浙江省高三数学一轮复习 空间向量与立体几何单元训练.doc

浙江省2013届高三数学一轮复习单元训练：空间向量与立体几何本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1点m在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s(1，1,1)的直线l的距离为，则点m的坐标是()a(0,0，2)b(0,0，3)c(0,0，) d(0,0，1)【答案】b2在空间四边形abcd中，若，则等于 ( ）abcd【答案】d3四棱柱中，ac与bd的交点为点m，设，则下列与相等的向量是 ( ）ab cd【答案】4在三棱柱中，设m、n分别为的中点，则等于 ( ）abcd【答案】b5平面，的法向量分别是n1(1,1,1)，n2(1,0，1)，则平面，所成角的余弦值是()a bc d【答案】c6 空间任意四个点a、b、c、d，则等于 ( ）abcd【答案】c7以下命题中，不正确的命题个数为() 已知a、b、c、d是空间任意四点，则abcd0若a，b，c为空间一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；对空间任意一点o和不共线三点a、b、c，若oxyz(其中x，y，zr)，则p、a、b、c四点共面a0b1c2d3【答案】b8已知向量a，b，c是空间的一基底，向量ab，ab，c是空间的另一基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是()a(4,0,3)b(3,1,3)c(1,2,3)d(2,1,3)【答案】b9在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，p为正方体内一动点(包括表面)，若xyz，且0xyz1.则点p所有可能的位置所构成的几何体的体积是()a1b c d【答案】d10在90的二面角的棱上有a、b两点，ac，bd分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱ab，已知ab5，ac3，bd4，则cd()a5 b5 c6d7【答案】a11如图abcda1b1c1d1是正方体，b1e1d1f1，则be1与df1所成角的余弦值是()a bc d【答案】a12如图所示，在四面体pabc中，pc平面abc，abbccapc，那么二面角bapc的余弦值为()a bc d【答案】c第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13 已知点p是平行四边形abcd所在平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)，则平行四边形abcd的面积为_【答案】814如图141，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体abcda1b1c1d1，点m是线段dc1上的动点，则点m到直线ad1距离的最小值是_图141【答案】a15已知a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_【答案】16如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，aa12，acbc1，则异面直线a1b与ac所成角的余弦值是_【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17如图，在三棱柱abca1b1c1中，abac，顶点a1在底面abc上的射影恰为点b，且abaca1b2.(1)求棱aa1与bc所成的角的大小；(2)在棱b1c1上确定一点p，使ap，并求出二面角paba1的平面角的余弦值【答案】(1)如图，以a为原点建立空间直角坐标系axyz，则c(2,0,0)，b(0,2,0)，a1(0,2,2)，b1(0,4,2)，(0,2,2)，(2，2,0)，cos，故aa1与bc所成的角是(2)设(2，2，0)，则p(2，42，2)于是ap( 舍去)，则p为棱b1c1的中点，其坐标为p(1,3,2)设平面pab的法向量为n1(x，y，z)，则故n1(2,0,1)而平面aba1的法向量是n2(1,0,0)，则cosn1，n2，故二面角paba1的平面角的余弦值是18正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，e,f分别在棱aa1和cc1上(含线段端点).(1)如果ae=c1f，试证明b,e,d1,f四点共面；(2)在(1)的条件下，是否存在一点e，使得直线a1b和平面bfe所成角等于?如果存在，确定e的位置；如果不存在，试说明理由.【答案】(1)设ae=t,以a为原点，射线ab,ad,aa1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则b(1,0,0),d1(0,1,1),e(0,0,t),f(1,1,1-t),其中0t1,则=(-1,0,t),所以befd1,所以b,e,d1,f四点共面.(2)存在.理由如下：由题意知=(-1,0,1),=(-1,0,t),=(0,1,1-t),设平面bef的一个法向量为n=(x,y,z).由得令z=1,得n=(t,t-1,1).若存在满足条件的点e，则sin=，得t=0.即当点e与点a重合时，直线a1b与平面bfe所成角等于.19已知e,f分别是棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1的棱bc和cd的中点，求：(1)a1d与ef所成角的大小；(2)a1f与平面b1eb所成角的余弦值；(3)二面角c-d1b1-b的余弦值.【答案】建立如图所示空间直角坐标系dxyz.(1)=(-1,0,-1),=60.因此a1d与ef所成角的大小为60.(2)在正方体abcd-a1b1c1d1中，ab平面b1c1cb,是平面b1eb的一个法向量，=(1,1,0)-(1,0,0)=(0,1,0),=(0,0)-(1,0,1)=(-1,-1),.由,可得a1f与平面b1eb所成角的余弦值为.(3)连结ac1,ac,ac1平面b1d1c,是平面b1d1c的一个法向量，ac平面b1d1b,是平面b1d1b的一个法向量.=(-1,1,1)，=(-1,1,0),故所求二面角的余弦值为.20如图，bcd与mcd都是边长为2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，ab2(1)求点a到平面mbc的距离；(2)求平面acm与平面bcd所成二面角的正弦值【答案】解法一：(1)取cd中点o，连ob，om，则obom，obcd，mocd，又平面mcd平面bcd，则mo平面bcd，所以mo ab，mo平面abc，m、o到平面abc的距离相等作ohbc于h，连mh，则mhbc.求得ohocsin60，mh，设点a到平面mbc的距离为d，由vambcvmabc得smbcdsabcoh.即2d22，解得d(2)延长am、bo相交于e，连ce、de，ce是平面acm与平面bcd的交线由(1)知，o是be的中点，则四边形bced是菱形作bfec于f，连af，则afec，afb就是二面角aecb的平面角，设为.因为bce120，所以bcf60.bf2sin60，tan2，sin则所求二面角的正弦值为解法二：取cd中点o，连ob，om，则obcd，omcd，又平面mcd平面bcd，则mo平面bcd.取o为原点，直线oc、bo、om为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图obom，则各点坐标分别为c(1,0,0)，m(0,0，)，b(0，0)，a(0，2)(1)设n(x，y，z)是平面mbc的法向量，则(1，0)，(0，)由n得xy0；由n得yz0.取n(，1,1)，(0,0,2)则d(2)(1,0，)，(1，2)设平面acm的法向量n1(x，y，z)，则n1，n1得，解得xz，yz，取n1(，1,1)又平面bcd的法向量为n2(0,0,1)所以cosn1，n2，设所求二面角为，则sin21 正方体abcda1b1c1d1中，e，f，g，h分别是a1b1，b1c1，c1d1，d1a1的中点，求证：平面aeh平面bdgf.【答案】 建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，设正方形的边长为2，则点a(2,0,0)，e(2,1,2)，h(1,0,2)，g(0,1,2)，f(1,2,2)(1，1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)，(0,1,2)，.即可得ehgf，aedg.又eh平面bdgf，ae平面bdgf，gf平面bdgf，dg平面bdgf，eh平面bdgf，ae平面bdgf .又直线eh直线aee，平面aeh平面bdgf.22如图142，三棱柱abca1b1c1中，bca90，acbc2，a1在底面abc上的射影恰为ac的中点d，又知ba1ac1.(1)求证：ac1平面a1bc；(2)求二面角aa1bc的余弦值图142【答案】 (1)如图，设a1dt(t0)，取ab的中点e，则debc，因为bcac，所以deac，又a1d平面abc，以de，dc，da1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则a(0，1,0)，c(0,1,0)，b(2,1,0)，a1(0,0，t)，c1(0,2，t)，(0,3，t)，(2，1，t)，(2,0,0)，由