本第4649页，链接http：/baikebaiducom/view/734htm，回答下列问题：平面内与一个定点f和一条定直线l的距离_的点的轨迹叫做_点f叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_方程y2=2px(p0)叫做抛物线的_，它的焦点的坐标是_，准线方程是_抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标是_，准线方程是_；抛物线x2=2py(p0)的焦点坐标是_，准线方程是_抛物线的对称轴叫做_抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比值为_若抛物线y2=2px(p0)上的点p(x0，y0)，焦点为f，则pf=_(用p，x0表示)抛物线和它的对称轴的交点叫做_在抛物线y2=2px(p0)中，通过焦点且垂直于x轴的直线与抛物线的交点的坐标分别为_，连结这两点的线段叫做抛物线的_，它的长为_(3)课本第47页例1为已知抛物线方程，求抛物线的焦点坐标和准线方程，若方程改为x2=4y，则焦点坐标为_，准线方程为_；第47页例2和第48页例1为求抛物线的标准方程，应先考虑_，确定标准方程的形式，再用_方法求解，即先“定位”，再“定量”；第48页例2是抛物线光学性质的应用3典型例题(1)抛物线的标准方程由抛物线的标准方程，求抛物线的焦点、准线方程，并画出其图形例1 (1)已知抛物线方程y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程若方程为y2=2ax(a0)呢?(2)已知抛物线方程为x2=4y，求它的焦点坐标和准线方程若方程为y=4ax2(a0)呢?分析：由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程需明确p的值及开口方向解：(1)由y2=6x知：p=3，开口向左故它的焦点坐标为(，0)，准线方程为：若方程为：y2=2ax(a0)则当a0时，p=a，开口向右故它的焦点坐标为(，0)，准线方程为：当a0 时，p=a，开口向左故它的焦点坐标为(，0)，准线方程为：故无论a0还是a0，焦点坐标为(，0)，准线方程为：(2)由x2=4y知：p=2，开口向上故它的焦点坐标为(0，1)，准线方程为：y=1若方程为y=4ax2(a0)，则当a0 时，p=，开口向上故它的焦点坐标为(0，)，准线方程为：当a0时，p=，开口向下故它的焦点坐标为(0，)，准线方程为：故无论是a0还是a0，焦点坐标为(0，)，准线方程为：点评：由抛物线方程求它的焦点坐标、准线方程，首先是化标准式，然后是由一次项前的系数符号定p，定开口方向当符号不确定时，需分类讨论，但焦点的坐标、准线方程与符号无关如y2=2ax(a0)的焦点为(，0)、准线为；x2=2ay(a0)的焦点为(0，)，准线方程为y=由抛物线的焦点坐标、准线方程或焦准距求抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式，其主要是由于坐标系的建立方式不同而引起的因此在根据题设条件求抛物线的标准方程时，应注意先确定焦点的位置或开口方向即方程的形式，然后用待定系数法，通过解方程或方程组得解例2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)焦点为(3，0)；(2)准线为y=2；(3)焦点到准线的距离为；(4)焦点在直线3x4y12=0上；(5)过点a(2，4)分析：根据条件求抛物线的标准方程，关键是由条件定p和开口方向解：(1) 焦点为(3，0)， ，且开口向左故抛物线的标准方程为：y2=12x (2) 准线为y=2， ，且开口向下故抛物线的标准方程为：x2=8y (3) 焦点到准线距离为， p=，但开口方向不定故抛物线的标准方程为：或 (4) 焦点在直线3x4y12=0上，且直线3x4y12=0与坐标轴的交点为(4，0)，(0，3) 若焦点为(4，0)，则，开口向右故抛物线的标准方程为：y2=16x若焦点为(0，3)，则，开口向下故抛物线的标准方程为：x2=12y 抛物线的标准方程为：y2=16x或x2=12y(5) 抛物线过点a(2，4)，且点a在第四象限 抛物线的开口向右或向下若开口向右，则设方程为：y2=2px(p0) 过点a(2，4)， p=4 抛物线的标准方程为：y2=8x若开口向下，则设方程为：x2=2py(p0) 过点a(2，4)， p= 抛物线的标准方程为：x2=y点评：由条件求抛线的标准方程时，首先应根据条件确定开口方向或焦点所在轴，然后求p的值若条件中涉及到焦点、准线，则不仅确定了开口方向，同时也给定了p的值；若不涉及到焦点、准线，则需讨论开口方向(2)抛物线的几何性质抛物线的几何性质和椭圆、双曲线相比，差别较大它的离心率等于1；只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴；它没有中心，也没有渐近线在学习过程中注意运用类比的方法加以区分已知抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、点的坐标等例3 若抛物线y2=2px(p0)上一点p到准线及对称轴的距离分别为10和6，求p的横坐标及抛物线方程分析：本题求p的坐标是关键，由p到对称轴的距离为6得：p的纵坐标为6，由p到准线的距离为10得p的横坐标解：设p(x0，y0)，由y2=2px(p0)得：准线方程为 点p到准线的距离为10， ，即 点p到对称轴距离为6， y0=6又点p在抛物线上， ，即p220p+36=0， p=2或18 0， p20， p=2或18，x0=9或1，故p的横坐标为9或1抛物线方程为：y2=4x或y2=36x点评：抛物线上的点到焦点与到准线的距离可利用定义进行相互转化，且转化时可以将距离与点的坐标联系起来，如：抛物线上任意一点，焦点为f，则根据抛物线方程解决简单的应用问题例4 给定抛物线y2=2x，设a(a，0)，a0，p是抛物线的一点，且pa=d，试求d的最小值分析：欲求d最小，应列出d与p点坐标的函数关系式解：设p(x0，y0)(x00)，y02=2x0则d=pa= a0，x00 当0a1时，1a0，此时有x0=0时，当a1时，1a0，此时有x0=a1时， 点评：由抛物线的几何性质知，抛物线上的点的坐标有限制要求本题中虽然d的目标函数f(x0)是根号下关于x0的二次函数，但由于x0和a都有限制条件，故必须分类讨论求最小值(3)直线与抛物线的位置关系处理直线与抛物线的交点问题，特别是抛物线的弦的问题时，往往采取设而不求的方法，以及直线方程和抛物线方程联立方程组，借助于根与系数的关系、借助于数形结合来解已知直线和抛物线相交，求弦长、直线方程、抛物线方程及与弦长相关的问题：将直线方程和抛物线方程联立，利用设而不求的技巧及韦达定理，整体代换，特别地当直线经过焦点时，利用抛物线中有关焦点弦的性质来处理例5 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x4所得的弦长为ab=，求此抛物线方程分析：求抛物线方程的关键是设抛物线方程，建立起关于字母的方程本题可从ab=入手解：设所求抛物线方程为y2=ax(a0)，a(x1，y1)、b(x2，y2)将y=2x4代入y2=ax得：4x2(a+16)x+16=0由=(a+16)22560得：a0或a32 x1+x2=a+16，x1x2=4 ab= ， a=4或36检验知：a=4或36故所求的抛物线方程为y2=4x或y2=36x点评：顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线有开口向左或向右两种情形，因此，方程设为y2=ax(a0)可避免讨论，简化解题过程另外涉及到韦达定理注意验证判别式大于0例6 已知ab是抛物线y2=2px(p0)的焦点弦，f为抛物线焦点，a(x1，y1)、b(x2，y2)求证：(1)y1y2=p2；x1x2=；(2)ab=x1+x2+p=(为直线ab的倾斜角)证明：(1)若ab的斜率不存在，则直线ab的方程为x=，则y1=p，y2=p y1y2=p2若ab的斜率存在，记为k(k0)，则ab的方程为：y=k(x)由得：ky22pykp2=0， y1y2=p2故无论ab的斜率是否存在，总有：y1y2=p2又x1x2=，故x1x2= (2)设a(x1，y1)、b(x2，y2)，则由抛物线定义：af=x1+，bf=x2+ ab是焦点弦， ab=af+bf=x1+x2+p设ab的方程为x=my+，则由得：y22pmyp2=0故x1+x2=m(y1+y2)+p=m2pm+p=(2m2+1)p， ab=2(m2+1)p 为ab的倾斜角， =tan，故ab=2(1+)p=即证点评：抛物线的焦点弦有极其丰富的内涵，除上述结论以外，还有如下的一些结论：；以ab为直径的圆必与抛物线的准线相切；以cd为直径的圆切ab于f；anb=900；cfd=900等这些结论可以用代数方法证，也可以用几何方法证，请同学们自己试试4自我检测(1)焦点为的抛物线的标准方程为_ (2)在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为_ (3)顶点在原点，焦点到准线的距离为1，开口向下的抛物线的标准方程为_ (4)抛物线的准线方程为y=2，则a的值为_(5)顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到准线的距离为的抛物线的标准方程为_三、课后巩固练习a组1已知抛物线的焦点坐标是(2，0)，则抛物线的标准方程是_2已知抛物线的准线方程是x=7，则抛物线的标准方程是_3经过点p(4，2)的抛物线标准方程为_4抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x+y+2=0上，则此抛物线方程是_5以x轴为对称轴，抛物线的通径长为8，顶点在原点的抛物线的方程是_6求过点(t2，t)(t0)的抛物线标准方程7的准线方程为_8 y2=10x的焦点到准线距离为_9抛物线6xay2=0的准线方程是x=，则a为_10抛物线x2=4ay的准线方程是_11抛物线y=x2(a0)的焦点坐标是_12到直线x=2与定点p(2，0)距离相等的点的轨迹是_13在抛物线上，横坐标为4的点到准线的距离为5，则p的值为_14设p点在抛物线x2=12y上，且p到此抛物线的准线的距离为7，则p点的坐标为_15抛物线y2=2x上的两点a、b到焦点的距离之和为5，则线段ab中点到y轴的距离为_16若直线y=kx+1与抛物线y2=x仅有一个公共点，则k的值为_17抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于_b组18以椭圆的中心为顶点，短轴端点为焦点的抛物线方程为_19已知抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左焦点，则抛物线的标准方程为 20一抛物线的焦点坐标、准线方程分别为(，0)，x=a2，则这条抛物线的标准方程为_21抛物线顶点在坐标原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为_22p是抛物线y2=6x上的点，若p到点(，0)的距离为15，则p到直线2x+5=0的距离为_23顶点在原点，对称轴是x轴的抛物线上一点m(3，m)到焦点的距离等于5，则抛物线的准线方程为_24已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线的点(m ，2)到焦点的距离等于4，则m的值为_25一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m时，则水面宽为_m26探照灯反射镜的纵截面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60cm，灯深40cm，则光源到反射镜顶点的距离是 cm27一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面65米，一竹排上一宽4米、高6米的大木箱，问能否安全通过?28过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于a(x1，y1)、b(x2，y2)，则为_29已知抛物线，过此抛物线的焦点f作直线交抛物线于两点，o为坐标原点，则= _30经过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于两点，若，则线段ab的长等于 31过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则=_ 32过抛物线的焦点f作一条直线交抛物线于p、q两点，则=_33等腰直角三角形aob内接于抛物线y2=2px(p0)，o为抛物线的顶点，oaob，则aob的面积是_34直线2x2y+3=0被曲线y=截得的线段中点到原点的距离为_35已知抛物线y2=x，直线l过点(0，1)且与抛物线只有一个公共点，则直线l的方程为_36已知抛物线y2=6x，过点p(4，1)引一弦，使它恰在点p被平分，则这条弦所在直线方程为_37直线y=x+b与抛物线y2=3x交于a、b两点，且线段中点的横坐标为2，则b=_38已知抛物线的顶点为椭圆(ab0)的中心，抛物线的焦点为椭圆的一个焦点，椭圆的离心率，又抛物线与椭圆交于点m()，求抛物线与椭圆的方程39已知点f是抛物线y2=4x的焦点，点a、b是抛物线上的两点，afb是正三角形，求该正三角形的边长40正方形abcd顶点a、b在抛物线y=x2上，c、d在直线y=x4上，求正方形面积41抛物线与过点m(0，1)的直线l相交于a、b两点，o为坐标原点，若直线oa与ob的斜率之和为1，求直线l的方程c组42已知点(x，y)在抛物线y2=4x上，则的最小值是_43f为抛物线y2=4x的焦点，a、b、c为该抛物线上三点，若，则=_44若a(3，2)，f为抛物线y2=2x的焦点，p为抛物线上任意一点，求pf+pa的最小值及取得最小值时的p的坐标45在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的a、b两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点46在平面直角坐标系中，抛物线c的顶点在原点，经过点a(2，2)，其焦点f在轴上(1)求抛物线c的标准方程；(2)求过点f，且与直线oa垂直的直线的方程；(3)设过点的直线交抛物线c于d、e两点，me=2dm，记d和e两点间的距离为，求关于的表达式47已知抛物线c：y=2x2，直线y=kx+2交c于a，b两点，m是线段ab的中点，过m作x轴的垂线交c于点n(1)证明抛物线c在点n处的切线与ab平行；(2)是否存在实数k使，若存在，求k的值；若不存在，请说明理由知识点题号注意点求抛物线的标