江苏省南通市启东中学高二数学下学期期中试题 理（含解析）苏教版.doc

2012-2013学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上1（5分）（2012南京二模）已知，其中a，br，i为虚数单位，则a+b=4考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件专题：计算题分析：化简复数方程为复数相等的形式，求出a，b即可得到a+b的值解答：解：因为，所以a+3i=1+bi，所以a=1，b=3，所以a+b=4故答案为：4点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力2（5分）（理）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（3!）4考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题；概率与统计分析：完成任务可分为两步，第一步，三口之家内部排序，第二步，三家排序，由分步计数原理计数公式，可得结论解答：解：第一步，分别将三口之家“捆绑”起来，共有3!3!3!种排法；第二步，将三个整体排列顺序，共有3!种排法故不同的作法种数为3!3!3!3!=（3!）4故答案为：（3!）4点评：本题考查分步计数原理，考查学生的计算能力，正确分步是关键3（5分）已知随机变量x服从二项分布b（n，p），且e（x）=12，v（x）=8，则n=36p=考点：二项分布与n次独立重复试验的模型专题：概率与统计分析：根据服从二项分布的随机变量其期望、方差公式可得关于n、p的方程组，解出即可解答：解：因为随机变量x服从二项分布b（n，p），所以np=12，np（1p）=8，联立解得n=36，p=，故答案为：36；点评：本题考查二项分布及随机变量的期望、方差，属基础题，熟记服从二项分布的随机变量的期望、方差公式是解决问题的关键4（5分）若ab0，则与的大小关系是考点：不等关系与不等式专题：证明题分析：平方作差可得：（）2（）2，化简可判其小于0，进而可得结论解答：解：（）2（）2=（a+b2）（ab）=2b2=2（），ab0，2（）0，即（）2（）20，故答案为：点评：本题考查不等关系与不等式，平方作差是解决问题的关键，属基础题5（5分）若复数（a+i）2对应的点在y轴的负半轴上（其中i是虚数单位），则实数a的值是1考点：复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：（a+i）2对应化成代数形式，确定其对应的点，根据点的位置，列出相应的关系式，求出a解答：解：（a+i）2=a21+2ai，对应的点（a21，2a），因为在y轴的负半轴上，所以，解得a=1故答案为：1点评：本题考查复数的代数运算，复数的几何意义是基础题6（5分）两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有20种（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题；概率与统计分析：根据分类计数原理，所有可能情形可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果解答：解：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有2=6种情形；第三类：五局为止，共有2=12种情形；故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形故答案为：20点评：本题主要考查了分类和分步计数原理的运用，组合数公式的运用，分类讨论的思想方法，属基础题7（5分）函数的单调减区间为（0，考点：利用导数研究函数的单调性专题：计算题分析：先利用导数运算公式计算函数的导函数y，再解不等式y0，即可解得函数的单调递减区间解答：解：= （x0）由y0，得x，由y0，得0x，函数的单调减区间为（0，故答案为（0，点评：本题主要考查了导数的运算和导数在函数单调性中的应用，利用导数求函数单调区间的方法，解题时注意函数的定义域，避免出错8（5分）在的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中的有理项共有3项考点：二项式系数的性质专题：概率与统计分析：先求得展开式的前三项的系数，再根据前三项的系数成等差数列，求得n=8，依据展开式的通项公式可得r=0，4，8 时，展开式为有理项，从而得出结论解答：解：展开式的前三项的系数分别为 、，且前三项的系数成等差数列，故有 =1+，即 n=1+，解得n=8，或n=1（舍去）故展开式的通项公式为 tr+1=要使展开式为有理项，r应是4的非负整数倍，故r=0，4，8，共有3个有理项，故答案为 3点评：本题主要二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题9（5分）（2012江苏三模）曲线在x=1处的切线与直线x+by+1=0垂直，则实数b的值为3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；导数的综合应用分析：先对已知曲线方程求导，根据导数的几何意义可求在x=1处的切线斜率，再根据直线垂直的斜率关系可求b解答：解：对已知函数求导可得，当x=1时，f（1）=3曲线在x=1处的切线斜率k=3在x=1处的切线与直线x+by+1=0垂直即b=3故答案为：3点评：本题主要考查了函数的导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系的应用，属于基础试题10（5分）利用数学归纳法证明“”，从n=k推导n=k+1时原等式的左边应增加的项数是项考点：数学归纳法专题：计算题分析：n=k时，最后一项为，n=k+1时，最后一项为，由此可得由n=k变到n=k+1时，左边增加的项即可解答：解：由题意，n=k时，最后一项为，n=k+1时，最后一项为由n=k变到n=k+1时，左边增加了，故答案为：点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，找出规律是解题的关键，属于基础题11（5分）平面内有n条直线，任两条直线不平行，任三条直线不共点，它们把平面划分成f（n）个互不相交的区域，则f（n）的表达式是f（n）=用n表示）考点：归纳推理专题：计算题分析：通过作图得，每一项与它前面一项的差构成一个等差数列，再由累加法即可求出通项f（n）解答：解：通过作图，可知f（3）=7，f（4）=11，f（5）=16，从中可归纳推理，可得出f（n）=f（n1）+n，则f（n）f（n1）=n，故可得f（n1）f（n2）=n1，f（n2）f（n3）=n2，f（5）f（4）=5，f（4）f（3）=4，将以上各式累加得：f（n）f（3）=n+（n1）+（n2）+5+4=，则有f（n）=+f（3）=+7=故答案为：点评：本题考查归纳推理，以及数列递推式，属于基础题12（5分）在abc中，若abac，ac=b，bc=a，则abc的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体sabc中，若sa、sb、sc两两垂直，sa=a，sb=b，sc=c，则四面体sabc的外接球半径r=考点：进行简单的合情推理专题：压轴题；探究型分析：这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，abc中，若abac，ac=b，bc=a，则abc的外接圆半径，我们可以类比这一性质，推理出在四面体sabc中，若sa、sb、sc两两垂直，sa=a，sb=b，sc=c，则四面体sabc的外接球半径r=解答：解：由平面图形的性质类比推理空间图形的性质时一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由圆的性质推理到球的性质由已知在平面几何中，abc中，若abac，ac=b，bc=a，则abc的外接圆半径，我们可以类比这一性质，推理出：在四面体sabc中，若sa、sb、sc两两垂直，sa=a，sb=b，sc=c，则四面体sabc的外接球半径r=故答案为：点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）13（5分）（2012盐城一模）若关于x的方程kx+1=lnx有解，则实数k的取值范围是考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性专题：计算题分析：设f（x）=lnxkx1，将方程kx+1=lnx有解问题转化为函数f（x）有零点问题，进而利用导数研究函数f（x）的单调性和极值，找到使函数有零点的k的范围解答：解：设f（x）=lnxkx1则f（x）=k= （x0）若k0，则f（x）0，f（x）为（0，+）上的增函数，x0时，f（x），f（x）有且只有一个零点，即此时方程kx+1=lnx有解若k0，则f（x）在（0，）上为增函数，在（，+）上为减函数要使函数f（x）有零点，需f（）0即lnk20解得：k0k时，f（x）有零点，即此时方程kx+1=lnx有解综上所述：k故答案为 （，点评：本题主要考查了方程的根与函数零点间的关系，构造函数解决零点存在性问题的方法，导数在函数单调性和极值中的应用，转化化归的思想方法14（5分）不等式a2+8b2b（a+b）对于任意的a，br恒成立，则实数的取值范围为8，4考点：函数恒成立问题专题：计算题分析：由已知可得a2ba（8）b20，结合二次不等式的性质可得=2+4（8）=2+4320，可求解答：解：a2+8b2b（a+b）对于任意的a，br恒成a2+8b2b（a+b）0对于任意的a，br恒成即a2（b）a+（8）b20由二次不等式的性质可得，=2+4（8）=2+4320（+8）（4）0解不等式可得，84故答案为：8，4点评：本题主要考查了二次不等式的恒成立问题的求解，解题的关键是灵活利用二次函数的性质二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）（2011南通一模）用数学归纳法证明：考点：数学归纳法专题：证明题分析：先证明n=1时，结论成立，再设当n=k（kn*）时，等式成立，利用假设证明n=k+1时，等式成立即可解答：证明：（1）当n=1时，左边=123=6，右边=左边，等式成立（2）设当n=k（kn*）时，等式成立，即 则当n=k+1时，左边=123+234+k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）n=k+1时，等式成立由（1）、（2）可知，原等式对于任意nn*成立点评：本题考查数学归纳法证明等式问题，证题的关键是利用归纳假设证明n=k+1时，等式成立，属于中档题16（14分）已知关于x的方程：x2（6+i）x+9+ai=0（ar）有实数根b（1）求实数a，b的值（2）若复数z满足|abi|2|z|=0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值考点：复数相等的充要条件；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算分析：（1）复数方程有实根，方程化简为a+bi=0（a、br），利用复数相等，即解方程组即可（2）先把a、b代入方程，同时设复数z=x+yi，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，再数形结合，求出z，得到|z|解答：解：（1）b是方程x2（6+i）x+9+ai=0（ar）的实根，（b26b+9）+（ab）i=0，解之得a=b=3（2）设z=x+yi（x，yr），由|33i|=2|z|，得（x3）2+（y+3）2=4（x2+y2），即（x+1）2+（y1）2=8，z点的轨迹是以o1（1，1）为圆心，2为半径的圆，如图所示，如图，当z点在oo1的连线上时，|z|有最大值或最小值，|oo1|=，半径r=2，当z=1i时|z|有最小值且|z|min=点评：本题（1）考查复数相等；（2）考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方法是有一定难度的中档题目17（15分）己知下列三个方程 x2+4ax4a+3=0，x2+（a1）x+a2=0，x2+2ax2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围考点：反证法与放缩法专题：计算题分析：至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程 x2+4ax4a+3=0，x2+（a1）x+a2=0，x2+2ax2a=0至少有一个方程有实根成立的实数a的取值范围此种方法称为反证法解答：解：假设没有一个方程有实数根，则：16a24（34a）0（1）（a1）24a20（2）4a2+8a0（3）（5分）解之得：a1（10分）故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：a|a1或a点评：本题考查反证法，解题时要合理地运用反证法的思想灵活转化问题，以达到简化解题的目的，在求解如本题这类存在性问题时，若发现正面的求解分类较繁，而其对立面情况较少，不妨如本题采取求其反而成立时的参数的取值范围，然后求此范围的补集，即得所求范围，本题中三个方程都是一元二次方程，故求解时注意根的判别式的运用18（15分）（2012盐城三模）一个袋中装有大小和质地都相同的10个球，其中黑球4个，白球5个，红球1个（1）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为x，求随机变量x的概率分布和数学期望e（x）；（2）每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回求3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率专题：综合题分析：（1）确定随机变量x的取值，求出相应的概率，即可得到随机变量的分布列及数学期望；（2）3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球，包括3个黑球，2个黑球1个白球或2个黑球1个红球，由此可得结论解答：解：（1）随机变量x的取值为0，1，2，3，则p（x=0）=；p（x=1）=；p（x=2）=；p（x=3）=x的分布列为 x 0 1 2 3 pex=0+1+2+3=；（2）记3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数为事件a，则p（a）=+=点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键19（16分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx在x=1处的切线方程为6x2y1=0，f（x）为f（x）的导函数，g（x）=aex（a，b，cr）（1）求b，c的值；（2）若存在x0（0，2，使g（x0）=f（x0）成立，求a的范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算；利用导数研究函数的极值专题：综合题分析：（1）由f（x）=3x2+2bx+c，知f（x）在x=1处的切线方程为y=（3+2b+c）x2b，故，由此能求出f（x）（2）若存在x0（0，2使成立，即方程g（x）=f（x）在（0，2上有解，故，令，则=，由此能求出a的取值范围解答：解：（1）f（x）=3x2+2bx+c，f（x）在x=1处的切线方程为y（1+b+c）=（3+2b+c）（x1），即y=（3+2b+c）x2b，即，（2）若存在x0（0，2使成立，即方程g（x）=f（x）在（0，2上有解，aex=3x23x+3，令，=，令h（x）=0，得x1=1，x2=2，列表讨论： x （0，1） 1 （1，2） 2 h（x） 0+ 0 h（x） 极小值 极大值h（x）有极小值h（1）=，h（x）有极大值h（2）=，且当x0时，h（x）3，a的取值范围是点评：本题考查实数值和实数取值范围的求法，具体涉及到导数的应用、函数极值的求法和应用、切线方程的求法和应用，解题时要认真