江苏省苏州市第五中学高中数学 第二章《圆锥曲线与方程》2.2椭圆学案 新人教版选修21.doc

22 椭圆一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议椭圆的标准方程掌握1让学生自主探究：如何建系可使椭圆的方程形式简单?对焦点在y轴上的标准方程， 能否从焦点在x轴上的椭圆方程的结构特征来猜想出结论?2能熟练地利用待定系数法、定义法或转移代入法求椭圆方程椭圆的几何性质掌握1掌握a， b， c， e的几何意义以及它们之间的关系2通过对方程的讨论， 知道解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的直线与椭圆的位置关系了解 直线与椭圆的位置关系的讨论类似于直线与圆的位置关系的讨论，但由于圆的几何特性，它既可以利用代数法(即联立方程，利用判别式)，也可以利用几何法(即圆心到直线的距离与半径的关系)来处理直线与椭圆位置关系常联立两曲线方程，消元转化为关于x或y的方程，利用判别式结合韦达定理来解决中点弦问题可用点差法来处理二、预习指导1预习目标(1)掌握椭圆的标准方程以及a、b、c间的关系；(2)能熟练地利用待定系数法、定义法或转移代入法求椭圆方程；(3)掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；(4)了解直线与椭圆的位置关系的处理方法；(5)体会数形结合、分类讨论等思想方法2预习提纲(1)回顾必修2中直线与圆的相关知识，回答下列问题：直线的点斜式方程是如何建立的?圆的标准方程是如何建立的?你能根据直线及圆的方程的建立过程，总结出建立曲线方程的一般步骤吗?(2)阅读课本第2833页，回答下列问题：建立适当的坐标系可以使方程的形式简单，你认为要推导椭圆的方程怎样建系比较合适?焦点在x轴上的椭圆的标准方程为_，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为_，其中a，b，c的关系为_；椭圆(ab0)上的点中，横坐标x的范围是，纵坐标y的范围是；椭圆关于_都是对称的，椭圆的对称中心叫做；椭圆(ab0)的四个顶点是a1(_)、a2(_)、b1(_)、b2(_)，线段a1a2、b1b2分别叫做椭圆的；椭圆的焦距与长轴长的比e=，叫做椭圆的(3)课本第29页例1求椭圆的标准方程，这是同学们熟悉的实际模型，采用的方法是_；第29页例2求椭圆的标准方程，采用的方法是_，例2运用方程证实猜想：椭圆可用圆通过压缩变换得到，它揭示了椭圆与圆的内在关系，这种内在联系有利于进行类比探索，请同学们思考课本第35页探究拓展第12题；第32页例1，先由方程研究椭圆的几何性质，再运用几何性质解决有关问题(如作图等)，请同学们体会数形结合的思想方法；第33页例2希望同学们进一步感受圆锥曲线的实际背景，思考为什么长轴端点分别是近地点和远地点?3典型例题(1)椭圆的标准方程待定系数法：已知焦点、焦距或椭圆上一点求椭圆的标准方程：先确定方程的形式，再根据条件求a、b例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，a：b=2：1，c=；(2)焦点在y轴上，a2+b2=5，且过点(，0)；(3)焦距为6，ab=1分析：求椭圆的标准方程首先需确定焦点的位置，然后利用条件通过解方程或方程组解得a、b，从而得出椭圆方程 解：(1)由题意设椭圆方程为：(ab0)，则 a：b=2：1，c=又 a2b2=c2=6， 由得：故椭圆方程为：；(2)由题意设椭圆方程为：(ab0)， 则椭圆过点(，0)， b2=2又 a2+b2=5，a2=3故椭圆方程为： ；(3)若焦点在x轴上，则设椭圆方程为：(ab0)， 焦距为6，a2b2=9 又ab=1， a2=25，b2=16 即椭圆方程为：； 若焦点在y轴上，则可设椭圆方程为： (ab0)，同上可得：a2=25，b2=16，即方程为：故椭圆方程为：或点评：求符合条件的椭圆方程常用待定系数法，在计算a、b的过程中注意准确运用a2=b2+c2这一条件对焦点位置不确定的椭圆方程除了分类讨论以外，也可以设为mx2+ny2=1(m0，n0且mn)的形式例2 已知方程(2k)x2+ky2=2kk2表示焦点在x轴上的椭圆，求实数k的取值范围分析： 二元方程表示椭圆可先将二元方程化成标准式解： 由(2k)x2+ky2=2kk2得： 当2kk20时有： 方程表示焦点在x轴上的椭圆，k2 k0 ，即：1k2 点评：二元方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆首先是要求，其次若，则焦点在x轴上；若，则焦点在y轴上 定义法：正确理解椭圆的定义是熟练运用定义的前提，准确运用定义的关键是注意定义中的限制条件“2af1f2”及对题设条件的正确转化例3 在圆c：内有一点a(1，0)，q为圆c上一点，aq的垂直平分线与c、q的连线的交点为m，求m点的轨迹方程分析：定义法求轨迹方程关键是找到动点满足的条件，本题中m在cq上，且有：ma=mq解：由题意m在线段cq上，从而有cq=mq+mc 又m在aq的垂直平分线上，ma=mq 即：ma+mc=cq=5 a(1，0)、c(1，0)， 点m的轨迹是以a(1，0)、c(1，0)为焦点，a=的椭圆故m点的轨迹方程为：点评：本题在解答过程巧妙地利用点m是aq垂直平分线上的点，将条件转化为：ma=mq，再利用m是cq上的点，结合a、c是定点得出点m满足的条件：ma+mc=5，从而避免了烦琐的解题过程，这在解析几何中会经常遇到，因此在解题过程中应充分挖掘隐含的条件，以达到简化之目的坐标转移法：若一动点(x，y)随着另一动点(x0，y0)变化，且x0，y0的关系已知，则将x0，y0用x、y表示代入已知关系式即可例4 将圆x2+y2=9上任意一点p的横坐标不变，纵坐标变为原来的得到点m，求点m的轨迹方程，并说明它表示什么曲线分析：利用条件得出点m(x，y)的坐标与p(x0，y0)的坐标间的关系，将x0，y0用x，y表示代入方程x2+y2=9即可解：设点m的坐标为(x，y)，点p的坐标为(x0，y0)，则由题意的：x0= x ，y0=3 y 点p(x0，y0)在圆x2+y2=9上， x02+y02=9， x2+9y2=9，即点m的轨迹方程为：故点m的轨迹为：以(2，0)、(2，0)为焦点，a=3的椭圆点评：此例的解题步骤是先写出p点与m点的坐标之间的关系，然后用m点的坐标表示p点坐标并代入p点的坐标所满足的方程，整理即得所求轨迹方程转移代入法的基本步骤是：先求出相关的动点间的坐标关系，并且用从动点的坐标表示主动点的坐标，然后代入主动点的坐标所满足的方程并整理即得所求方程(2)椭圆的几何性质已知椭圆方程得椭圆的几何性质：化方程为标准形式例5 已知椭圆25x2+16y2=400，写出其长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率分析：将椭圆方程化为椭圆的标准方程解：由25x2+16y2=400得：，则a5，b4，故c3故椭圆的长轴长为10，短轴长为8，焦点坐标为(0，3)、(0，3)，四个顶点坐标为(0，5)、(0，5)、(4，0)、(4，0)，离心率e=点评：由椭圆方程求描述椭圆几何性质的量时，应首先将方程化为标准式并判断焦点所在的坐标轴，写出a、b、c三个基本量，再写其他的特征量已知椭圆的几何性质求椭圆的标准方程；一是定型，二是定a、b例6 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两轴之和为20，焦距为4；(2)长轴长是短轴长的3倍，且过点(0，3)；(3)与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为分析：涉及到椭圆标准方程问题必须先考虑焦点位置，然后用待定系数法解：(1)由题意：ab10， a 2b 2=20，解方程组得：a6，b4若焦点在x轴上，则椭圆方程为：；若焦点在y轴上，则椭圆方程为：故椭圆方程为：或(2)由题意得：a3b，若焦点在x轴上，则设椭圆方程为： ，椭圆过点(0，3)，b 2=9，即：椭圆方程为：若焦点在y轴上，则设椭圆方程为： ，椭圆过点(0，3)，b 2=1，即：椭圆方程为：故椭圆的标准方程为：或(3)由题意得：c又e =，a5，b 2= a 2c 2=20，若焦点在x轴上，则椭圆方程为：，若焦点在y轴上，则设椭圆方程为：，故椭圆的标准方程为：或 (3)直线与椭圆的位置关系直线与椭圆位置关系的讨论类似于直线与圆的位置关系的讨论，但由于圆的几何特性，它既可以利用代数法(即联立方程，利用判别式)，也可以利用几何法(即圆心到直线的距离与半径的关系)来处理直线与椭圆位置关系常联立两曲线方程，消元转化为关于x或y的方程，利用判别式结合韦达定理来解决中点弦问题可用点差法来处理例7 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=1相交于a、b两点，且ab=，连结ab的中点与原点的直线的斜率为，求此椭圆方程分析：焦点所在坐标轴无法确定时，设椭圆方程为：ax2+by2=1(a，b0)解：设椭圆方程为：ax2+by2=1(a，b0)，a(x1，y1)、b(x2，y2)，ab的中点p(x0，y0)由得：(a+b)x22bx+b1=0 直线与椭圆交于a、b两点， =4(a+bab)0且 |ab|= a+bab=(a+b)2又，且ab中点与原点连结的斜率为故，即b=a解方程组得：检验知： 故椭圆方程为：点评：涉及到弦长、弦的中点问题时，常设出弦的端点坐标例8 已知椭圆，直线，若椭圆上存在两个不同的点关于该直线对称，求的取值范围分析：若存在关于直线成轴对称，则直线是线段的垂直平分线要根据这几个条件，寻求它们与所求之间的联系，设计自己的解题方案，然后再实施解题方案 解：法一 假设存在关于直线对称，代入化简得： 设的中点为m，则 将m坐标代入直线得： 法二 假设存在关于直线对称，它们的中点为则： ，代入椭圆方程得：，令 法三 ，在椭圆内 点评：法一先利用求出的范围，再找到的关系，从而求出的取值范围法二法三点差法是通过设弦的端点坐标代入曲线方程，然后将两式作差得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率间的关系，在处理中点弦时较为简便，但在求弦中点轨迹时无法确定取值范围，需按几何意义确定4 自我检测(1)若动点p到点f1(3，0)、f2(3，0)的距离之和为10，则动点p的轨迹方程是_(2)若动点p到点f1(0，2)、f2(0，2)的距离之和为12，则动点p的轨迹方程是_(3)已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 _(4)若椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离恰等于该椭圆的焦距，则该椭圆的离心率为_(5)已知椭圆的离心率为，则m的值为_三、课后巩固练习a组1有下列命题：平面内与两个定点f1、f2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆；平面内与两个定点f1、f2的距离和等于常数(大于f1 f2)的点的轨迹是椭圆；方程(ac0)表示焦点在x轴上的椭圆；方程(a0，b0)表示焦点在y轴上的椭圆其中真命题的序号为_2椭圆上一点p到焦点f1的距离等于6，则点p到另一个焦点f2的距离是 3椭圆9x2+4y2=1的焦点坐标为 ，焦距为 4已知椭圆的两个焦点为f1(2，0)、f2(2，0)，并且点m(0，2)在该椭圆上，则其方程为 _ 5方程，化简的结果是_6设f1、f2为椭圆16x2+25y2=400的焦点，p为椭圆与y轴的一个交点，则p到f1、f2的距离和为 7已知f1、f2是椭圆的两个焦点，过f1的直线与椭圆相交于a、b两点，则 的周长为_8若椭圆经过两点(2，0)、(0，1)，则椭圆的标准方程为 9两个焦点的距离为8，椭圆上一点p到两焦点的距离的和等于是10，则椭圆的标准方程为 10abc的两个顶点坐标a(4，0)、b(4，0)，abc的周长是18，顶点c的轨迹方程为 11将圆x2+y2=4上任意一点p的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到点q，则动点q的轨迹方程是_12已知圆x2+y2=4，从这个圆上任意一点p向x轴作垂线段pp，则线段pp的中点m的轨迹方程是_13若椭圆有两个焦点f1 (4，0)、f2 (4，0)，过f1的直线与椭圆交于a、b两点当abf2的周长为20时椭圆方程为_ _14椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是_15椭圆的长轴长为 ，短轴长为 16椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则长轴长是短轴的_倍17与椭圆x2+ky2=2(0k1)， k越接近，椭圆越扁，k越接近，椭圆越接近圆18设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为_19椭圆的一个焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为_20设为椭圆的两个焦点，以为圆心、且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为m，若直线与圆相切，则该椭圆的离心率为_ 21椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为a，在椭圆上存在点p满足线段ap的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是_22中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是_23椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离是5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是_24已知f1、f2为椭圆(ab0)的两个焦点，过f2作椭圆的弦ab，若af1b的周长为16，椭圆离心率，则椭圆方程为_ 25经过椭圆(ab0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为_26求出符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a=，b=1焦点在x轴上；(2)a+c=10， ac=4；(3)焦距为4，过p(3，2)，焦点在x轴上27已知椭圆的焦点是f1(1，0)、f2(1，0)，p为椭圆上一点，且f1 f2是pf1和pf2的等差中项试求椭圆的标准方程28求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点，且经过点m 的椭圆的标准方程29已知椭圆过点m(4，)、n(2，3)，求椭圆的标准方程30abc中，已知顶点b(2，0)、c(2，0)，顶点a满足：sinb+sinc=(1)求abc的周长；(2)求点a的轨迹方程31求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点为(2，0)，过m(0，2)； (2)过点(0，2)，(，0)32求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦距为8，离心率为08；(2)焦点与长轴较近端点距离为，焦点与短轴两端点的连线互相垂直33已知椭圆的对称轴是坐标轴，o为坐标原点，f是一个焦点，a是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cosofa，求椭圆方程b组34椭圆ax2+by2+ab=0 (ab0)的焦点坐标为_35方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为 36已知，方程，表示焦点在x轴上的椭圆，则的取值范围为_37椭圆的焦距为2，则m的值等于_38已知椭圆的离心率，则m的值为_39若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点是(0，4)，则k的值为_40过点f1(0，2)且与圆x2+(y+2)2=36内切的动圆圆心的轨迹方程为_41我国发射的“神舟”五号载人飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面为m千米，远地点距地面为n千米，地球半径为r千米，则飞船运行轨道的短轴长为_42设椭圆的长轴两端点为m、n，异于m、n的点p在椭圆上，则pm、pn的斜率之积为_ 43已知椭圆的左右顶点分别为、为椭圆上任意一点，且直线的斜率的取值范围是，则直线的斜率的取值范围是 44abc中，a、b坐标分别为(6，0)、(6，0)，边ac、bc所在直线斜率之积为，求顶点c的轨迹方程 45若焦点是(0，)的椭圆截直线3xy2=0所得的弦的中点的横坐标为，则该椭圆方程为_46直线y=2x+m与椭圆有两个公共点，则实数m的取值范围是_47过椭圆x2+2y2=4的左焦点f且倾斜角为的直线l被椭圆截得的弦长为_48直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4截得的弦的中点坐标为_49椭圆x2+2y2=1中斜率为2的平行弦的中点轨迹方程为_50过点p(1，1)作椭圆的弦ab，则弦ab的中点的轨迹方程为_51椭圆的两个焦点f1、f2在x轴上，以f1f2为直径的圆与椭圆的一个交点为(3，4)，求椭圆标准方程 52点p是椭圆上一点，以点p以及焦点f1、f2为顶点的三角形的面积等于8求点p的坐标53已知x轴上的一定点a(1，0)，q为椭圆上的动点，求aq中点m的轨迹方程54已知定圆c1：x2+y2+4x=0，圆c2 ： x2+y24x60=0，动圆m和定圆c1外切和圆c2内切，求动圆圆心m的轨迹方程55已知椭圆上一点p，f1、f2为椭圆的焦点，若，求的面积56过点p(1，1)作椭圆的弦，并使p为弦的中点，求这弦所在直线方程，并求弦长57过椭圆的左焦点作直线l和椭圆相交于a、b两点，若弦长恰好等于短轴长，求直线l的方程 c组58已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设o为坐标原点，点a、b分别在椭圆和上，求直线的方程59如图，已知椭圆c：的左右焦点分别为f1、f2，点b为椭圆与y轴的正半轴的交点，点p在第一象限内且在椭圆上，且pf2与x轴垂直，(1)求椭圆c的方程；(2)设点b关于直线的对称点e（异于点b）在椭圆c上，求m的值。60设椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上且异于两点，为坐标原点(1)若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；(2)若，证明直线的斜率满足61已知f1、f2分别是椭圆的左、右焦点，a、b分别是椭圆与x轴的两个交点，p为椭圆上任一点，求证：以pf2为直径的圆与以ab为直径的圆内切62已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 foapqyx63设椭圆c：的左焦点为f，上顶点为a，过点a与af垂直的直线分别交椭圆c与x轴正半轴于点p、q，且 (1)求椭圆c的离心率；(2)若过a、q、f三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆c的方程 64已知中心在原点o，焦点在x轴上的椭圆c的离心率为，点a、b分别是椭圆c的长轴、短轴的端点，点o到直线ab的距离为(1)求椭圆c的标准方程； (2)已知点e(3，0)，设点p、q是椭圆c上的两个动点，满足epeq，求 的取值范围 65若椭圆ax2+by2=1(a0，b0)与直线x+y=1交于a、b两点，m为ab的中点，直线om的斜率为2，且oaob(o为坐标原点)，求椭圆的方程66如图，设椭圆的中心为原点o，长轴在x轴上，上顶点为a,左右焦点分别为，线段的中点分别为，且 是面积为4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过做直线交椭圆于p,q两点，使，求直线的方程知识点题号注意点求椭圆的标准方程1，4，813，2033，40，51，5354，63注意焦点位置，灵活应用定义判断轨迹从而求轨迹方程椭圆定义的应用2，57， 41， 52，55，61灵活应用椭圆的定义处理焦点三角形问题椭圆的几何性质3，1416，3439，注意椭圆的焦点位置，两解的情况椭圆离心率1721，62灵活应用椭圆的定义直线与椭圆的位置关系4550，5658，65，66点差法处理与弦中点相关问题时注意直线与椭圆相交的前提综合问题4244，52，59，60，64应用代数方法解决椭圆综合问题四、自学心得五、拓展视野椭圆是到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹，这两个定点叫做椭圆的焦点椭圆能不能用折纸法作出呢?先用圆规在纸上画一个圆，小心地沿着圆周剪下一张圆形纸片来，设圆心是o，在圆内任取一点f(不能取