江苏省宿迁市马陵中学高二数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年江苏省宿迁市马陵中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题5分，共14题，计70分）1命题：“x0，x2+x10”的否定是2f（x）=x33x2+2在区间1，1上的最大值是3若命题“xr，使得x2+（a1）x+10”是真命题，则实数a的取值范围是4在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=8x上横坐标为1的点到其焦点的距离为5mn0是=1表示椭圆的条件（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）6设xr，则“|x2|1”是“x2+x20”的条件（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）7下列说法：命题“存在xr，x2+x+20150”的否定是“任意xr，x2+x+20150”；两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件；命题“函数f（x）=在其定义域上是减函数”是真命题；给定命题p，q，若“pq”是真命题，则非p是假命题其中正确的是（填序号）8直线y=3x+1是函数f（x）=ax3的图象上的点p处的切线，则a的值是9若，点p（x，y）到点（3，0）的距离为，则点p到点（3，0）的距离为10已知椭圆的左、右焦点分别为f1，f2，以f1f2为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为p若pf1f2=30，则该椭圆的离心率为11已知双曲线x2=1的左顶点为a1，右焦点为f2，p为双曲线右支上一点，则最小值为12若函数在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是13已知双曲线=1（a0，b0）的焦距为2c，右顶点为a，抛物线x2=2py（p0）的焦点为f，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|fa|=c，则双曲线的渐近线方程为14设函数f（x）=x（x1）2，记f（x）在（0，a上的最大值为f（a），则函数g（a）=的最小值为二、解答题：（计80分）15已知p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0； q：实数x满足2x3（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围16已知函数f（x）=（xr，a、b为实数），且曲线y=f（x）在点处的切线l的方程是9x+10y33=0（1）求实数a，b的值；（2）现将切线方程改写为y=（113x），并记g（x）=（113x），当x0，2时，试比较f（x）与g（x）的大小关系17已知点a（1，0），f（1，0），动点p满足=2|（1）求动点p的轨迹c的方程；（2）直线l过f交曲线c于a、b两点，若线段ab的长为6，求l的方程18几名大学毕业生合作开设3d打印店，生产并销售某种3d产品已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元假设该产品的月销售量t（x）（件）与销售价格x（元/件）（xn*）之间满足如下关系：当34x60时，t（x）=a（x+5）2+10050；当60x70时，t（x）=100x+7600设该店月利润为m（元），月利润=月销售总额月总成本（1）求m关于销售价格x的函数关系式；（2）求该打印店月利润m的最大值及此时产品的销售价格19在平面直角坐标系xoy中，已知过点的椭圆c：（ab0）的右焦点为f（1，0），过焦点f且与x轴不重合的直线与椭圆c交于a，b两点，点b关于坐标原点的对称点为p，直线pa，pb分别交椭圆c的右准线l于m，n两点（1）求椭圆c的标准方程；（2）若点b的坐标为，试求直线pa的方程；（3）记m，n两点的纵坐标分别为ym，yn，试问ymyn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由20已知函数，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x12，f（x）为f（x）的导函数，且满足f（2x）=f（x）（1）求f（x）；（2）设，求函数g（x）在0，m上的最大值；（3）设h（x）=lnf（x），若对一切x0，1，不等式h（x+1t）h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围2015-2016学年江苏省宿迁市马陵中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题5分，共14题，计70分）1命题：“x0，x2+x10”的否定是x0，x2+x10【考点】命题的否定【专题】计算题；规律型；转化思想；简易逻辑【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“x0，x2+x10”的否定是：x0，x2+x10故答案为：x0，x2+x10【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题2f（x）=x33x2+2在区间1，1上的最大值是2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题【分析】求出函数的导函数，令导函数为0，求出根，判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号，求出最值【解答】解：f（x）=3x26x=3x（x2）令f（x）=0得x=0或x=2（舍）当1x0时，f（x）0；当0x1时，f（x）0所以当x=0时，函数取得极大值即最大值所以f（x）的最大值为2故答案为2【点评】求函数的最值，一般先求出函数的极值，再求出区间的端点值，选出最值3若命题“xr，使得x2+（a1）x+10”是真命题，则实数a的取值范围是（，1）（3，+）【考点】二次函数的性质【专题】计算题【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“xr，使得x2+（a1）x+10”，则相应二次方程有不等的实根【解答】解：“xr，使得x2+（a1）x+10x2+（a1）x+1=0有两个不等实根=（a1）240a1或a3故答案为：（，1）（3，+）【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面4在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=8x上横坐标为1的点到其焦点的距离为3【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】直接利用抛物线的定义，求解即可【解答】解：抛物线y2=8x上横坐标为1的点到其焦点的距离，就是这点到抛物线的准线的距离抛物线的准线方程为：x=2，所以抛物线y2=8x上横坐标为1的点到其焦点的距离为1+2=3故答案为：3【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力5mn0是=1表示椭圆的必要不充分条件（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】函数思想；综合法；简易逻辑【分析】由椭圆的简单性质及椭圆的标准方程，我们易得到方程+=1表示的曲线为椭圆时满足条件的参数a，b的取值范围，再由充要条件的定义，判断其与ab0的关系，即可得到答案【解答】解：若方程+=1表示的曲线为椭圆，则m0且n0且mn，“mn0”是“m0且n0且mn”的必要不充分条件“mn0”是“方程+=1表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件故答案为：必要不充分【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义与判断方法及椭圆的性质，其中根据椭圆的性质及椭圆的标准方程，得到方程+=1表示的曲线为椭圆时满足条件的参数a，b的取值范围，是解答本题的关键6设xr，则“|x2|1”是“x2+x20”的充分不必要条件（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由|x2|1得1x21，得1x3，由x2+x20得x1或x2，则（1，3）（，2）（1，+），故“|x2|1”是“x2+x20”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键7下列说法：命题“存在xr，x2+x+20150”的否定是“任意xr，x2+x+20150”；两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件；命题“函数f（x）=在其定义域上是减函数”是真命题；给定命题p，q，若“pq”是真命题，则非p是假命题其中正确的是（填序号）【考点】命题的真假判断与应用【专题】探究型；分析法；简易逻辑；推理和证明【分析】写出原命题的否定，可判断；根据充要条件的定义，可判断；根据一次函数的图象和性质，可判断；根据复合命题真假判断的真值表，可判断【解答】解：命题“存在xr，x2+x+20150”的否定是“任意xr，x2+x+20150”，故错误；两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故错误；函数f（x）=在其定义域上不具有单调性，故命题“函数f（x）=在其定义域上是减函数”是假命题，故错误；给定命题p，q，若“pq”是真命题，则p是真命题，则非p是假命题故答案为：【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了特称命题的否定，复合命题，充要条件，反比例函数的性质，是简单逻辑和函数的简单综合应用8直线y=3x+1是函数f（x）=ax3的图象上的点p处的切线，则a的值是4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用【分析】求出函数的导数，设出切点为（m，n），求得切线的斜率，并由切点在切线和f（x）图象上，可得m，n的方程，解方程可得a的值【解答】解：函数f（x）=ax3的导数为f（x）=3ax2，设切点为（m，n），即有切线的斜率为3am2=3，又3m+1=n，am3=n，解方程可得，a=4m=n=，故答案为：4【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意设出切点，正确求导是解题的关键，属于基础题9若，点p（x，y）到点（3，0）的距离为，则点p到点（3，0）的距离为5【考点】双曲线的简单性质；双曲线的定义【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线的方程，算出（3，0）和（3，0）恰好是双曲线的左右焦点，由此利用双曲线的定义加以计算，可得点p到点（3，0）的距离【解答】解：双曲线中，a2=2、b2=7，得a=、b=，c2=a2+b2=9，得c=3可得双曲线的焦点坐标为f1（3，0）和f2（3，0）点p（x，y）到左焦点f1（3，0）的距离为，根据双曲线的定义可得：点p到右焦点f2（3，0）的距离d=2a，即d=5或当d=时，|pf1|+|pf2|=4|f1f2|=6，矛盾d=不符合题意，舍去因此d=5，即点p到点（3，0）的距离为5故答案为：5【点评】本题给出双曲线上的点到一个焦点的距离，求它到另一个焦点的距离着重考查了双曲线的定义与标准方程的知识，属于基础题10已知椭圆的左、右焦点分别为f1，f2，以f1f2为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为p若pf1f2=30，则该椭圆的离心率为1【考点】椭圆的简单性质【专题】数形结合；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义离心率计算公式即可得出【解答】解：在rtpf1f2中，f1pf2=90，pf1f2=30，|pf2|=c，|pf1|=c，又|pf2|+|pf1|=2a=c+c，=1故答案为：1【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11已知双曲线x2=1的左顶点为a1，右焦点为f2，p为双曲线右支上一点，则最小值为2【考点】双曲线的应用；平面向量数量积的运算【专题】计算题【分析】根据题意，设p（x，y）（x1），根据双曲线的方程，易得a1、f2的坐标，将其代入中，可得关于x、y的关系式，结合双曲线的方程，可得=4x2x5=45，由x的范围，可得答案【解答】解：根据题意，设p（x，y）（x1），易得a1（1，0），f2（2，0），=（1x，y）（2x，y）=x2x2+y2，又x2=1，故y2=3（x21），于是=4x2x5=45，当x=1时，取到最小值2；故答案为：2【点评】本题考查双曲线方程的应用，涉及最值问题；解题的思路是先设出变量，表示出要求的表达式，结合圆锥曲线的方程，将其转化为只含一个变量的关系式，进而由不等式的性质或函数的最值进行计算12若函数在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是1m0【考点】函数单调性的性质【分析】若函数变形为，只要考查函数就行了【解答】解：函数变形为，设，只要g（x）是单调减函数即可画出g（x）的图象：解得1m0故填1m0【点评】研究函数的性质是解决问题的关键，此函数的性质为解决许多问题提供了帮助13已知双曲线=1（a0，b0）的焦距为2c，右顶点为a，抛物线x2=2py（p0）的焦点为f，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|fa|=c，则双曲线的渐近线方程为y=x【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出双曲线的右顶点a（a，0），拋物线x2=2py（p0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出及，求出a=b，得双曲线的渐近线方程为：y=x【解答】解：右顶点为a，a（a，0），f为抛物线x2=2py（p0）的焦点，f，|fa|=c，抛物线的准线方程为由得，由，得=2c，即c2=2a2，c2=a2+b2，a=b，双曲线的渐近线方程为：y=x，故答案为：y=x【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键14设函数f（x）=x（x1）2，记f（x）在（0，a上的最大值为f（a），则函数g（a）=的最小值为【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【专题】导数的综合应用【分析】求f（x），通过判断f（x）的符号求出函数f（x）的单调区间：f（x）在上单调递增，在上单调递减所以可以判断出f（x）取得极值的情况：f（）=是f（x）的极大值，令f（x）=，可以求得该方程的另一根x=，从而可以弄清怎样讨论a的值：0时，f（a）=a（a1）2；时，f（a）=；a时，f（a）=a（a1）2，从而求出g（a）=，所以根据二次函数及反比例函数单调性求出每段上的函数的最小值或函数值的范围即可【解答】解：f（x）=3；x，（1，+）时，f（x）0，x（）时，f（x）0；f（x）在（，1，+）上单调递增，在上单调递减；若0a，则f（x）在（0，a上单调递增；f（a）=f（a）=a（a1）2；若a，x时，f（x）0，x时，f（x）0；是f（x）的极大值；令f（x）=x，即：，则该方程有三个实数根，其中x=是二重根，不妨设另一根是b，则：（xb），所以该方程与上面的方程是同一方程，所以：该方程的常数项为，b=；即f（）=；当1时，f（a）=；当a时，f（x）在上单调递增；此时f（x）；f（a）=f（a）=a（a1）2；综上得：g（a）=；时，（a1）2的最小值是；时，的最小值是a=对应的值；a时，；g（a）的最小值为故答案为：【点评】考查函数导数符号和函数单调性的关系，函数极大值的概念，以及利用导数求最大值的方法：求导求出函数的极大值，然后和端点值比较，为便于求解可画出f（x）的草图二、解答题：（计80分）15已知p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0； q：实数x满足2x3（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】（1）先通过解一元二次不等式求出p下的x的取值范围：ax3a，a=1时，所以p：1x3根据pq为真得p，q都真，所以，所以解该不等式组即得x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，则：，所以解该不等式组即得a的取值范围【解答】解：（1）p：由原不等式得，（x3a）（xa）0，a0为，所以ax3a；当a=1时，得到1x3；q：实数x满足2x3；若pq为真，则p真且q真，实数x的取值范围是：（2，3）；（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；，解得1a2；实数a的取值范围是1，2【点评】考查解一元二次不等式，pq的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念16已知函数f（x）=（xr，a、b为实数），且曲线y=f（x）在点处的切线l的方程是9x+10y33=0（1）求实数a，b的值；（2）现将切线方程改写为y=（113x），并记g（x）=（113x），当x0，2时，试比较f（x）与g（x）的大小关系【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】综合题；方程思想；作差法；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，解a，b的方程，可得a，b的值；（2）作差可得f（x）g（x），记h（x）=9x333x2+19x3，x0，2求出导数，求得单调区间，可得h（x）的最大值，即可判断大小【解答】解：（1）由及切线l的方程是9x+10y33=0可得f（）=，化得4a3b+5=0，又易知f（）=3，化得a+3b10=0，解得a=1，b=3.（2）由，可得f（x）g（x）=，记h（x）=9x333x2+19x3，x0，2h（x）=27x266x+19=（3x1）（9x19），当时，h（x）0，h（x）递增，时，h（x）0，h（x）递减，故当x0，2时，所以当x0，2时，f（x）g（x）【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查作差法比较两数的大小，考查运算能力，属于中档题17已知点a（1，0），f（1，0），动点p满足=2|（1）求动点p的轨迹c的方程；（2）直线l过f交曲线c于a、b两点，若线段ab的长为6，求l的方程【考点】轨迹方程【专题】综合题；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用=2|，建立方程，化简，即可求动点p的轨迹c的方程；（2）直线l的方程为y=k（x1）代入y2=4x，得k2x2（2k2+4）x+k2=0，利用线段ab的长为6，求出k，即可求l的方程【解答】解：（1）设p（x，y），则=（x+1，y），=（x1，y），=（2，0），=2|，2（x+1）=2，y2=4x；（2）设直线l的方程为y=k（x1），a（x1，y1），b（x2，y2）直线l的方程为y=k（x1）代入y2=4x，得k2x2（2k2+4）x+k2=0，ab=（x11）+（x21）=6，=4解得，l的方程为【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18几名大学毕业生合作开设3d打印店，生产并销售某种3d产品已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元假设该产品的月销售量t（x）（件）与销售价格x（元/件）（xn*）之间满足如下关系：当34x60时，t（x）=a（x+5）2+10050；当60x70时，t（x）=100x+7600设该店月利润为m（元），月利润=月销售总额月总成本（1）求m关于销售价格x的函数关系式；（2）求该打印店月利润m的最大值及此时产品的销售价格【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用【专题】应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）利用x=60时，t（60）=1600，求出a，可得m关于销售价格x的函数关系式；（2）利用分段函数，分别求最值，即可求该打印店月利润m的最大值及此时产品的销售价格【解答】解：（1）当x=60时，t（60）=1600，代入t（x）=a（x+5）2+10050，解得a=2 m（x）=（2）设g（u）=（2u220u+10000）（u34）20000，34u60，ur，则g（u）=6（u216u1780）令g（u）=0，解得u1=82（舍去），u2=8+2（50，51当34u50时，g（u）0，g（u）单调递增；当51u60时，g（u）0，g（u）单调递减 xn*，m（50）=44000，m（51）=44226，m（x）的最大值为44226当60x70时，m（x）=100（x2+110x2584）20000单调递减，故此时m（x）的最大值为m（60）=21600 综上所述，当x=51时，月利润m（x）有最大值44226元 答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件 【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查导数知识的运用，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题19在平面直角坐标系xoy中，已知过点的椭圆c：（ab0）的右焦点为f（1，0），过焦点f且与x轴不重合的直线与椭圆c交于a，b两点，点b关于坐标原点的对称点为p，直线pa，pb分别交椭圆c的右准线l于m，n两点（1）求椭圆c的标准方程；（2）若点b的坐标为，试求直线pa的方程；（3）记m，n两点的纵坐标分别为ym，yn，试问ymyn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）如图所示，由于过点的椭圆c：（ab0）的右焦点为f（1，0），可得，解得即可（2）由点b的坐标为，点p与点b关于坐标原点对称，可得p利用斜率计算公式可得kbf即可得到直线bf的方程与椭圆的方程联立解得xa进而得到直线pa的方程（3）椭圆c的右准线l为： =4当直线abx轴时，b（1，），p即可得到直线pb的方程，直线pa的方程，即可得到ymyn当直线ab的斜率存在时，设a（x1，y1），b（x2，y2）则p（x2，y2）可得直线pb的方程为：，与x=4联立，解得yn=设直线ab的方程为：y=k（x1）直线pa的方程为：kpa=由，两式相减得=0得到，即得到直线pa的方程为：联立直线pa与l的方程，解得ym进而得到ymyn【解答】解：（1）如图所示，过点的椭圆c：（ab0）的右焦点为f（1，0），解得c=1，b2=3，a2=4椭圆c的标准方程为：（2）点b的坐标为，点p与点b关于坐标原点对称p可得kbf=直线bf的方程联立，化为5x28x=0，解得x=0或把x=0代入直线方程可得a=直线pa的方程为：（3）椭圆c的右准线l为： =4当直线abx轴时，b（1，），p直线pb的方程为：，联立，解得yn=6直线pa的方程为：，ynym=6=9当直线ab的斜率存在时，设a（x1，y1），b（x2，y2）则p（x2，y2）直线pb的方程为：，联立，解