江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 简单的函数方程（一）.doc

江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 简单的函数方程（一）函数方程的概念：1.函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程。如f(x1)=x、f(x)=f(x)、f(x)= f(x)、f(x2)=f(x)等。其中f(x)是未知函数2.函数方程的解 能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。如f(x)=x1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解3.解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程4.定理（柯西函数方程的解）若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(xy)=f(x)f(y) (x,yr)、则f(x)=xf(1)证明：由题设不难得 f(x1x2xn)=f(x1)f(x2)f(xn)取x1=x2=xn=x，得f(nx)=nf(x) (nn+)令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 - （1） x=1，则f(n)=nf(1) x=，则f(m)=nf() ，解得f()=f(m)= f(1) - (2) x=，且令y=x0，则f(x)f(y)=f(xy)=f(0)=0 f(x)=f(y)=yf(1)=xf(1) (m,nn+,且(m,n)=1) -(3)由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1)另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有理数序列xn，则有 ：f(x)=f(xn)=xnf(1)=xf(1)综上所述，对于任意实数x，有f(x)=xf(1)函数方程的解法：1.代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数例1 （1）已知f(2x1)=x2x，那麽f(x)=_。 略解：设t=2x1，则x= (t1)，那麽f(t)= (t1)2 (t1)= t2t 故f(x)= x2x(2) 已知f(1)=x2，那麽f(x)=_。 略解：f(1)=( 1)21，故f(x)=x21 (x1)(3) 已知f(x)=x2，那麽f(x)=_。 略解：f(x)=(x)22，故f(x)=x22 (|x|2)例2 设ab0,a2b2，求af(x)bf()=cx的解 解：分别用x=，x=t代入已知方程，得af()bf(t)= -(1)af(t)bf()=ct-(2)由（1），（2）组成方程组解得 f(t)= 即： f(x)= 2.待定系数法当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得例3 已知f(x)是一次函数，且fff-f(x)=1024x1023。求f(x) 10次 解：设f(x)=axb (a0)，记ffff(x)=fn(x)，则 n次 f2(x)=ff(x)=a(axb)b=a2xb(a1)f3(x)=fff(x)=aa2xb(a1)b=a3xb(a2a1)依次类推有：f10(x)=a10xb(a9a8a1)=a10x由题设知：a10=1024 且=1023a=2，b=1 或 a=2，b=3f(x)=2x1 或 f(x)=2x33.迭代法（见竞赛辅导第三讲函数迭代知识）由函数方程找出函数值之间的关系，通过n次迭代得到函数方程的解法例4 设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(xy)=f(x)f(y)xy。求f(x)解：令y=1，得f(x1)=f(x)x1再依次令x=1，2，n1，有f(2)=f(1)2f(3)=f(2)3f(n1)=f(n2)(n1)f(n)=f(n1)n依次代入，得f(n)=f(1)23(n1)n=f(x)= (xn+)例5 ，已知f(1)=且当n1时有。求f(n) (nn+)解：把已知等式（递推公式）进行整理，得f(n1)f(n)=2(n1)f(n)f(n1)=2(n1)把n依次用2，3，n代换，得=23=24=2(n1)上述(n1)个等式相加，得=234(n1)=(n1)(n4)= (n1)(n4)=n23n1f(n)= 4.柯西法在f(x)单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解例6 设f(x)连续且恒不为0，求函数方程f(xy)=f(x)f(y)的解解：f(x)=f()=f()f()0 若存在x0r，使f(x0)=0。则对一切实数x，有 f(x)=f(xx0x0)=f(xx0)f(x0)=0 这与f(x)不恒为0矛盾，故f(x)0 对题设f(xy)=f(x)f(y)两边取自然对数，得 f(xy)=f(x)f(y) f(xy)=f(x)f(y) 令g(x)=f(x) f(x)0且连续 g(x)连续且满足g(xy)=g(x)g(y).由定理知： g(x)=g(1)x故 f(x)=xf(1) f(x)=exf(1)=f(1)x 令f(1)=a，则f(x)=ax (a0) 类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：（1） 若f(xy)=f(x)f(y) (x0,y0),则f(x)=ax（2） 若f(xy)=f(x)f(y) (x0,y0),则f(x)=x2（3） 若f(xy)=f(x)f(y)kxy,则f(x)=ax2bx（4） 若f(xy)f(xy)=2f(x),则f(x)=axb课后练习：1、 下面四个数中，满足=f(x)f(y)的函数是 （ ）a.x b. c.3x d.3x2、 如果对xr有2f(1x)1=xf(x)，那麽f(x)=_。3、 对任意实数x,y，函数f(x)有f(xy)=f(x2)f(2y)，则f(198