江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学 数学归纳法1教案 苏教版选修22.doc

江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学选修2-2教案：数学归纳法1教学目标1了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力2了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤3抽象思维和概括能力进一步得到提高重点难点重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。教学过程（一）创设情景对于数列an，已知， (n=1,2,), 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为 。这个猜想是否正确需要证明。一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证就很麻烦。特别是n可取所有正整数时逐一验证是不可能的。因此，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。（二）研探新知1、了解多米诺骨牌游戏。可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。思考：你认为条件（2）的作用是什么？可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证（1）（2）成立。2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。思考：你认为证明数列的通过公式是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？分析： 多米诺骨牌游戏原理通项公式的证明方法（1）第一块骨牌倒下。（1）当n=1时a1=1，猜想成立（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。（2）若当n=k时猜想成立，即 ，则当n=k+1时猜想也成立，即 。根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。3、数学归纳法的原理一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k()时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法注意：（1）这两步步骤缺一不可。 （2）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”。（3）数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。4、例题讲解例1 用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，那么an=a1+(n1)d对一切nn*都成立.证明：(1)当n=1时，左边=a1，右边=a1+0d=a1，等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，就是ak=a1+(k1)d.那么ak+1=ak+d=a1+(k1)d+d=a1+(k+1)1d，这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)和(2)可以判定，等式对任何nn*都成立.例2 用数学归纳法证明：1+3+5+(2n1)=n2.证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+(2k1)=k2，那么1+3+5+(2k1)+2(k+1)1=k2+2(k+1)1=k