怎样在中学数学教学中进行变式训练.doc

怎样在中学数学教学中进行变式训练南京市百家湖中学 徐惠数学是一门抽象理论与心智技艺高度结合的学科，由于其内容的抽象性、逻辑的严密性，被称为“思维的体操”，因而数学教学应注重揭示数学思维活动的全过程，拓宽解题思路，提高应变能力，这是当前教改的重要课题。在数学学习中，常常会发现许多学生做习题往往停留于 机械模仿，不会独立思考，当问题的形式或题目稍加变化，就束手无策。如果教师 采用变式题进行教学，就可开阔学生的视野，激发学生的情趣，有利于培养学生的数学能力。所谓变式，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化，即教师可不断更换命题中的条件或结论，转换问题的内容和形式，配置实际应用的各种环境，但同时应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。采用的方法主要是改变对象的表达方式，如题设与结论的互换，图形的位置、形状、大小等的变化，规律及语言符号的互译，最终使学生掌握哪些在变化过程中始终不变的因素，从而透过现象看到本质。这就是人们常讲的“万变不离其宗”。另外，由于巧妙设计变式于课堂教学中，学生感到课堂的丰富多彩，从而增强课堂的趣味性。一、形成和明确数学概念的过程中，利用变式启发学生积极参与观察、概括，培养正确概括的思维能力在概念思维中，人们形成一个概念就要在思维过程中对一类事物共有的本质进行概括。这种概括是否明确，影响它所形成的概念是否真实、正确。可见 ，能否对事物属性进行正确概括是人的思维能力的重要组成部分 。在中学数学教学中，教师应当启发学生积极参与形成和明确概念的全过程，从中训练正确概括的思维能力。在这方面，变式训练能发挥积极作用。例一：“同位角、内错角、同旁内角”概念变形训练 教材中“同位角、内错角、同旁内角”一节的教学，可以如下进行：c上一节所学的“对顶角、邻补角”是两线（两根小棒）相交构成四个角的情形令可在添上一线（一根小棒）构成图1所示的“三线八角”。aac1图 132 22b5aa41cc5b85b86b图 4图 3图 27 首先认清三线关系哪两条线被另一条直线所截，进一步再从角于角之间的位置关系入手，引导分析、概括出同位角、内错角、同旁内角的定义。同位角：注意 两个“同位”是指既要在前两条直线的同一位置，又都在第三条直线的同一位置。图中的1、5均在前两条直线a、b的上方，又都在第三条直线c的左边，因此1于5就是同位角。内错角与同旁内角：首先抓“内”字在前两条直线之间即“内部”去找，发现有2、3、5、8，排除上节所学的邻补角2与3，5与8后，发现：2与8在第三条直线的两旁，即位置交错 ，这就是内错角；2与5在第三条直线的同一旁，这就是同旁内角。进一步引导学生找出图1中各种类型的角，并带领学生描绘出三类角的基本模型（图2、图3、图4）。最后，在学生明确概念，把握模型的基础上作如下变式图形以强化对概念的认识。 1ABA1EA4FA2DEB3241 2D3D1C43E423BEBCDCC图 8图 7图 6图 5 二、在理解定理和公式的过程中，利用变式使学生深刻认知定理和公式中概念间的多种联系，从而培养多向变通的思维能力。 数学思维的发展，还有赖于掌握、应用定理和公式去进行推理、论证和演算。由于定理和公式的实质也是人们对于概念之间存在的本质联系的概括，所以定理和公式的关键在于理解定理和公式中概念的联系。对于这种联系的任何形式的机械的理解，是不能熟练、灵活运用定理和公式的地根源，是缺乏多向变通思维能力的结果。在定理和公式的教学中，也可利用变式，指导学生深刻理解定理和公式中概念的多种联系。 例二： “相交弦定理”的变形训练。相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的长的积相等。如图9所示，弦AB、CD相交于点P，则借助相似证得PAPB=PCPD。进一步引导学生作如下探讨：变式一：交点不变，当任意改变两弦的相对位置时结论不变，总有PAPB=PCPD。特别是当P为弦AB的中点时，有PA2=PCPD（图10）变式二：如图11所示，当两条弦交于O上时,有PA=PC=0，此时，PAPB=PCPD=0仍成立。变式三：如图12所示，当两条弦的交点P在O外时，P可视为两弦的外分点，此时PAPB=PCPD亦成立，并命名为“割线定理”。C（D）DD图 9DBAAP 变式四：在图12中，当PA绕P点旋转至与圆相切时，得图13。此时，A点与B点重合，仍有PAPB=PCPD，即PA2=PCPD，这就是“切割线定理”。OCCOOPP（C、A）BBDDC图 11图 10PPPCOOAO图 14图 13图 12A（B）A（B）B变式五：把图13中的PD也绕P点旋转至与圆相切，得到图14。此时，C、D两点重合，则由PAPB=PCPD得PA2=PC2，从而得PA=PC，这就是“切线长定理”。在上面的讨论中，利用相交弦定理得图形变式发现，P在圆内、圆上和圆外有统一的结论，并且还在教学中借助运动变化的观点，充分展示了定理间的内在联系。这样的教学既体现了以旧引新的教学原则，又复习、巩固了已有知识。由此可见，教学时提供图形和定理的变式供学生观察、分析和判断，可防止特殊图形对思维产生消极影响，从而培养在复杂的图形背景中能够从多方位、多角度考虑问题，进一步提高灵活应用公式和定理的能力。三、在解题教学中适当应用变式，可帮助学生培养思维的发散性。解题教学中，变式常常表现为两类：一类为解题变式，即“一题多解”；另一类为题型变式，即“一题多变”。就是说，教学中可以变换题目的条件或结论，变换题目的表现形式，而题目本身的实质不变。用这种方式进行教学，可防止学生对所学的基础知识和已掌握的基本技能陷于僵化，所以在教学中可借变式帮助学生进行发散思维的训练。例三：在原题基础上引申，加深对所学知识的理解和掌握。例如：一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，有以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元。这种服装每件的成本是多少元？解：设每件服装的成本为x元，依题意得：（1+40%）x80% -x=15解得x=125。变式一：一家商店将某种服装标价为175，以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元。这种服装每件的成本价是多少元？变式二：一家商店某种服装的成本价是125元，以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元。这种服装每件的标价是多少元？变式三：一家商店某种服装的成本价是125元，提高40%后标价，又以八折优惠卖出。这种服装每件获利多少元？变式四：一家商店某种服装的成本价是125元，提高40%后标价，折价销售时，结果每件仍获利15元，这种服装每件是按几折销售的？以上四个变式引申比较自然，有利于学生把知识学活，提高学生效率。总之，在教学实践过程中，通过图形变式探索各种情况下问题的结论，是帮助学生培养探索能力和逻辑思维能力不可缺少的训练手段。并且，适当的变式教学是课堂