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文档简介

浙江省2013届高三数学一轮复习单元训练:空间向量与立体几何本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1点m在z轴上,它与经过坐标原点且方向向量为s(1,1,1)的直线l的距离为,则点m的坐标是()a(0,0,2)b(0,0,3)c(0,0,) d(0,0,1)【答案】b2在空间四边形abcd中,若,则等于 ( )abcd【答案】d3四棱柱中,ac与bd的交点为点m,设,则下列与相等的向量是 ( )ab cd【答案】4在三棱柱中,设m、n分别为的中点,则等于 ( )abcd【答案】b5平面,的法向量分别是n1(1,1,1),n2(1,0,1),则平面,所成角的余弦值是()a bc d【答案】c6 空间任意四个点a、b、c、d,则等于 ( )abcd【答案】c7以下命题中,不正确的命题个数为() 已知a、b、c、d是空间任意四点,则abcd0若a,b,c为空间一个基底,则ab,bc,ca构成空间的另一个基底;对空间任意一点o和不共线三点a、b、c,若oxyz(其中x,y,zr),则p、a、b、c四点共面a0b1c2d3【答案】b8已知向量a,b,c是空间的一基底,向量ab,ab,c是空间的另一基底,一向量p在基底a,b,c下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底ab,ab,c下的坐标是()a(4,0,3)b(3,1,3)c(1,2,3)d(2,1,3)【答案】b9在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中,p为正方体内一动点(包括表面),若xyz,且0xyz1.则点p所有可能的位置所构成的几何体的体积是()a1b c d【答案】d10在90的二面角的棱上有a、b两点,ac,bd分别在这个二面角的两个面内,且都垂直于棱ab,已知ab5,ac3,bd4,则cd()a5 b5 c6d7【答案】a11如图abcda1b1c1d1是正方体,b1e1d1f1,则be1与df1所成角的余弦值是()a bc d【答案】a12如图所示,在四面体pabc中,pc平面abc,abbccapc,那么二面角bapc的余弦值为()a bc d【答案】c第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13 已知点p是平行四边形abcd所在平面外一点,如果(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1),则平行四边形abcd的面积为_【答案】814如图141,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体abcda1b1c1d1,点m是线段dc1上的动点,则点m到直线ad1距离的最小值是_图141【答案】a15已知a(1t,1t,t),b(2,t,t),则|ba|的最小值为_【答案】16如图,在直三棱柱abca1b1c1中,acb90,aa12,acbc1,则异面直线a1b与ac所成角的余弦值是_【答案】三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17如图,在三棱柱abca1b1c1中,abac,顶点a1在底面abc上的射影恰为点b,且abaca1b2.(1)求棱aa1与bc所成的角的大小;(2)在棱b1c1上确定一点p,使ap,并求出二面角paba1的平面角的余弦值【答案】(1)如图,以a为原点建立空间直角坐标系axyz,则c(2,0,0),b(0,2,0),a1(0,2,2),b1(0,4,2),(0,2,2),(2,2,0),cos,故aa1与bc所成的角是(2)设(2,2,0),则p(2,42,2)于是ap( 舍去),则p为棱b1c1的中点,其坐标为p(1,3,2)设平面pab的法向量为n1(x,y,z),则故n1(2,0,1)而平面aba1的法向量是n2(1,0,0),则cosn1,n2,故二面角paba1的平面角的余弦值是18正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1,e,f分别在棱aa1和cc1上(含线段端点).(1)如果ae=c1f,试证明b,e,d1,f四点共面;(2)在(1)的条件下,是否存在一点e,使得直线a1b和平面bfe所成角等于?如果存在,确定e的位置;如果不存在,试说明理由.【答案】(1)设ae=t,以a为原点,射线ab,ad,aa1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系,则b(1,0,0),d1(0,1,1),e(0,0,t),f(1,1,1-t),其中0t1,则=(-1,0,t),所以befd1,所以b,e,d1,f四点共面.(2)存在.理由如下:由题意知=(-1,0,1),=(-1,0,t),=(0,1,1-t),设平面bef的一个法向量为n=(x,y,z).由得令z=1,得n=(t,t-1,1).若存在满足条件的点e,则sin=,得t=0.即当点e与点a重合时,直线a1b与平面bfe所成角等于.19已知e,f分别是棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1的棱bc和cd的中点,求:(1)a1d与ef所成角的大小;(2)a1f与平面b1eb所成角的余弦值;(3)二面角c-d1b1-b的余弦值.【答案】建立如图所示空间直角坐标系dxyz.(1)=(-1,0,-1),=60.因此a1d与ef所成角的大小为60.(2)在正方体abcd-a1b1c1d1中,ab平面b1c1cb,是平面b1eb的一个法向量,=(1,1,0)-(1,0,0)=(0,1,0),=(0,0)-(1,0,1)=(-1,-1),.由,可得a1f与平面b1eb所成角的余弦值为.(3)连结ac1,ac,ac1平面b1d1c,是平面b1d1c的一个法向量,ac平面b1d1b,是平面b1d1b的一个法向量.=(-1,1,1),=(-1,1,0),故所求二面角的余弦值为.20如图,bcd与mcd都是边长为2的正三角形,平面mcd平面bcd,ab平面bcd,ab2(1)求点a到平面mbc的距离;(2)求平面acm与平面bcd所成二面角的正弦值【答案】解法一:(1)取cd中点o,连ob,om,则obom,obcd,mocd,又平面mcd平面bcd,则mo平面bcd,所以mo ab,mo平面abc,m、o到平面abc的距离相等作ohbc于h,连mh,则mhbc.求得ohocsin60,mh,设点a到平面mbc的距离为d,由vambcvmabc得smbcdsabcoh.即2d22,解得d(2)延长am、bo相交于e,连ce、de,ce是平面acm与平面bcd的交线由(1)知,o是be的中点,则四边形bced是菱形作bfec于f,连af,则afec,afb就是二面角aecb的平面角,设为.因为bce120,所以bcf60.bf2sin60,tan2,sin则所求二面角的正弦值为解法二:取cd中点o,连ob,om,则obcd,omcd,又平面mcd平面bcd,则mo平面bcd.取o为原点,直线oc、bo、om为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图obom,则各点坐标分别为c(1,0,0),m(0,0,),b(0,0),a(0,2)(1)设n(x,y,z)是平面mbc的法向量,则(1,0),(0,)由n得xy0;由n得yz0.取n(,1,1),(0,0,2)则d(2)(1,0,),(1,2)设平面acm的法向量n1(x,y,z),则n1,n1得,解得xz,yz,取n1(,1,1)又平面bcd的法向量为n2(0,0,1)所以cosn1,n2,设所求二面角为,则sin21 正方体abcda1b1c1d1中,e,f,g,h分别是a1b1,b1c1,c1d1,d1a1的中点,求证:平面aeh平面bdgf.【答案】 建立如图所示的空间直角坐标系dxyz,设正方形的边长为2,则点a(2,0,0),e(2,1,2),h(1,0,2),g(0,1,2),f(1,2,2)(1,1,0),(1,1,0),(0,1,2),(0,1,2),.即可得ehgf,aedg.又eh平面bdgf,ae平面bdgf,gf平面bdgf,dg平面bdgf,eh平面bdgf,ae平面bdgf .又直线eh直线aee,平面aeh平面bdgf.22如图142,三棱柱abca1b1c1中,bca90,acbc2,a1在底面abc上的射影恰为ac的中点d,又知ba1ac1.(1)求证:ac1平面a1bc;(2)求二面角aa1bc的余弦值图142【答案】 (1)如图,设a1dt(t0),取ab的中点e,则debc,因为bcac,所以deac,又a1d平面abc,以de,dc,da1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则a(0,1,0),c(0,1,0),b(2,1,0),a1(0,0,t),c1(0,2,t),(0,3,t),(2,1,t),(2,0,0),由

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