2009届全国名校真题模拟专题训练2-函数解答题（数学）.doc

2009届全国名校真题模拟专题训练02函数三、解答题1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)已知函数（1）求反函数（2）判断是奇函数还是偶函数并证明。解：（1）令则 （2） 为奇函数2、(江苏省启东中学高三综合测试二) 解：设,则f(t)的顶点横坐标为,属于,故f(t)在上是减函数,在为增函数,所以最小值在达到,为,当时达到最小值,该函数没有最大值3、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)求函数的定义域：解：由题意得 4、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知函数 (1)判断函数的奇偶性。 (2)判断函数的单调性。解：（1） = 为奇函数 （2）是R上的增函数，（证明略）5、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知函数=的图像过点(-4，4)，且关于直线成轴对称图形，试确定的解析式.解：由题意得又 b=1代入得，6、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地长方形上规划出一块长方形地面建造公园，公园一边落在CD上，但不得越过文物保护区的EF.问如何设计才能使公园占地面积最大，并求这最大面积.（ 其中AB=200m，BC=160m，AE=60m，AF=40m.）解：设CG=X，矩形CGPH面积为Y，如图HC=160 当（m）即CG长为190m时，最大面积为（m2）7、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的函数y=f(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围。解：（1）令a=b=0，则f(0)=f(0)2 f(0)0 f(0)=1（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0时，f(x)10，当x0，f(-x)0 又x=0时，f(0)=10 对任意xR，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x) 又1=f(0)，f(x)在R上递增 由f(3x-x2)f(0)得：x-x20 0x0 ,只需，且9、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）（3）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：（）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；（）当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床请你研究一下哪种方案处理较为合理？请说明理由解：（1）依题得： 3分（2）解不等式 6分（3）（）当且仅当时，即x=7时等号成立到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利127+30114万元10分（）故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12114万元 11分盈利额达到的最大值相同，而方案所用的时间较短，故方案比较合理10、(四川省成都市一诊)已知函数是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的，都有，且，又当时，其导函数恒成立。（）求的值；（）解关于x的不等式：，其中解：(1)由f(mn)f(m)n得：f(0)f(00)f(0)0函数f(x)的图象均在x轴的上方,f(0)0,f(0)13分f(2)f(12)f(1)24，又f(x)0f(1)2,f(1)f(1)23分(2)又当时，其导函数恒成立，在区间上为单调递增函数当时，；当时，；当时，综上所述：当时，；当时，；当时，。11、(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大，表示接受能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可以有以下公式：f(x)(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？(2)开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解：(1)当0x10时，f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9故f(x)在0x10时递增，最大值为f(10)0.1(1013)259.959当10x16时，f(x)59当x16时，f(x)为减函数，且f(x)59因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力(为59)，能维持6分钟时间.5分(2)f(5)0.1(513)259.953.5 f(20)3201074753.5故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些.8分(3)当0x10时，令f(x)55，解得x6或20(舍) 当x16时，令f(x)55，解得x17因此学生达到(含超过)55的接受能力的时间为1761113(分)老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题.12、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知函数满足下列条件：函数的定义域为0，1；对于任意； 对于满足条件的任意两个数 （1）证明：对于任意的； （2）证明：于任意的； （3）不等式对于一切x0，1都成立吗？试说明理由. （1）证明：对于任意的即对于任意的 5分 （2）证明：由已知条件可得所以对于任意的 10分 （3）解：取函数则显然满足题目中的（1），（2）两个条件， 任意取两个数即不等式 13、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长都在的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”（I）判断，中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（II）如果是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“保三角形函数”；（III）若函数，是“保三角形函数”，求的最大值（可以利用公式）解：（I）是“保三角形函数”，不是“保三角形函数” 1分任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，由于，所以是“保三角形函数”. 3分对于，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但，所以不存在三角形以为三边长，故不是“保三角形函数” 4分（II）设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得，取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，但，不能作为任何一个三角形的三边长故不是“保三角形函数” 8分（III）的最大值为 9分一方面，若，下证不是“保三角形函数”.取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“保三角形函数”.另一方面，以下证明时，是“保三角形函数”对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：（1），此时，同理，故，同理可证其余两式.可作为某个三角形的三边长（2）此时，可得如下两种情况：时，由于，所以，.由在上的单调性可得；时，同样，由在上的单调性可得；总之，.又由及余弦函数在上单调递减，得，同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长故时，是“保三角形函数”综上，的最大值为14、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点如果函数有且仅有两个不动点、，且（）试求函数的单调区间；（）已知各项不为零的数列满足，求证：；（）设，为数列的前项和，求证：解：（）设 由 又 3分 于是 由得或； 由得或 故函数的单调递增区间为和，单调减区间为和 4分（）由已知可得， 当时， 两式相减得或当时，若，则这与矛盾 6分于是，待证不等式即为为此，我们考虑证明不等式令则，再令， 由知当时，单调递增 于是即 令， 由知当时，单调递增 于是即 由、可知 10分所以，即 11分（）由（）可知 则 在中令，并将各式相加得 即15、(山东省博兴二中高三第三次月考)已知函数f（x）的定义域为x| x k，k Z，且对于定义域内的任何x、y，有f（x - y） = 成立，且f（a） = 1（a为正常数），当0 x 0（I）判断f（x）奇偶性；（II）证明f（x）为周期函数；（III）求f （x）在2a，3a 上的最小值和最大值解：（1）定义域x| x k，kZ 关于原点对称，又f（- x） = f （a - x） - a= = = = = = - f （x），对于定义域内的每个x值都成立 f（x）为奇函数-（4分）（2）易证：f（x + 4a） = f（x），周期为4a-（8分）（3）f（2a）= f（a + a）= f a -（- a）= = = 0，f（3a）= f（2a + a）= f 2a -（- a）= = = - 1先证明f（x）在2a，3a上单调递减为此，必须证明x（2a，3a）时，f（x） 0，设2a x 3a，则0 x - 2a 0， f（x） 0-（10分）设2a x1 x2 3a，则0 x2 - x1 a， f（x1） 0 f（x2） 0， f（x1）- f（x2）= 0， f（x1） f（x2）， f（x）在2a，3a上单调递减-（12分） f（x）在2a，3a上的最大值为f（2a = 0，最小值为f（3a）= - 116、(四川省成都市高2008届毕业班摸底测试)已知向量的图象按向量m平移后得到函数的图象。 （）求函数的表达式； （）若函数上的最小值为的最大值。解：（）设P（x，y）是函数图象上的任意一点，它在函数图象上的对应点，则由平移公式，得 2分 代入函数中，得 2分 函数的表达式为 1分（）函数的对称轴为当时，函数在上为增函数， 2分当时，当且仅当时取等号； 2分当时，函数在上为减函数， 2分综上可知，当时，函数的最大值为 17、（本小题满分12分）已知函数的定义域为，（1）求M （2）当 时，求 的最小值.解 (1) （4分）(2)=又，（6分）若，即时，=，（8分）若，即时，所以当即时，=（11分）18、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)已知函数， （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由。 （2）若函数在上是增函数，求的取值范围。19、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)设函数。 （1）求的单调区间； （2）是否存在正实数，使函数的定义域为时值域为？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由。20、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)已知函数成等差数列. （）求的值； （）若a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断的大小关系，并证明你的结论. 解：（）由成等差数列，得，即 5分（） 7分 8分 10分 21、(广东省2008届六校第二次联考)已知集合是满足下列性质的函数的全体, 存在非零常数, 对任意, 有成立.(1) 函数是否属于集合? 说明理由;(2) 设, 且, 已知当时, , 求当时, 的解析式.解: (1) 假设函数属于集合, 则存在非零常数, 对任意, 有成立,即: 成立. 令, 则, 与题矛盾. 故.(2) , 且, 则对任意, 有,设, 则, 当时, , 故当时, .22、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）佛山某公司生产陶瓷，根据历年的情况可知，生产陶瓷每天的固定成本为14000元，每生产一件产品，成本增加210元已知该产品的日销售量与产量之间的关系式为 ，每件产品的售价与产量之间的关系式为（）写出该陶瓷厂的日销售利润与产量之间的关系式；（）若要使得日销售利润最大，每天该生产多少件产品，并求出最大利润解：()总成本为 1分所以日销售利润 6分()当时， 7分令，解得或 8分于是在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在时取到最大值，且最大值为30000； 10分当时， 12分综上所述，若要使得日销售利润最大，每天该生产400件产品，其最大利润为30000元23、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间。讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的关系式：(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？(2)一个数学难题，需要55(或以上)的接受能力，上课开始30分钟内, 求能达到该接受能力要求的时间共有多少分钟? (3)如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值M=，它能高于45吗？解：（1）0x10时，有f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9故当0x10时，时，f(x)递增，最大值为f(10)=-0.1(-3)2+59.9=59;显然，当16x30时，f(x)递减，f(x)-316+107=59. 因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟； （5分） (2) 依题意, 当0x10时，令f(x)55,则(x-13)249, 6x10; （7分） 当10x16时，f(x)=59符合要求；（8分）当16x30时，令f(x)55,则x17 （9分） 因此，学生达到（或超过）55的接受能力的时间为17611 (分钟)；（11分） (3)f(5)=53.5, f(10)=59, f(15)=59, f(20)=47，f(25)=32, f(30)=17所以M=44.60；对任意x1，x2(0，1)，恒有2.()求证：对任意x(0，1)，恒有f(x)f (1x)；()求证：对任意的x1、x2(0，1)，恒有f (x1)f (x2)25、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)某市的出租车的价格规定：起步费11元，可行3千米；3千米后按每千米2.1元计价,可再行7千米;以后每千米都按3.15元计价,设每一次乘车的车费由行车里程确定.(1)请写出一次乘车的车费y元与行车的里程x千米的函数关系;(2)计算如果一次乘车费为32元,那么汽车行程为多少千米?(3)请问当行程为28千米时,请你设计一种乘车方案,使总费用最省.解：（1） （4分） （2）=32， 千米（6分） （3）当行程为3千米时，平均每千米为11/3元，显然当行程为10千米时，费用最省，即行程10千米时下车，重新上车计费，故当行程为28千米时，两次分别行程10千米时下车，重新上车计费，其费用为72.9元。26、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在（0，）上减函数，在是增函数。（1）如果函数的值域为，求的值；（2）研究函数（常数）在定义域的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例。研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）。解：（1）函数的最小值是，则=6，（2分） （2）设 当时，函数在是增函数；（4分） 当时，函数在是减函数（5分） 又是偶函数，于是，该函数在上是减函数，在是增函数 （3）可以把函数推广为（常数），其中a是正整数。（7分）当n是奇数时，函数在是减函数，在是增函数，在上是增函数，在上是减函数；（9分）当n是奇数时，函数在是减函数，在是增函数，在上是减函数，在上是增函数；工协作（11分）因此在上减函数，在1，2上是增函数。反以，当或时，取得最大值当x=1时取得最小值。27、(湖北省荆门市2008届上期末)设函数（、）(1)若，且对任意实数均有0成立，求实数、的值.(2)在(1)的条件下，当2，2时，是单调函数，求实数的取值范围.解 ：(1) 又对任意实数均有0成立恒成立，即恒成立 6分(2)由（1）可知在2，2时是单调函数， 即实数的取值范围为28、(黄家中学高08级十二月月考)设函数是R上的奇函数。（）求a的值； （）求的反函数；（）若k,解不等式： 【解】：（）： f(x) 是R上的奇函数，f(0)=0 得a=1() y= y+y2x=2x-1 2x(y-1)=-1-y,2x= 即：f-1(x)=log