概率中的期望与方差新题展示.doc

概率中的期望与方差新题展示概率与统计的最大特点是其在生产、生活中的应用，随着所学内容的加深，出现了一些情况新颖、构思巧妙、解法灵活的创新题，显示了概率知识的活力与魅力。一、 哪种方案好？例1、根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元。方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水。方案3：不采取措施，希望不发生洪水。试比较哪一种方案好。解：用分布表示三种方案的损失。采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即，采用第2种方案，遇到大洪水时，损失20006000062000元；没有大洪水时，损失2000元，即 同样，采用第3种方案，有 于是，E， 620000.012000（10.01）2600， 600000.01100000.253100.采用方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2. 点评：值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的。一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小。由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的。二、 哪种物体质量好？例2、有甲、乙两种钢筋，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度指标如下： 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 100 115 125 130 145 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中、分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好？分析：要比较两种钢筋的质量，可先比较甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度，即期望值，然后再看这两种钢筋质量的稳定性即方差。解：E1100.11200.21250.41300.11350.2125，E1000.11150.21250.41300.11450.2125，又D50D，由于EE，可知甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度都不低于120，但由于DD，即乙种钢筋的抗拉强度指标与其平均值偏差较大，故可认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋。三、 选择哪个方案更好？例3、一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润（万元）分别服从正态分布和，投资者需要“利润超过5万元”的概率尽量地大，那么他应选择哪一种方案？解：由题意，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案。对第一方案有：，于是对第二方案有，于是所以应选择第一方案为好。点评：应用公式求解概率是常见的方法，应熟练掌握。四、 何时利润最大？例4、某商场某品牌的空调每周的销售量是一个随机变量，分布列为，k11，12，30，而商场每周的进货量为区间11，30中的某一整数，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调需要交保管费用100元；若供不应求，则可从其他商场调剂供应，此时每台空调仅获利200元，问此商场周初进货量（含上周余量）应为多少时才能使周平均利润最大？分析：设周初进货x台，周利润为，要求周平均利润的最大值，就是要求E的最大值。为此需求出的取值，而又是的函数，需按供大于求、供不应求给出的表达式，然后利用函数、数列的相应知识求解。解：设商场周初进货（含上周余量）为x