江苏省常州市高三数学调研测试（七）试题.DOC

2013届高三调研测试试卷(七)数学(满分160分，考试时间120分钟)201301一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 设集合a1，ba，若ba，则实数a的值为_2. 已知复数z1i(i为虚数单位)，计算：_3. 已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线经过点(1，2)，则该双曲线的离心率为_ (第4题)4. 根据右图所示的算法，输出的结果为_5. 已知某拍卖行组织拍卖的6幅名画中，有2幅是赝品某人在这次拍卖中随机买入了两幅画，则此人买入的两幅画中恰有一幅画是赝品的概率为_6. 函数f(x)coscos的最小正周期为_7. 函数f(x)log2(4x2)的值域为_8. 已知点a(1，1)和点b(1，3)在曲线c：yax3bx2d(a，b，d为常数)上，若曲线c在点a、b处的切线互相平行，则a3b2d_9. 已知向量a、b满足a2b(2，4)，3ab(8，16)，则向量a、b的夹角的大小为_10. 给出下列命题： 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，真命题是_(填序号)11. 已知函数f(x)若关于x的方程f(x)kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_12. 已知数列an满足a1，2an1(nn*)，则_13. 在平面直角坐标系xoy中，圆c：x2y24分别交x轴正半轴及y轴负半轴于m、n两点，点p为圆c上任意一点，则的最大值为_14. 已知实数x、y同时满足4x27y，log27ylog4x，27y4x1，则xy的取值范围为_二、 解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知、均为锐角，且sin，tan().(1) 求sin()的值；(2) 求cos的值(本小题满分14分)如图，在四棱锥pabcd中，pd底面abcd，adab，cdab，abad2，cd3，直线pa与底面abcd所成角为60，点m、n分别是pa、pb的中点求证：(1) mn平面pcd；(2) 四边形mncd是直角梯形；(3) dn平面pcb.17. (本小题满分14分)第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状为矩形abcd，已知bca，cdb，a、b为常数且满足ba.组委会决定，从该矩形地块中划出一个直角三角形地块aef建游客休息区(点e、f分别在线段ab、ad上)，aef的周长为l(l2b)，如图设aex，aef的面积为s.(1) 求s关于x的函数关系式；(2) 试确定点e的位置，使得直角三角形地块aef的面积s最大，并求出s的最大值18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知f1、f2分别是椭圆e：1(ab0)的左、右焦点，a、b分别是椭圆e的左、右顶点，且50.(1) 求椭圆e的离心率；(2) 已知点d(1，0)为线段of2的中点，m为椭圆e上的动点(异于点a、b)，连结mf1并延长交椭圆e于点n，连结md、nd并分别延长交椭圆e于点p、q，连结pq，设直线mn、pq的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数，使得k1k20恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由19. (本小题满分16分)已知数列an是等差数列，a1a2a315，数列bn是等比数列，b1b2b327.(1) 若a1b2，a4b3，求数列an和bn的通项公式；(2) 若a1b1，a2b2，a3b3均为正整数且成等比数列，求a3的最大值20. (本小题满分16分)已知a为实数，函数f(x)x|xa|lnx.(1) 若a1，求函数f(x)在区间1，e(e为自然对数的底数)的最大值；(2) 求函数f(x)的单调区间；(3) 若f(x)0恒成立，求a的取值范围.2013届高三调研测试试卷(七)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 本题包括a、b、c、d四小题，请选定其中两题作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a. 选修41：几何证明选讲(本小题满分10分)如图，ab是o的直径，c、f是o上的两点，ocab，过点f作o的切线fd交ab的延长线于点d.连结cf交ab于点e.求证：de2dbda.b. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵a(c、d为实数)，若矩阵a属于特征值6的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量为2.求矩阵a的逆矩阵c. 选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)已知曲线c1的极坐标方程为cos1，曲线c2的极坐标方程为2cos，判断曲线c1与c2的位置关系d. 选修45：不等式选讲(本小题满分10分)已知x、y、z均为正实数，且xyz1.求证：.【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. 已知一个口袋中装有黑球和白球共9个(这些球除颜色外完全相同)，从中任取2个球都是白球的概率为.现甲、乙两人从该口袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次取出1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止用x表示取球终止时取球的总次数(1) 求袋中原有白球的个数；(2) 求随机变量x的概率分布及数学期望e(x)空间内有n(nn*)个不重合的平面，设这n个平面最多将空间分成an(nn*)个部分(1) 求a1，a2，a3，a4；(2) 写出an关于n(nn*)的表达式并用数学归纳法证明2013届高三调研测试试卷(七)(常州)数学参考答案及评分标准1. 02. i3. 4. 115. 6. 27. (，28. 79. 10. 11. 12. 13. 4414. 15. 解：(1) ， .又tan()0， 0.(4分) sin().(6分)(2) 由(1)可得，cos().(8分) 为锐角，sin， cos.(10分) coscos()coscos()sinsin()(12分).(14分)16. 证明：(1) 因为点m、n分别是pa、pb的中点，所以mnab.因为cdab，所以mncd.(2分)又cd平面pcd，mn平面pcd，所以mn平面pcd.(4分)(2) 因为adab，cdab，所以cdad.因为pd底面abcd，cd平面abcd，所以cdpd.因为adpdd，所以cd平面pad.(6分)因为md平面pad，所以cdmd.又mncd，mncd，所以四边形mncd是直角梯形(8分)(3) 因为pd底面abcd，所以pad就是直线pa与底面abcd所成的角，从而pad60.(9分)在rtpda中，ad，pd，pa2，md.在直角梯形mncd中，mn1，nd，cd3，cn，从而dn2cn2cd2，所以dncn.(11分)在rtpdb中，pddb，n是pb的中点，则dnpb.(13分)又pbcnn，所以dn平面pcb.(14分)17. 解：(1) 当lab时，不能构成满足条件的三角形；当lab时，设afy，则xyl，整理，得y.(2分)sxy，x(0，b(4分)(2) s，x(0，b(6分)令s0，得2x24lxl20，xl.(8分)因为0xb，所以当2bl(2)b时，bl，s在上单调递增，在上单调递减；所以当xl时，s的极大值也是最大值，smaxl2；(10分)当l(2)b时，bl，s在(0，b上单调递增，当xb时，smax；(12分)故当aef的周长l满足2bl(2)b时，取ael，直角三角形地块aef的面积s最大，smaxl2；当aef的周长l满足(2)blab时，取aeb，直角三角形地块aef的面积s最大，smax.(14分)18. 解：(1) 50， 5. ac5(ac)，化简，2a3c，故椭圆的离心率e.(3分)(2) 存在满足条件的常数，. 点d(1，0)为of2的中点， c2，从而a3，b，左焦点f1(2，0)，椭圆e的方程为1.(5分)设m(x1，y1)，n(x2，y2)，p(x3，y3)，q(x4，y4)，则直线md的方程为xy1，代入椭圆方程1，整理，得y2y40.(7分) y1y3， y3.从而x3，故点p.(9分)同理，点q.(10分) 三点m、f1、n共线， ，从而x1y2x2y12(y1y2)(12分)从而k2k1.(15分)故k1k20.从而存在满足条件的常数，.(16分)19. 解： an是等差数列， a1a32a2. a1a2a315， a25.(2分) bn是等比数列， b1b3b. b1b2b327， b23.(4分)(1) 由题设，a1b23，从而等差数列an的公差等于2，故等差数列an的通项公式为an2n1.(6分)进而a49，b3a49，等比数列bn的公比等于3，故等比数列bn的通项公式为bn3n1.(8分)(2) 设等差数列an的公差为d，等差数列an的公比为q，则a15d，b1，a35d，b33q. a1b1，a2b2，a3b3成等比数列， (a1b1)(a3b3)(a2b2)264.设a1b1m，a3b3n，m、nn*，则mn64，整理，得d2(mn)d5(mn)800.(10分) a35d， 欲使得a3最大，必须且只须d最大， 上面方程必有解，从而d(舍去较小者)， d.(12分)欲使得d最大，必须且只须nm及(mn10)2取最大值， m、nn*，mn64， 当且仅当n64且m1时，nm及(mn10)2取最大值(14分)2013届高三调研测试试卷(七)(常州)数学附加题参考答案及评分标准21. a. 选修41：几何证明选讲证明：连结of.因为ocof，所以ocfofc.因为df切o于f，所以ofd90.所以ofccfd90.(4分)因为coab于o，所以ocfceo90.所以cfdceodef，所以dfde.(8分)因为df是o的切线，所以df2dbda.所以de2dbda.(10分)b. 选修42：矩阵与变换解：因为矩阵a属于特征值6的一个特征向量为1，所以6，化简，得cd6.(4分)因为矩阵a属于特征值1的一个特征向量为2，所以，化简，即3c2d2.(8分)解得即a，故a的逆矩阵是.(10分)c. 选修44：坐标系与参数方程解：将曲线c1、c2化为直角坐标方程，得c1：xy20，c2：(x1)2(y1)22，(4分) 圆心c2到直线c1的距离d，(8分) 曲线c1与c2相离(10分)d. 选修45：不等式选讲证明：x、y、z均为正实数，由柯西不等式，得(yz)(xz)(xy)(xyz)2，(6分) xyz1， .(10分)22. 解：(1) 设口袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知，化简得n2n300，解得n6或n5(舍去)，故口袋中原有白球的个数为6.(4分)(2) 由题意，x的可能取值为1，2，3，4.p(x1)；p(x2)；p(x3)；p(x4).(8分)所以取球次数x的概率分布列为x1234p所求数学期望为e(x)1234.(10分)23. 解：(1) a12，a24，a38，a415.(2分)(2) an(n35n6)(4分)证明如下：当n1时显然成立；设nk(k1，kn*)时结论成立