（江苏专用）高考数学大一轮复习 第九章 立体几何初步 第52课 空间几何体的表面积与体积 文.doc

第52课 空间几何体的表面积与体积(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修2p55习题2改编)已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3 cm，那么这个正四棱柱的侧面积是.【答案】72 cm2【解析】易求侧面矩形的高为6 cm，所以侧面积为436=72(cm2).2.(必修2p63习题2改编)若一个正六棱锥的底面边长为6 cm，高为15 cm，则它的体积为.【答案】270 cm3【解析】体积为v=sh=66615=270(cm3).3.(必修2p69复习题5改编)若长方体相邻的三个面的面积分别是，则长方体的体积为.【答案】【解析】可求三棱长为1，则体积为1=.4.(必修2p71复习题20改编)设p，a，b，c是球o表面上的四点，pa，pb，pc两两垂直，且pa=1，pb=，pc=3，则球o的表面积是.【答案】16【解析】可把pa，pb，pc看成长方体从同一个定点出发的三条棱，则球o的半径的大小为=2，所以球o的表面积为16.1.一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫作该多面体的平面展开图.2.侧棱与底面垂直的棱柱叫作直棱柱，把直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是棱柱的侧面积.底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.3.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心，这样的棱锥为正棱锥.棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积.4.正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台.5.多面体的面积与体积公式(1)底面周长为c，高为h的直棱柱的侧面积公式是s直棱柱侧=ch；(2)长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的体积为v长方体=abc；(3)柱体的体积等于它的底面积s和高h的积，即v柱体=sh；(4)底面周长为c，斜高为h的正棱锥的侧面积为s正棱锥侧=ch；(5)锥体的体积为v锥体=sh，其中s为锥体底面积，高为h.(6)上、下底面周长分别为c，c，斜高为h的正棱台的侧面积公式是s正棱台侧=(c+c)h；(7)台体的体积为v台体=h(s+s)，其中台体的上、下底面面积分为s，s，台体的高为h.(8)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式：s圆柱侧=cl=2rl、s圆锥侧=cl=rl、s圆台侧=(c+c)l=(r+r)l.(9)球体的体积公式为v球=r3，球体的表面积公式为s球=4r2，其中r为球的半径.【要点导学】要点导学各个击破与简单多面体表面积有关的问题例1如图(1)，已知斜三棱柱abc-a1b1c1的底面是边长为4 cm的正三角形，侧棱长为3 cm，侧棱aa1与底面相邻的两边都成60角.(例1(1)(1)求证：四边形cc1b1b是矩形；(2)求这个棱柱的侧面积.【思维引导】该棱柱为斜三棱柱，并且知道侧棱长为3 cm，欲求侧面积，可先求各侧面的面积，再相加即可.【解答】(例1(2)(1)如图(2)，因为aa1与a1b1，a1c1所成的角都为60，所以点a在平面a1b1c1上的射影o在c1a1b1的平分线上.又因为a1b1c1是正三角形，a1ob1c1，所以aa1b1c1.又因为aa1bb1，所以bb1b1c1，所以四边形cc1b1b是矩形.(2)=abaa1sin 120=43=6(cm2)，所以=6 (cm2).又=bccc1=43=12 (cm2)，所以s侧=+=12+12(cm2).【精要点评】对于斜三棱柱，分别求三个侧面的面积，然后求和是常用的求侧面积的方法.变式1如图(1)，已知三棱柱abc-a1b1c1的底面是边长为a的正三角形，且顶点a1到底面各顶点的距离都相等，侧棱aa1和底边ab的夹角为45，求此三棱柱的侧面积.(变式1(1)【解答】如图(2)，过a1作a1o平面abc，过o作odab，连接a1d.由题意得a1a=a1b=a1c，a1ab=45，(变式1(2)因为底面abc是正三角形，所以点o为abc的中心.在rta1ao中，ao=a=a.在rtaod中，cos 30=，所以ad=ao=a=a.在rta1ad中，aa1=ad=a，a1d=a .所以s侧面积=aa2+aa=a2+a2=a2.变式2(2015南通期末)底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为.【答案】4【解析】正四棱锥的底面边长为2，高为1，则侧面的高为，所以该正四棱锥的侧面积为42=4.与简单多面体体积有关的问题例2(2014重庆卷)在如图(1)所示的四棱锥p-abcd中，底面是以o为中心的菱形，po底面abcd，ab=2，bad=，m为bc上一点，且bm=.(例2(1)(1)求证：bc平面pom；(2)若mpap，求四棱锥p-abmo的体积.【思维引导】要证bc平面pom，可证bcom，bcpo.要求体积，关键是找到多面体的高与底面面积.题中po为高；根据条件有s四边形abmo=saob+somb，然后再求两个三角形的面积.【解答】(1)如图(2)，连接ob，因为四边形abcd为菱形，o为菱形的中心，则aoob.(例2(2)因为bad=，所以oab=，ob=absinoab=2sin=1.又因为bm=，且obm=，在obm中，om2=ob2+bm2-2obbmcosobm=12+-21cos=，所以ob2=om2+bm2，故ombm.又po底面abcd，所以pobc.又poom=o，所以bc平面pom.(2)连接am，由(1)可得oa=abcosoab=2cos=.设po=a，由po底面abcd，知poa为直角三角形，故pa2=po2+oa2=a2+3.又pom也是直角三角形，故pm2=po2+om2=a2+.在abm中，am2=ab2+bm2-2abbmcosabm=22+-22cos=.由已知mpap，故apm为直角三角形，则pa2+pm2=am2，即a2+3+a2+=，解得a=或-(舍去)，即po=.此时s四边形abmo=saob+somb=aoob+bmom=1+=.所以=s四边形abmopo=.【精要点评】(1)正确运用公式是求得多面体体积的前提；(2)正确求得某些关键量(比如高或底面面积)是求得多面体体积的关键；(3)对于不易直接求解体积的复杂问题，要时刻关注转化.变式1(2014辽宁卷)如图(1)，abc和bcd所在平面互相垂直，且ab=bc=bd=2，abc=dbc=120，e，f，g分别为ac，dc，ad的中点.(变式1(1)(1)求证：ef平面bcg；(2)求三棱锥d-bcg的体积.【解答】(1)由已知得abcdbc.所以ac=dc.又g为ad的中点，所以cgad.同理bgad.因为cgbg=g，所以ad平面bgc.因为e，f为ac，cd的中点，所以efad，所以ef平面bcg.(2)如图(2)，在平面abc内，作aobc，交cb延长线于o，由平面abc平面bcd，知ao平面bdc.(变式1(2) 又g为ad的中点，因此点g到平面bcd的距离h是ao长度的一半，在aob中，ao=absin 60=，所以=vg-bcd=sdbch=bdbcsin 120=.变式2(2015宿迁一模)如图，在正三棱柱abc-a1b1c1中，若各条棱长均为2，且m为a1c1的中点，求三棱锥m-ab1c的体积.(变式2)【解答】=-=222-2=.简单旋转体的面积与体积例3已知一个圆锥的底面半径为r，高为h，在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积.(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大?并求出最大值.(例3)【解答】(1)如图，sab为圆锥的一个轴截面，设圆柱底面圆半径为r，则=，所以r=，所以s圆柱侧=2rx=2=.(2)由(1)知，当x=时，圆柱的侧面积最大，smax=rh.变式1(2015江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为.【答案】【解析】由体积相等得452+228=r24+r28，解得r=.变式2(2015全国卷改编)已知a，b是球o的球面上两点，aob=90，c为该球面上的动点，若三棱锥o-abc体积的最大值为36，则球o的表面积为.【答案】144(变式2)【解析】如图所示，当点c位于垂直于平面aob的直径的端点时，三棱锥o-abc的体积最大，设球o的半径为r，此时=r2r=r3=36，故r=6，则球o的表面积为s=4r2=144.1.(2015盐城三模)已知正四棱锥p-abcd的体积为，底面边长为2，则侧棱pa的长为.【答案】【解析】由题意得v=22h=，解得h=1，所以侧棱长为=.2.(2015苏州调查)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为s1，s2，则s1s2=.【答案】32【解析】设球的直径为2r，则s1s2=(2r2+2r2r)4r2=32.3.(2016苏北四市期中)底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为.【答案】【解析】由题意知底面面积s=22=4，正四棱锥的高为h=1，所以正四棱锥的体积v=41=.4.(2015苏锡常镇、宿迁一调)如图(1)，在四棱锥p-abcd中，pa底面abcd，底面abcd是矩形，ab=2，ad=3，pa=4，e为棱cd上一点，求三棱锥e-pab的体积.(第4题(1)【解答】如图(2)，在矩形abcd中，过点e作ehad.因为四边形abcd为矩形，所以ehab.(第4题(2)又因为pa底面abcd，eh底面abcd，所以paeh.又abpa=a，ab，pa平面pab，所以eh平面pab.即三棱锥e-pab的高为eh，故三棱锥e-pab的体积为v=ehabpa=324=4.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第103104页.【检测与评估】第52课空间几何体的表面积与体积一、 填空题1.若两个球的表面积之比为14，则这两个球的体积之比为.2.(2014苏州调研)若圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为.3.(2015南通、扬州、淮安、连云港二调)如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=3 cm，ad=2 cm，aa1=1 cm，则三棱锥b1-abd1的体积为cm3.(第3题)4.(2015泰州二模)若圆柱的侧面积和体积的值都是12，则该圆柱的高为.5.(2014苏北四市摸底)若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则它的体积为.6.(2015苏州期末)已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为.7.(2015山东卷)在梯形abcd中，abc=，adbc，bc=2ad=2ab=2.将梯形abcd绕ad所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为.8.(2014南京、盐城一模)如图，在四棱锥p-abcd中，底面abcd是边长为2的菱形，bad=60，侧棱pa底面abcd，pa=2，e为ab的中点，则四面体pbce的体积为.(第8题)二、 解答题 9.如图，正三棱锥o-abc的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积.(第9题)10.(2014福建卷)如图，在三棱锥a-bcd中，ab平面bcd，cdbd.(1)求证：cd平面abd；(2)若ab=bd=cd=1，m为ad的中点，求三棱锥a-mbc的体积.(第10题)11.(2014徐州质检)如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，ab=ac=5，bb1=bc=6，d，e分别是aa1和b1c的中点.(1)求证：de平面abc；(2)求三棱锥e-bcd的体积.(第11题)三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015广东卷)如图，pdc所在的平面与矩形abcd所在的平面垂直，pd=pc=4，ab=6，bc=3.(第12题)(1)求证：bc平面pda；(2)求证：bcpd；(3)求点c到平面pda的距离.【检测与评估答案】第52课空间几何体的表面积与体积1. 18【解析】由s1s2=14，得r1r2=12，则v1v2=18.2.【解析】先求得圆锥的母线长为，再结合侧面积公式求得侧面积为.3.1【解析】三棱锥b1-abd1的体积=a1d1=312=1.4.3【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则解得h=3，r=2，所以该圆柱的高为3.5.【解析】设该正三棱锥的高为h，则h=2，所以该正三棱锥的体积v=222=.6. 【解析】设该圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l=2，则由2r=2l，得r=1，从而h=，所以该圆锥的体积为v=r2h=.7.【解析】v=122-121=.8.【解析】高pa=2，底面积sebc=，所以体积为.9. 如图，由题设可知正三棱锥o-abc的底面abc是边长为2的正三角形，经计算得abc的面积为，所以该三棱锥的体积为1=.设o是正三角形abc的重心.由正三棱锥的性质可知oo平面abc.延长ao交bc于点d，得ad=，od=.又因为oo=1，所以正三棱锥的斜高od=，故侧面积为23=2，所以该三棱锥的表面积为+2=3.因此，所求三棱锥的体积为，表面积为3.(第9题)10.(1) 因为ab平面bcd，cd平面bcd，所以abcd.又因为cdbd，abbd=b，ab平面abd，bd平面abd，所以cd平面abd.(2) 由ab平面bcd，得abbd.因为ab=bd=1，所以sabd=.因为m是ad的中点，所以sabm=s