江苏省长泾中学、成化高中、华士高中高一数学下学期期中试卷（含解析）.doc

江苏省长泾中学、成化高中、华士高中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 一填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1（5分）已知直线l：xay+3=0的倾斜角为30，则实数a的值是2（5分）不等式6x25x+10的解集是3（5分）数列an为等差数列，已知a3+2a8+a9=20，则a74（5分）在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若b=1，c=，c=120，则abc的面积是5（5分）若an为等差数列，其前n项和为sn，若s4=3，s8=9，则a17+a18+a19+a20=6（5分）在公比为q=2的等比数列an中，sn是其前n项和，若am=2，sn=，则m=7（5分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若a2b2=2bc，sinc=3sinb，则a=8（5分）数列an的前n项和sn，且2sn+2=sn+1+sn，则数列an的公比为9（5分）已知a（2，3），b（4，1）直线l：kx+yk+1=0与线段ab有公共点，则k的取值是10（5分）变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3|x|+|y3|的取值范围是11（5分）数列an的首项为a1=1，数列bn为等比数列且，若则a21=12（5分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=45，1+=，则边c的值为13（5分）设数列an的n项和为sn，且a1=a2=1，nsn+（n+2）an为等差数列，则an的通项公式an=14（5分）已知函数f（x）=x22ax+a21，若关于x的不等式f（f（x）0的解集为空集，则实数a的取值范围是二解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15，16，17题每题14分，18，19，20题每题16分）15（14分）在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且acosc+c=b（1）求角a的大小（2）若a=，b=4，求边c的大小16（14分）已知直线l经过点p（3，4）（1）若直线l的倾斜角为（90），且直线l经过另外一点（cos，sin），求此时直线的方程；（2）若直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程17（14分）设数列an的前n项和为sn，且对于任意的正整数n，sn和an都满足sn=2an（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足b1=1，且bn+1=bn+an求数列bn的通项公式；（）设cn=n（3bn），求数列cn的前n项和tn18（16分）如图，在rtabc中，acb=，ac=3，bc=2，p是abc内一点（1）若p是等腰三角形pbc的直角顶角，求pa的长；（2）若bpc=，设pcb=，求pbc的面积s（）的解析式，并求s（）的最大值19（16分）已知f（x）=3x2+a（5a）x+b（1）当不等式f（x）0的解集为（1，3）时，求实数a，b的值；（2）若对任意实数a，f（2）0恒成立，求实数b的取值范围；（3）设b为已知数，解关于a的不等式f（1）020（16分）设数列an，bn，cn，已知a1=4，b1=3，c1=5，an+1=an，bn+1=，cn+1=（nn*）（1）求数列cnbn的通项公式；（2）求证：对任意nn*，bn+cn为定值；（3）设sn为数列cn的前n项和，若对任意nn*，都有p（sn4n），求实数p的取值范围江苏省长泾中学、成化高中、华士高中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1（5分）已知直线l：xay+3=0的倾斜角为30，则实数a的值是考点：直线的倾斜角 专题：直线与圆分析：由中线的倾斜角和斜率的关系得到a解答：解：因为直线l：xay+3=0的倾斜角为30，所以直线的斜率为tan30=，所以a=；故答案为：点评：直线的倾斜角为，那么它的斜率为tan（90）2（5分）不等式6x25x+10的解集是（1考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：先求出方程6x25x+1=0的实数根，结合二次函数图象，写出不等式6x25x+10的解集解答：解：方程6x25x+1=0的实数根是x1=1，x2=；不等式6x25x+1=0的解集是（1解答：解：由正弦定理可得：sinb=，结合b=1c=，可得b为锐角，从而解得：b=30，a=18012030=30，sabc=bcsina=故答案为：点评：本题主要考查了正弦定理，大边对大角，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识的应用，属于基本知识的考查5（5分）若an为等差数列，其前n项和为sn，若s4=3，s8=9，则a17+a18+a19+a20=15考点：等差数列的通项公式 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据等差数列的定义与性质，利用前n项和sn的公式，求出公差d，再计算a17+a18+a19+a20的值解答：解：等差数列an中，其前n项和为sn，且s4=3，s8=9，a1+a2+a3+a4=3，a5+a6+a7+a8=s8s4=6，4d+4d+4d+4d=63=3，16d=3；a17+a18+a19+a20=（a1+16d）+（a2+16d）+（a3+16d）+（a4+16d）=（a1+a2+a3+a4）+416d=3+43=15故答案为：15点评：本题考查了等差数列的定义与性质的应用问题，也考查了前n项和公式的应用问题，是基础题目6（5分）在公比为q=2的等比数列an中，sn是其前n项和，若am=2，sn=，则m=8考点：等比数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：设首项为a1，根据sn是其前n项和，得到sn=，继而求出a1，再根据等比数列的通向公式求出m的值解答：解：设首项为a1，sn是其前n项和，am=2，sn=，sn=，a1=26，am=a12m1=2，a1=22m，26=22m，6=2m，解得m=8，故答案为：8点评：本题考查了等比数列的通向公式和前n项和，属于基础题7（5分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若a2b2=2bc，sinc=3sinb，则a=60考点：余弦定理；正弦定理 专题：三角函数的求值；解三角形分析：已知等式sinc=3sinb利用正弦定理化简，得到c=3b，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosa，将表示出的a，c及b代入求出cosa的值，即可确定出a的度数解答：解：已知等式sinc=3sinb，利用正弦定理化简得：c=3b，代入已知等式得：a2b2=6b2，即a=b，cosa=，则a=60故答案为：60点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键8（5分）数列an的前n项和sn，且2sn+2=sn+1+sn，则数列an的公比为考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：设出等比数列的公比，可知公比等于1时不合题意，公比不等于1时，由等比数列的前n项和结合已知的等式求解解答：解：设等比数列an的公比为q，若q=1，则2sn+2=2（n+2）a1，sn+1=（n+1）a1，sn=na1，等式2sn+2=sn+1+sn不成立；当q1时，由2sn+2=sn+1+sn，得，整理得：q2q1=0，解得：故答案为：点评：本题考查了数列递推式，考查了等比数列的前n项和，考查了计算能力，是中低档题9（5分）已知a（2，3），b（4，1）直线l：kx+yk+1=0与线段ab有公共点，则k的取值是（，专题：直线与圆分析：直线l：kx+yk+1=0经过 c（1，1）点，斜率为k，kbc，kac，由此利用数形结合法能求出k的取值范围解答：解：a（2，3），b（4，1）直线l：kx+yk+1=0经过 c（1，1）点，斜率为k讨论临界点：当直线l经过b点（4，1）时，kbc=k=，结合图形知k；当直线l经过a点（2，3）时，kac=k=，结合图形知k（，k故答案为：（，考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论解答：解：不等式组对应的平面区域如图：x0，y3，z=3|x|+|y3|=3xy+3，由z=3xy+3得y=3xz+3，平移直线y=3xz+3，由图象可知当直线y=3xz+3经过点a时，直线y=3xz+3的截距最大，此时z最小，由，解得，即a（，3），此时zmin=33+3=，当直线y=3xz+3经过点b（2，0）时，直线y=3xz+3的截距最小，此时z最大，此时zmax=320+3=9，故z9，故答案为：点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键11（5分）数列an的首项为a1=1，数列bn为等比数列且，若则a21=4考点：数列的应用 专题：等差数列与等比数列分析：由已知结合，得到a21=b1b2b20，结合及等比数列的性质求得a21解答：解：由已知结合bn=，a1=1，得b1=a2b2=，a3=a2b2=b1b2b3=，a4=a3b3=b1b2b3an=b1b2bn1a21=b1b2b20数列bn为等比数列，a21=（b1b20）（b2b19）（b10b11）=（b10b11）10=（）10=4故答案为：4点评：本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，根据条件转化为等比数列是解决本题的关键12（5分）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=45，1+=，则边c的值为2考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用 专题：解三角形分析：利用条件、同角三角函数的基本关系、正弦定理求得=，求得cosa的值，可得a的值，再利用正弦定理求得c的值解答：解：在abc中，1+=1+=，故有正弦定理可得 =，cosa=，a=60再由a=2，c=45，利用正弦定理可得 =，即 =，c=2，故答案为：2点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理的应用，属于中档题13（5分）设数列an的n项和为sn，且a1=a2=1，nsn+（n+2）an为等差数列，则an的通项公式an=考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：令bn=nsn+（n+2）an，由已知得b1=4，b2=8，从而bn=nsn+（n+2）an=4n，进一步得到是以为公比，1为首项的等比数列，由此能求出an的通项公式解答：解：设bn=nsn+（n+2）an，数列an的前n项和为sn，且a1=a2=1，b1=4，b2=8，bn=b1+（n1）（84）=4n，即bn=nsn+（n+2）an=4n当n2时，snsn1+（1+）an（1+）an1=0=，即2，是以为公比，1为首项的等比数列，=，点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质，解答的关键是注意构造法和等差数列、等比数列的性质的合理运用，是中档题14（5分）已知函数f（x）=x22ax+a21，若关于x的不等式f（f（x）0的解集为空集，则实数a的取值范围是a2考点：其他不等式的解法 专题：函数的性质及应用分析：由f（x）0解得a1xa+1，不等式f（f（x）0a1f（x）a+1，原不等式的解集为空集，得到a1f（x）a+1解集为空集，那么（a1，a+1）与值域的交集为空集，求出a的范围解答：解：f（x）=x22ax+a21=x22ax+（a1）（a+1）=由f（x）0即0解得a1xa+1，那么不等式f（f（x）0a1f（x）a+1 （*）又f（x）=（xa）21当x=a时，f（x）取得最小值1即函数的值域为（2）由余弦定理，得a2=b2+c22bccosa，因为a=，b=4，a=，所以13=16+c22，即c24c+3=0，（12分）解得c=1或c=3（14分）点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查16（14分）已知直线l经过点p（3，4）（1）若直线l的倾斜角为（90），且直线l经过另外一点（cos，sin），求此时直线的方程；（2）若直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程考点：直线的截距式方程；直线的倾斜角 专题：直线与圆分析：（1）利用直线上两点以及直线倾斜角表示直线斜率，得到关于的等式，求出tan（2）由题意知，直线l的斜率必存在，且不为零，则设l：y4=k（x3），由直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形，由此得到直线在x，y轴上的截距的绝对值相等，得到关于斜率k的方程求出斜率解答：解：（1）直线l的斜率为k=tan=，（2分）解得4cos=3sin，即tan（4分）所以直线l的斜率为，直线l的方程为y=；（6分）（2）由题意知，直线l的斜率必存在，且不为零，则设l：y4=k（x3），（7分）分别令x，y等于零得到x轴上的截距为，y轴上的截距为3k+4，（8分）由|+3|=|3k+4|，得+3=3k+4，解得k=1，或k=；（10分）或者+3=3k4，解得k=1或k=；（12分）经检验k=不合题意，舍去（13分）综上：k的值为1，直线l的方程为：y=x+1或y=x+7（14分）点评：本题考查了直线的斜率以及直线在坐标轴上的截距考查了讨论的思想17（14分）设数列an的前n项和为sn，且对于任意的正整数n，sn和an都满足sn=2an（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足b1=1，且bn+1=bn+an求数列bn的通项公式；（）设cn=n（3bn），求数列cn的前n项和tn考点：数列递推式；数列的求和 专题：综合题分析：（）由题设知a1=1，an+sn=2，an+1+sn+1=2，两式相减：an+1an+an+1=0，故有2an+1=an，由此能求出数列an的通项公式（）由bn+1=bn+an（n=1，2，3，），知，再由累加法能推导出（n=1，2，3，）（）由，知，再由错位相减法能够推导出数列cn的前n项和tn解答：解：（）n=1时，a1+s1=a1+a1=2，a1=1，sn=2an，即an+sn=2，an+1+sn+1=2，两式相减：an+1an+sn+1sn=0，即an+1an+an+1=0，故有2an+1=an，an0，所以，数列an为首项a1=1，公比为的等比数列，nn+，（）bn+1=bn+an（n=1，2，3，），得b2b1=1，（n=2，3，）将这n1个等式相加，=，又b1=1，（n=1，2，3，）（），而得：，=8=点评：第（）题考查迭代法求数列通项公式的方法，第（）题考查累加法求数列通项公式的方法，第（）题考查错位相减求数列前n项和的方法解题时要认真审题，仔细解答18（16分）如图，在rtabc中，acb=，ac=3，bc=2，p是abc内一点（1）若p是等腰三角形pbc的直角顶角，求pa的长；（2）若bpc=，设pcb=，求pbc的面积s（）的解析式，并求s（）的最大值考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；正弦定理 专题：解三角形分析：（1）由三角形pbc为等腰直角三角形，利用勾股定理求出pc的长，在三角形pac中，利用余弦定理求出pa的长即可；（2）在三角形pbc中，由bpc与pcb的度数表示出pbc的度数，利用正弦定理表示出pb与pc，进而表示出三角形pbc面积，利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可解答：解：（1）p为等腰直角三角形pbc的直角顶点，且bc=2，pcb=，pc=，acb=，acp=，在pac中，由余弦定理得：pa2=ac2+pc22acpccos=5，整理得：pa=；（2）在pbc中，bpc=，pcb=，pbc=，由正弦定理得：=，pb=sin，pc=sin（），pbc的面积s（）=pbpcsin=sin（）sin=sin（2+），（0，），则当=时，pbc面积的最大值为点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键19（16分）已知f（x）=3x2+a（5a）x+b（1）当不等式f（x）0的解集为（1，3）时，求实数a，b的值；（2）若对任意实数a，f（2）0恒成立，求实数b的取值范围；（3）设b为已知数，解关于a的不等式f（1）0考点：二次函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：（1）由题意知，1和3是方程3x2+a（5a）x+b=0 的两个根，由根与系数的关系得，解之可得结果（2）若f（2）0恒成立，可根据二次不等式恒成立的条件，构造关于b的不等式，解不等式可求出实数b的取值范围；（3）由b为已知数，可得关于a的二次不等式，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案解答：解：（1）不等式3x2+a（5a）x+b0的解集为（1，3），1和3是方程3x2+a（5a）x+b=0 的两个根，解得：，或（2）若对任意实数a，f（2）0恒成立，则12+2a（5a）+b0恒成立，即2a2+10a+b120恒成立，则100+8（b12）0解得b（3）f（1）=3+a（5a）+b=a2+5a+b3，f（1）0，a25a+3b0=13+4b，当0，即b时，f（1）