眼科病床的合理安排_2009年全国大学生数学建模竞赛B题.pdf

2010年 4 月 湘南学院学报 Apr 2010 第 31卷第 2 期 Journal of Xiangnan University Vol 31 No 2 收稿日期 2009 12 15 基金项目 湖南省普通高等学校教学改革研究项目 湘教通 2009 321 号 NO 360 湘南学院教改项目 08Y02 09Y01 作者简介 吴 霞 1978 女 湖北黄石人 湘南学院数学系讲师 硕士 研究方向 计算数学 眼科病床的合理安排 2009 年全国大学生数学建模竞赛 B 题 吴 霞 陈福来 谢海明 张家录 陈安平 湘南学院 数学系 湖南 郴州 423000 摘 要 从对具体类型病人的手术时间限制情况出发 制定合理的入院和手术时间 通过具体的计算程序量化说明了 我们模型的实用价值 并运用置信区间给出大致入住时间区间 由排队论和随机遍历计算方法给出床位比例的合理分 配 关键词 关键词 入院安排 平均逗留时间 动态规划 MATLAB 病床利用率 M M s 排队论 中图分类号 O141 4 文献标识码 A 文章编号 1672 8173 2010 02 0025 06 1 问题重述 某医院医科门诊每天开放 对需要住院的非急诊病人按照 FCFS 规则安排住院 其住院部病床数是固定 的 为 79 张 考虑到手术医生的安全问题 星期一 星期三只做白内障手术和急诊手术 即对不同类型的病人 不是按照 FCFS 规则安排手术 从目前情况看 等待住院病人队列越来越长 所以医院方面希望利用已有的统 计数据通过数学建模的方法来解决以下问题 问题一 试分析确定合理的评价指标体系 用以评价该问题的病床安排模型的优劣 问题二 试就该住院部当前的情况 建立合理的病床安排模型 以根据已知的第二天拟出院病人数来确定 第二天应该安排哪些病人住院 并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价 问题三 作为病人 自然希望尽早知道自己大约何时能住院 能否根据当时住院病人及等待住院病人的统 计情况 在病人门诊时即告知其大致入住时间区间 问题四 若该住院部周六 周日不安排手术 请你们重新回答问题二 医院的手术时间安排是否应作出相 应调整 问题五 有人从便于管理的角度提出建议 在一般情形下 医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比 例大致固定的方案 试就此方案 建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间 含等待入院及住院时间 最短 的病床比例分配模型 2 问题分析 当前该住院部对全体非急症病人是按照 FCFS 规则安排住院 而安排白内障手术时间是每周一 三 这使 得部分白内障病人住院后等待手术时间过长 最长需等待 7天 导致等待住院病人队列越来越长 因此 合理 地安排病人的住院时间 减少病人入院后等待手术的时间 是解决问题二 四的关键 3 问题一的解决 病床安排模型的优劣 应以下面的评价指标来判断 25 1 所有病人 外伤病人除外 在系统内的平均逗留时间 T 病人在系统内逗留时间越长 等待住院病人队列也越长 2 不同类型病人平均等待手术时间 A i 等待手术时间的长短 直接影响病床的空出 3 病床周转率 在某一时间段内 入院人数与病床数之比 病床周转率高 说明入院人数多 从心理上能降低病人等待入院的焦虑 4 同种类型病人的住院规则 任何一个合理的病床安排模型 对同类型病人都必须按照 FCFS 规则安排住院 4 问题二的解决 4 1 模型假设 假设医院病床是满员状态 假设白内障病人术前准备时间只需 1 天 假设其它眼科疾病 不含外 伤 病人术前准备时间只需 2天 假设病人能按安排按时入院 出院 假设门诊病人数满足 Poisson 分布 4 2 模型建立 4 2 1 住院规则及手术安排 外伤病人住院优先 病床有空时立即安排住院 住院后第二天安排手术 星期一病床有空时只安排做一只眼的白内障病人住院 按 FCFS 规则 下同 2 天后安排手术 星期二病床有空时只安排做一只眼的白内障病人住院 1 天后安排手术 星期三 星期四 星期五病床有空时只安排青光眼 视网膜疾病病人住院 2天后安排手术 星期六病床有空时安排做两只眼的白内障病人住院 2天后安排手术 星期日安排的 单眼白内障病人 3 天后安排手术 青光眼 视网膜疾病病人 3 天后安排手 术 对住院规则及手术安排的说明 由统计资料 做两只眼的白内障病人占总病人数的 25 通常在一个星期内两天可以安排完 为最大限度 地减少双眼白内障病人入院后等待手术时间 最好安排他们在星期六 星期日两天入院 单眼白内障病人安排 在星期六 日 一 二入院是因为他们康复时间较短 可以加快病床的周转 因为星期六 日 一 二主要安排白内障病人 可能存在其它疾病病人等待入院时间超过白内障病人等待 入院时间 5 天的情形 由公平性原则 应优先考虑他们入院 同样有可能存在白内障病人等待入院时间超过其 它疾病病人等待入院时间 5 天的情形 但如果星期三至星期五安排白内障病人住院 他们在系统内总逗留时 间不变 但减慢了病床的周转 因此 这种情形暂不予考虑 4 2 2 符号说明及数学模型 xi 不同类型病人 i 1 2 3 4 5分别表示双眼白内障 单眼白内障 青光眼 视网膜疾病 外伤病人 n 天数 2008 年 9 月12 日为第1 天 T 所有病人 外伤病人除外 在系统内平均逗留时间 tij 第 i 种病人的第j 个在系统内逗留时间 mi 第 i 种病人总人数 A i 第 i 种病人入院后平均等待手术时间 aij 第 i 种病人的 第j 个入院后等待手术时间 10 天内病床周转率 有 T 5 i 1 mi j 1 tij 5 i 1 mi A i mi j 1 aij mi 26 4 2 3 用动态规划思想设计程序 由统计数据 349个已出院病人最后一天出院日期为 2008 年 9 月 11日 因此 当前在院的 79 个病人的数 据时间为 2008 年 9 月 12 日 故将该天定为第一天 针对这 79 个病人 由病人第一次手术时间加上该病人对应 的康复时间平均值得到每位病人的拟出院日期 统计得 2008年 9月 12日至2008 年9 月21 日每天拟出院人数 为5 18 3 4 7 7 3 10 8 5人 加上从 2008 年9 月12 日入院后又出院的病人 得2008 年9 月12 日至 2008 年 9 月21 日每天拟出院总人数为 5 18 3 4 7 7 10 10 33 5 人 基于动态规划思想 按前述住院规则及手术安排 确定应安排哪些病人住院 直至将尚未入院的 102 名病人安排完 用 Matlab 编程 程序见附件 1 得 T 21 42 A 1 1 83 A 2 1 52 A 3 2 40 A 4 2 39 A 5 1 1 29和 102名未入院病人安排表 表 1 日期出院人数 双眼白内障 病人入院人数 单眼白内障病 人入院人数 青光眼病人 入院人数 视网膜疾病 入院人数 外伤病人 入院人数 2008 9 12500131 2008 9 1318117000 2008 9 14330000 2008 9 15404000 2008 9 16707000 2008 9 17700340 2008 9 1810000100 2008 9 191000550 2008 9 20331306140 2008 9 21523000 4 2 4 模型评价 针对问题一中的评价指标体系 结合统计数据和模型数据 有 表 2 统计数据和模型数据对照表 评价指标 数据类型 T A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 模型数据21 421 831 522 402 391 001 29 统计数据22 203 602 382 372 351 000 89 从表 2 可以看出 所给出模型和医院原来安排方案相比减少了病人在系统内的平均逗留时间 减少了病人等待手术的时 间 加快了病床的周转率 而且在我们的模型中到 2008年 9 月 21日 102个病人入院安排完毕后 双眼白内障 单眼白内障 青光眼 视网膜疾病病人的最长等待入院时间分别减少为 10 11 12 8 天 这说明系统在等待住院 病人队列越来越长的趋势得到控制 并且表现出缩短的趋势 5 问题三的解决 问题三提出根据当时住院病人和等待住院病人的统计情况 我们理解是只能根据当天的住院病人的住院 记录以及到当天为止的等候人数记录情况 我们原题中的数据第二部分 表 2 和数据第三部分 表 3 就刚好 符合情况 根据当天在住院的人数 n 79 x 其中 x 表示表示住院人中外伤病人的人数 因为外伤属于急症 等候时 间不是按照 FCFS 原则 对这 n 人每个人的曾经等候时间 tj 入院日期 门诊日期 算出统计加权平均值 即平 均等候时间 T n1t1 n2t2 nktk n ni表示等候相同天数的住院人数 n1 n2 nk n 一共有 27 k 个不同的天数 然后利用 MATLAB 作出所有这些等候天数的标准差 S X t1 t2 tn S std X 再找出当天住院病 人等候时间 tj的最大和最小值tmax tmin 另外已有等候住院人中有没有人已经等候的天数fi 当天日期 门诊 日期 有比 tmin还小的 fmin 比 tmax还大的 fmax 如果有 那么我们可以告知来门诊的病人等候的时间区间是 fmin S 1 fmax S 1 注 S 表取整 如果没有 就是 tmin S 1 tmax S 1 如果我们为了提高病人的满意程度 可以直接取以平均等候时间 T 为中心 标准差 S 为半径的区间 T S 1 T S 1 现在我们以题目已有表 2数据和表 3 数据 按照上述方法实际处理如下 表 2 中去掉外伤病人 8 人 n 71 等候时间情况如表 3 表 3 等候天数1213141516 人数23288102 则 T 23 12 28 13 8 14 10 15 2 16 71 13 15 在 MATLAB 中输入 X 1212 12 1313 13 15 1616 S std X 运行后结果是 S 1 1088 表2 等候的人中已等候时间没有比 12 还小 也没有比 16还大的 所以 2008 年9 月 12 日来看病的人可告 知其等候区间是 10 18 为了提高病人的满意程度 取 11 15 这种取区间方法的好处在于能只是根据当天的住院病人和等候病人的数据而得出 不需要以往的数据 便于实际工作安排 但是我们也要看到这种方法的缺点 那就是这个等候时间T 的确定只是当天不超过 79 个 住院病人和等候人数的统计数据得到 精度不高 所以这个区间的置信度有待提高 要想提高置信度 一般要扩大区间 但是这样会降低满意度 我们建议修正 T 和标准差 可如下操作 在按 照这种方法行使一段时间后 比如行使 m 天后 那么就应该有m 个 T 求这些 T 的平均值 更符合统计规律 6 问题四的解决 若该住院部周六 周日不安排手术 如果对原来的白内障手术时间不做调整 则病床利用率会下降 如果 我们将白内障手术时间修改为每周星期二 四 则对病人的入院安排做相应的修改 如原来星期六 日主要安 排双眼白内障病人入院 这里相应地顺延到星期日和星期一入院 其他的安排依次往后顺延一天 我们重新修 改和运行了程序 对 102 名等待入院的患者 获得如下结果 平均等待入院时间13 46 天 平均住院时间为 8 62 天 平均系统停留时间为22 08 天 与情形1 相比 平均等待入院时间有所增加 平均住院时间有所减少 但导 致平均系统停留时间持平 前10 日总共安排100 人入院 平均病床利用率回升 根据上面的计算结果 我们认为医院的手术时间安排 可以稍做调整 白内障手术时间修整到星期二和星期四 7 问题五的解决 7 1 问题分析 如果该问题是从管理角度出发 病床安排采取各类病人占用病床的比例大致固定的前提 建立适当模型 使得所有的人在系统内的平均逗留时间最短 并给出此时的比例分配 有了这种前提 我们不妨将病人分作五类 白内障单眼 内障双眼 青光眼 视网膜疾病 外伤 将床位看作服务台 每一类病人分配到床位可看作排队论系统的一类顾客接受 si台服务台服务的模式 病人等待入院的时间为顾客等待接受服务的时间 病人占用床位的时间为顾客接受服务台服务的时间 按照 排队论 M M s 进行建模 7 2 符号说明 1 i 第 i 类病人的稳态平均到达率 每天来看病的平均第 i 类顾客数 2 i 稳态平均服务率 每天可 28 出院的第 i 类患者人数 3 pi i i i 4 wi 第 i 类病人的平均逗留时间 5 w 全体病患的平均逗留时 间 6 系统中共有 si个服务员 即 si个空床位 7 ki 每天出现的第 i 类病患占每天出现的总病患人数的比 例 7 3 模型假设 按经典多服务台模型 第 i 类病人相继到达时间间隔服从参数为 i的负指数分布 但是外伤病人不包括 在内 因为外伤病人并不是天天都有 时间间隔较大 不符合负指数分布 而且在求解这个问题时候 由于这些 病人相继到达时间间隔并不是严格符合负指数分布 所以我们采取了一些特殊处理方式 7 4 建模 如果以 si i 1 4 为决策变量 以总病人的平均逗留时间为目标函数 在某些限定条件下 列一个非 线性规划模型 即minw k1w1 k2w2 k5w5s t s1 s2 s5 79 si ai bi si为正整数 在这个自变量取值为整数 的非线性规划中 ki可认为是常数 可由历史数据统计出值 wi按排队论模型可表示为f si 应该注意的 是 i si 1 这个条件满足的前提下才能用排队论模型中 wi f si 下面就是具体数据计算过程 ki i i由题目 附录 中历史数据统计得 k1 0 19 k2 0 25 k3 0 12 k4 0 32 k5 0 12 1 1 67 2 2 22 3 1 05 4 2 83 1 1 6 24 2 1 9 46 3 1 12 23 4 1 13 42 i n i n n i 0 n 1 2 si i n si s n si i i 0 n si 其中 i 0 s 1 n 0 i n n i si si 1 i si 1 记 c s i i n s i 0 si i si 1 i si i 0 则平均逗留时间 wi Li i 1 i c si i 1 i si i si i 1 i c si i si i 1 i 其中 i 1 2 3 4 w5 即外伤病人的平均逗留时间 可以取一个统计平均逗留时间 经统计知道 w5 7 91 所以上述非线性规划为 w 1 19w1 0 25w2 0 12w3 0 32w4 0 12w5 按上述公式将具体式子代入 s t s1 s2 s5 79 si ai bi si为正整数 要解这个非线性规划问题 由于函数表达式没有具体形式 所以 不能用非线性规划的 MATLAB 函数 注 意到约束条件中 si取整数解 我们不妨给出各个 si的取值区间 实际就是给出 si的取值 然后用遍历方式代 入逐个算出目标函数值 w 取最优解 现在问题在于 si的取值范围 ai bi 由于公式中要保证 i si 1 所以 s1 8 b1 s2 22 b2 s3 13 b3 s4 33 b4 bi不妨取第i 类病人占床数的最大值 s1 8 18 s2 22 26 s3 13 15 s4 33 35 由于 s5没有出现在目标函数中 所以在程序运行时候 我们必须先给定 s5的具体取值 外伤病人平均每 天出现1 04 个人 所以我们假定 s5 1时候 运行出的结果 程序略 wmin 8 8129 s1 8 s2 23 s3 14 s4 33 s5 1 当规定 s5 2 时 可行解只有1 个或没有 所以最优解不可信 因此 我们求得的结果为最终结果 29 8 模型分析 8 1 问题二模型的分析 问题二模型所制定的入院规则及相应的 MATLAB 程序充分考虑了周一和周三只做白内障手术的约束 兼 顾 FCFS 原则 数值模拟的结果表明模型优于现有的 FCFS 模型 但由于时间的限制 有些细节考虑有些粗糙 如每天的入院安排可以考虑得更细致些 又如对其他病人最长入院等候时间不能超过双眼白内障病人 5 天的 约束 是对程序进行测试后得到的 需要进一步分析 给出具体的实际背景或予以改进 再如检验模型的样本 仅考虑了题目第三部分数据所给的 102 个样本 应该还需要进行更多的样本检验或模拟的时间更长一些 8 2 问题五模型的分析 这种引入排队论的模型 可以很容易的根据现有公式列出平均逗留时间表达式 并且有可行的解法解出 最优解 这在非线性规划中时很少见的 所以这个模型做到合理且可解 但是该模型有一问题使得计算结果与 现实有些不符 因为排队论中算出的平均逗留时间是在极限下的稳态结果 而且要求其病人到达的间隔时间 为服务时间均满足负指数分布 但事实我们现实不可能是极限状况 也不完全符合负指数分布 因此结果也就做到每天进入服务系统人 数趋于每天服务完人数 所以算出的结果 wmin 8 8129 其实是服务时间 认为等候时间为 0 而事实却不是这 样 那我们之所以仍采用该值下的自变量取值 是因为 wmin约等于事实统计的平均服务时间 所以我们取了该 分配比例数 即 79 个床位除 1 个留给外伤外 其余按顺序分别分配 8 23 14 33 个床位 参考文献 1 朱道元 等 数学建模 M 北京 科学出版社 2003 2 张志涌 精通 Matlab 6 5 版 M 北京 北京航空航天大学出版社 2003 3 李贤平 概率论基础 第 2版 M 北京 高等教育出版社 1987 4 胡适权 郭耀煌 运筹学教程 第 3 版 M 北京 清华大学出版社 2003 5 徐 渝 等 病员住院排队模型的研究及应用 J 西安交通大学学报 1989 23 6 64 7