qdsx204.doc

中学数学教师书面说题比赛 题目：椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上. (1)若，则点的位置确定吗？你还可以得出哪些量？ (2)若点是椭圆上的一个动点，点的位置变化会引起哪些量的改变？设，试用表示的面积，并求的最大值.1、 阐述题意 题中已知条件很明确，给定椭圆的标准方程，难点就在与对线段长度的运用，隐含条件是对椭圆两个定义的掌握，否则就容易出现比较繁琐的运算而导致错误，另外在求三角形最大面积时一方面对的范围把握也是一大难点，往往会有学生考虑不周全，二方面容易受上面结论的影响而忽视了简单方法，估计难度在0.2、 题目背景 本题来自选修2-1圆锥曲线章节内容，一直是高考中的热点问题，本题主要考查了椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，圆锥曲线的统一定义，解三角形中的正余弦定理的应用等基础知识，两小题都具备一定的开放性，从基本知识点入手，主体考查学生对解析几何的基本思想，综合运算能力、灵活应变能力等方面。3、 题目解答解：(1)点位置可计算出，具体坐标为，还可以计算出， 的周长为6，的面积为，轴，为直角三角形等.解法一：（定义法）先通过定义计算出，利用焦半径算出P点坐标，从而其他问题迎刃而解。解法二：（定义法）先通过定义计算出，发现三线段之间存在勾股定理，从而计算出P点坐标。解法三：（轨迹法）易知P在以为圆心，半径为的圆上，从而P即为圆与椭圆的交点。解法四：（直接法）直接设点的坐标，通过列方程的思想解出。 (2)点的位置直接影响了的长度，点的坐标，的形状、面积等.解法一：当时，由三角形的余弦定理可得，化简得，再由三角形正弦定理中拓展的面积公式得=.由于，所以易得.解法二：由三角形面积公式，故当P的纵坐标最大时，面积最大，所以解法三：通过余弦定理和两个条件，可解出，再利用三角形知识求出面积（过程相对复杂）4、 总结提炼本题综合运用几何、代数、三角知识解题，对运算能力的要求还是比较高的，从解题过程我们可以看到，对基本定义、性质的掌握非常关键，而且两者之间要会灵活运用。5、 题目变式第一问变式：改变条件形式：已知，求P的坐标 变式：改变直角位置：已知为直角三角形，求P的坐标 变式：改变曲线方程：双曲线解题思想、方法仿照原题，只是对双曲线中线段之间的关系做了适当的改动，必须要满足，但这题好在的长度保证了在左支上， 变式：改变曲线方程和长度：双曲线，则点的位置确定吗？你还可以得出哪些量？这时情况就变成四种了，我们无法确定点在哪支上。解题过程还是类似的，就不作阐述了.第二问变式：求过P的最短弦长（通径最短）变式：作P关于原点的对称点，求四边形的面积变式：（书本原题）在椭圆中，若为钝角，求椭圆离心率的取值范围。 六、教学设计在整个教学设计过程中，始终体现以学生为主体的教学理念。在学生对圆锥曲线中的椭圆有了深入理解和感悟后，及时给予一定的设问和引导，将复杂性问题逐层分解，步步为营，保证各个层次的学生能够更好的理解，对学有余力的学生提出更高的要求，留有一定的时间让他们相互之间进行沟通纠错，只有通过这样的实践或实验学生的记忆力才会得到保证，当然学生也乐在其中。老师此时应该关注弱势群体的学生，和他们一起针对他所做的问题进行研讨，找出他所存在的问题，。所有教学环节应该重视讨论、交流和组内合作，重视每一个学生探究问题的习惯的培养和养成。尤其要考虑不同学生的个性差异和发展层次，使不同的学生都有发展，真正体现因材施教的原则。此类题型老师讲解再多还不如让学生主动尝试，宁可在失败中总结经验也不应该坐享其成，学生的眼高手低一定会导致会而做不对做不全。让学生动手操作、学生在操作中加深对知识的应用，更有机会表达自己的想法，也学会听取别人的观点，加深了彼此之间的情谊等。学生在交流中相互启发，在不同观点、创造性思维火花的相互碰撞中，发现问题、探索问题、解决问题。情景设置：让学生自主画图，观察讨论，总结出一定的知识信息问题设计：对给出的知识信息，针对目标，应该如何选用信息，从而达到解决问题的目地板书设计板书设计思路点破：总结提升：知识点注意点详解过程：一题多解思路点破教学参考：题目：椭圆的左右焦点分别为,点P在椭圆上，（1）若,则点P的位置确定吗？你还可以得出哪些量？（2）若点P是椭圆上的一个动点，点P的位置变化会引起哪些量的改变？设=,试用表示的面积S，并求S的最大值.解：（1）确定。还可以求得，从而发现得是直角三角形，其面积为，即点P到x轴的距离为，由对称性知，点P的纵坐标为，故点P坐标为注解：第一问方法三种：1是定义法求（如上）；2是待定系数法，即设P坐标为（x,y）；3是几何法（交轨法）由知，点P在以F1为圆心，2.5为半径的圆上，所求P为圆与已知椭圆的交点第一问的变题有：1. 改变直角的位置：已知，问点P是否存在？若存在，求P坐标；若不存在，说明理由。（答案：不存在）2. 改变条件形式：已知为直角三角形，求P坐标。（题目同上学期期末考试填空11题，答案需要检验，答案同原题）3. 改换方程：，已知为直角三角形，求P坐标。追加：（某年高考题）为钝角时，求点P横坐标的取值范围。4. 改换条件和结论：已知椭圆的焦点是F1(1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且PF1F2120，求tanF1PF2【解】(1)由题设2F1F2PF1PF22a，又2c2，b椭圆的方程为1注解：此问为书本习题(2)设F1PF2，则PF2F160椭圆的离心率则，整理得：5sin(1cos)故，tanF1PF2tan题目：椭圆的左右焦点分别为,点P在椭圆上，（1）若,则点P的位置确定吗？你还可以得出哪些量？（2）若点P是椭圆上的一个动点，点P的位置变化会引起哪些量的改变？设=,试用表示的面积S，并求S的最大值.解：（2）点P的位置变化，随之改变的量有：焦半径，张角，焦点三角形的周长和面积，面积S求解如下：， ， 上单调递增， ， 故三角形面积的最大值为，此时P为短轴的端点。注解：就此三角形的面积最大值问题，不必如此繁琐。可用公式，因为F1F2为定值，只需最大时，面积最大。第2问变题：1.椭圆的左右焦点分别为,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q 两 点，当四边形面积最大时，的值等于解：四边形面积最大，就是三角形的面积最大（对称性）2. 已知椭圆方程为左右两焦点分别为O是椭圆中心，若是面积为的正三角形，求解：将三角形还原成（为直角三角形），其面积是已知三角形的两倍，则直接运用上面的公式可得=第2问引申：1.已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，求证：若最大，则点P为椭圆短轴的端点。证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 2.过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为3.已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在