数学建模第五讲.doc

内 容备 注数学建模 课程教案讲课题目： 第五讲 微分方程模型 目的要求： 了解微分方程在数学建模中应用 重点难点： 微分方程模型在数学建模中的应用 方法步骤： 理论讲授 器材保障： 多媒体设备 教学内容与时间安排: 微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技、工程、经济、军事、生态、社会等各个领域有着广泛的应用。因此，如何对实际问题建立起微分方程就成了重要的，而且是和解方程截然不同的问题，这就是微分方程的建模问题。这些问题常常是困难的，但也并非是“无章可循”，事实上运用微分方程解决实际问题，常有一定的模式。所谓模式就是问题所遵循的共性规律，或者分析实际问题时所采用的共同方法。建立微分方程模型需对研究对象作具体分析，一般有以下三种方法：一是根据问题所遵循的规律（如电学、热学、力学、物理学）建模；二是用微元法建模，即分析微元之间的关系式；三是用模拟近似法建模。建立微分方程模型只是解决问题的第一步。通常要求出方程的解来说明实际现象，并用以检验。如果能得到解析形式的解固然便于分析和应用，但许多方程是求不出解析解的，因此研究其稳定性和数值解法也是十分重要的方法。 5.1微分方程的简单应用问题 40分钟 例1（物体达到的最大高度）在地面上以初速度铅直向上发射一质量为m的物体，设地球引力与物体到地心的距离平方成反比，求物体可能达到的最大高度。若物体脱离太阳系，则应为多少？模型建立 记地球半径为R，假设空气阻力不计。 设在t时刻物体上升的高度为（即离开地面的高度），则根据Newton万有引力定律知，物体受地球的引力为 （） (5.1.1)其中为比例系数。 因为当物体在地面上时，即 故 所以 又物体在上升过程中满足Newton第二定律 所以 整理得 （5.1.2）此即为物体运动过程中的数学模型，它是一个二阶微分方程。 模型求解 令 则 以之代入（5.1.2）式，有 分离变量得 积分得 再代入初始条件，可得 故 由于物体达到最大高度时，所以由 解得物体的最大高度为 （5.1.3） 如果物体要脱离地球引力而进入太阳系，必须，由（5.1.3）式知，此时必有，所以应取 （5.1.4） 将代入（5.1.4）式，可得 即应为第二宇宙速度。 思考题：若有空气阻力，如何建立其数学模型。例2（液体的浓度稀释问题）在甲、乙两个大桶内各装有100L的盐水（两桶均未装满），其浓度均为5g/L。现用一根细管将净水以2L/min的速度输入甲桶，搅拌均匀，同时又将混合液仍以2L/min的速度用细管输入乙桶（两桶容积足够大，在稀释过程中不会溢出）；然后用细管以1L/min的速度从乙桶将混合液输出。问时刻t乙桶盐水的浓度是多少？ 模型建立与求解 设分别表示t时刻甲、乙两桶内盐的数量。 先分析甲桶：任取一段时间，则该时段甲桶内盐的改变量为 两边同除以，并令，得初值问题 （5.1.5）这就是甲桶中盐含量的数学模型。 对（5.1.5）式分离变量并积分，可得 它表示甲桶内盐的变化，显然甲桶中盐水在稀释。 现分析乙桶：同理在任意时间段内乙桶内盐的改变量为两边同除以，并令，得初值问题 （5.1.6）这就是乙桶中盐含量的数学模型。 将代入（3.1.6）并整理得 （5.1.7）求解此一阶线性微分方程，得 所以任意时刻，乙桶内盐水的浓度为例3（凶杀作案时间的推断问题）某天在一住宅发生一起凶杀案，下午16：00刑侦人员和法医赶到现场，立即测得尸体温度为,室内环境温度为。已知在环境温度状况下尸体在最初2小时其温度下降，若假定室内环境基本上为恒温，试推断这一凶杀作案的时间。问题分析 该问题归结为物理上的冷却现象，需要运用Newton冷却定律“物体在介质中的冷却速度同该物体温度与介质温度之差成正比”来解决。由于速度刻画的是物体在某时刻的变化率，涉及导数的概念，因此反映在数学模型上必然可以运用微分方程来建模。模型建立 现就一般情形考虑，记为时刻t物体的温度，为初始时刻物体的温度（本例中为受害者被害时的体温），为介质（环境）温度，则由Newton冷却定律可得一阶线性微分方程模型 (5.1.8)其中为比例系数，由物体和介质的性质来决定，而负号则表示温度是下降的。模型求解 对数学模型（5.1.8）分离变量法求解，易得 （5.1.9）这就是物体冷却过程中物体温度随时间变化的函数关系。在根据物体和介质的性质确定值后，利用与值已知的条件，由（5.1.9）式就可以得到便于应用的形式 （5.1.10）下面介绍确定参数的两种方法。方法一 利用已知介质（环境）温度下物体在最初时间段其温度下降度数为这一条件来确定。此时有将其代入到（5.1.9）式中，有解得 于是得 （5.1.11） （5.1.12）方法二 利用在现场过一段时间增加一次温度测定从而增加一个条件的方法来确定，记为在时刻物体再一次被测定的温度，将其代入到（5.1.9）式中，有解得 于是得 （5.1.13） （5.1.14）显然，方法一是方法二的特殊情形，如果已经有通过试验而列出的在不同介质（环境）温度状况下物体在最初时间段其温度下降的度数表，那么通过查这种表立知时刻以及温度下降速度，因而就利用方法一来确定，可以减少再一次测定物体温度的手续。 现在对本例运用方法一求解计算，将具体数据（案发时刻的人梯的正常体温）（室内环境（介质空气）温度）（尸体在最初2小时其温度下降的度数）（刑侦人员和法医赶到现场第一次测得的尸体温度），（分钟）代入（5.1.12）式，得（分钟）于是结果表明，这一凶杀案致受害者死亡的案发时间大约在当天上午7：31左右。 例4（马王堆一号墓入葬年代的测定问题）湖南省长沙市马王堆一号墓于1972年8月发掘出土，其时测得出土的木炭标本中碳14平均原子蜕变数29.78次/分钟，而新烧成的同种木炭标本中碳14（C14）平均原子蜕变数38.37次/分钟，又知碳14的半衰期为5730年，试由此推断入葬的大致年代。问题分析 放射性元素衰变的速度是不受环境影响的，它总是和该元素当前的量成正比，运用碳14测定文物或化石年代的方法是基于下面的理由：（1）宇宙射线不断轰击大气层，使大气层中产生碳14而同时碳14又在不断衰变，从而大气层中碳14含量处于动态平衡中，且其含量自古至今基本上是不变的；（2）碳14被动植物体所吸收，所以活着的生物体由于不断的新陈代谢，体内的碳14也处于动态平衡中，其含量在物体中所占的百分比自古至今都是一样的；（3）动植物的尸体由于停止了从环境中摄取碳14，从而其体内碳14含量将由于衰变的不断减少，碳定年代法就是根据碳14的减少量来判断物体的大致死亡时间。模型建立 设时刻生物体中碳14的含量为，放射性物质的半衰期（即放射性物质的原子数衰减一半所需的时间）为，生物体死亡时间为，则由放射性物质衰变规律得数学模型 （5.1.15）其中称为衰变系数，由放射性物质所决定，为生物体在死亡时刻时的碳14含量。模型求解 对所得的一阶线性微分方程模型（5.1.15）采用同变量分离法求解，得由于时，有代入上式，有所以得 （5.1.16）这就是生物体中碳14的含量随时间衰变的规律，由之易解得 （5.1.17）将所得的数学模型的一般解应用于本例，此时以 ， (新木炭标准中碳14原子蜕变数)， （出土的木炭标本中碳14原子蜕变数）代入到（5.1.17）式,得于是得结果表明,马王堆墓入葬年代大约在公元前123年左右的西汉中期，该结论与马王堆出土文物的考证结果相一致。本例中所显示出的运用碳14衰变来测定文物或化石年代的方法叫做碳定年代法。5.2 减肥的数学模型 25分钟一、问题的提出随着生活水平的提高，普通百姓减肥之风日盛，但是众多的减肥食品几乎让人不知所措，有些甚至对身体产生危害，迫切需要考虑如何建立减肥的数学模型以便进行指导？二、问题分析各种族不同性别的人都有自己的体重标准。对亚洲人来说，超过标准体重的20%视为肥胖，肥胖从某种意义上就是脂肪过多。如果吸收了过多的热量，则这些热量就会转化为脂肪而使体重增加。为了减肥似乎应该不吃或少吃，但为了维持生命，就必须摄入一定的热量以进行必要的新陈代谢、学习、工作。因此，减肥应基于对饮食、新陈代谢、学习、工作这些关系的正确分析上，选择适当的方法进行。减肥模型的建立就由此入手。三、模型假设 （1） 设某人每天摄取的热量是a J，其中b J用于新陈代谢（自动消耗），而从事工作、生活每天每kg体重消耗J的热量, 进行体育锻炼每天每kg体重消耗J的热量; （2） 某人以脂肪形式储存的热量百分百有效，而1 kg脂肪所含热量是42000J; （3）设体重是的连续可微函数。四、模型建立 显然，某人每天体重的变化等于输入热量所产生的体重减去输入热量所消耗的体重，这里输入热量是指扣除了新陈代谢之外的净吸收热量，输出热量是从事工作、生活、进行体育锻炼的总消耗量，由于1 kg脂肪所含热量是42000J，故某人 每天净吸收脂肪量=，每天每kg体重净消耗脂肪量=，进而知在到时间内体重的变化为 由此得到体重变化的数学模型为 （5.2.1）五、模型求解 运用变量分离法，解方程（5.2.1），有利用初始条件得于是得 （5.2.2） 注意到 （5.2.2）两端同号，指数因式为正，因此与同号，故有 解得 （5.2.3）下面作进一步的分析，对（5.2.3）求导得 （5.2.4）由（5.2.1）、（5.2.3）、（5.2.4）可以对减（增）肥效果分析如下： （1）若，即每天净吸收大于当初总消耗，则体重增加； （2）若，即每天净吸收小于当初总消耗，则体重减少； （3）若，即每天净吸收deng于当初总消耗，则体重不变； （4）由（5.2.3）知 上述分析结果表明，只要适当控制a（进食）、b（新陈代谢）、（生活）, （体育锻炼），要使体重控制在某个范围是可能的，而且从数学上看，衰减得很快，一般在有限时间内（3-4个月）体重就近似等于。因此要减肥，要减少a，增大b、。有必要指出，市场上某些减肥药可能在b（新陈代谢）上做文章，从而具有某种速效，然而人们的新陈代谢不能违反生理规律，所以某些药物强制性大幅度改变人们的新陈代谢对人们的身体造成了不良后果。正确的减肥策略最主要是有一个良好的饮食、工作、锻炼的习惯，即要适当控制a及。当然，对于少量肥胖者和运动员来说，研究不伤身体的新陈代谢的改变也是必要的。5.3 名画“Emmaus (艾牟斯)的信徒们”伪造案的侦破 30分钟一、 历史背景二战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹的合作者，于1945年5月以通敌罪逮捕了一名三流画家Van Meegren(范.梅格伦)，此人曾将荷兰17世纪著名绘画家Jan Vermeer的名画盗卖给德寇。可是，Van Meegren被捕后于同年7月宣称他从没出卖过荷兰的利益，所有画是伪造的。为了证明，他开始在牢内作画，当快要完成时，他得悉通敌罪会变为伪造罪，为逃避判决，他拒绝完成，指望别人不会发现他使复制品老化的秘密。为审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家组成的陪审团。科学家采用了当时最先进的科学方法，终于在其中几幅画发现了本世纪初才有的某些有机化合物（酚醛类人工树脂），判定几幅画确系伪造，并由此判定Van Meegren伪造罪成立，判刑一年，Van Meegren在监狱心脏病突发，于1947年12月30日去世。事情并未到此结束，其余的画是不是赝品？事实上，在此之前有的画已经被著名鉴定家认定为真迹，“Emmaus的信徒们”被Rembradt以高达17万美元买去。专门小组解释为这些伪造品是Van Meegren开始伪造时为了成名之作，当他有了杰作后，后来就不用心了。这种解释不能令怀疑者满意他们要求用科学方法证明。这一问题悬而未决了20年，直到1967年，Carnegie Mellon University(卡内基.梅伦大学) 的科学家才通过建立一阶常微分方程数学模型，证明“Emmaus的信徒们”确系赝品，了结了这一公案。 二、测定含放射性元素材料年龄的原理测定油画（岩石，化石等）的原理关键是本世纪初发现的放射性现象。英国著名物理学家Rutherford(卢瑟福)在本世纪初发现：某些放射性元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，并且物质的放射性与所存在物质的原子数称正比。记N(t )为t时刻存在的原子数，则为单位时间内蜕变的原子数，因此有 （5.3.1）其中是衰变常数，越大，物质蜕变的越快，的量纲是时间的倒数。物理学中用半衰期T来衡量物质的蜕变率，定义为给定数量的放射性原子蜕变一半所需时间。通常通过来计算T，假设，于是得初值问题 （5.3.2）其解为 或 （5.3.3）由（5.3.3）两边取对数得 （5.3.4）如果，则 许多物质的半衰期已经确定如碳-14的半衰期年；铀-238的半衰期为45亿年。“放射性测定年龄法”的根据是这样的，由（5.3.4）解出 如果是物质最初形成或制造出来的时间，则物质的年龄是，在大多数情况下，已知或能够算出并且易知N的值。因此，只要知道，便可确定物质年龄。然而，这正是问题的难处，因为通常不知。不过。在某些情况下，或者可以间接确定，或者可以知道的一些适当范围。下面介绍对油画间接确定的方法。三、有关的化学知识地壳中几乎所有元素都含有少量铀，岩石中的铀蜕变为另一种放射性元素，该放射性元素又蜕变为一系列元素，最后变为无放射性的铅。铀不断提供这一系列中后面各种有还俗的来源，使得当它们蜕变时就有后面的元素予以补充。所有油画中都含有少量放射性元素铅-210以及更少量的镭-226，因为2000多年来画家所用的颜料铅白（氧化铝）都含有这些元素。铅白是由金属铅制成的，而金属铅又是从铅矿石中化炼而成的。在这一过程中，矿石中的铅-210会同金属铅一起练出，而90%-95%的镭及其蜕变后裔则称废渣被除去。这样铅-210的绝大部分来源被切断，它便以22年的半衰期迅速蜕变，这个过程一直进行到铅白中的铅-210同所余少量的镭再度处于放射性平衡为止，这时铅-210的蜕变恰好被镭的蜕变所补足而得到平衡。四、油画中放射性物质含量的数学模型 艺术家用铅白作颜料之一已2000多年，铅白中含微量的放射性铅-210及少量镭-226，铅白又是铀蜕变的，过程如下铀-238 T=45亿年 镭-226 T=1600年铅-206 T=22年 铅-210 无放射性 有放射性 通过以上分析，我们可由油画中铅-210的量来确定油画年龄。先建立关于铅-210含量的数学模型。由于我们鉴定几幅不超过三百年的画，为使模型简单，作如下简化、假设：（1）每克铅白中的镭在每分钟蜕变率r是一常数，因为镭的半衰期T=1600a，经过300a左右铅白中的镭至少还有原量的90%以上（微分方程法）；（2）铅的半衰期T=138d容易测定，铅-210半衰期T=22a，对要鉴别应有300a历史的颜料来说，每克铅白中钚每分钟蜕变数与铅-210蜕变数相差极微，以至事实上无法区分，因而我们认为两者相等。记为时刻每克铅白所含铅-210数量，为制造时刻每克铅白所含铅-210数量，r为镭-226在每克铅白中每分钟蜕变量，是铅-210的衰变常数，则油画中铅-220含量应满足 （5.3.5）其解为 （5.3.6）在（5.3.6）中，由假设及的可测性，只要知道，便可以算出，从而可确定油画的年龄，但既不能直接测出，计算也有困难，下面介绍解决这一提困难的方法。五、鉴别油画年龄的方法区别17世纪的油画和现代赝品是基于下述简单事实：如果颜料的年头比铅的半衰期22年长得多，那么颜料中铅-210的放射作用量几乎接近颜料中镭的放射作用量，即两者在每克铅白中每分钟蜕变的原子数应非常接近。另一方面，如果油画是现代赝品（20a左右），那么铅-210