江苏省常州市溧阳市高二数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2014-2015学年江苏省常州 市溧阳市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分）1命题“有的质数是偶数”的否定为2经过点（1，2）且焦点在x轴上的抛物线的标准方程为3已知函数f（x）=，则f（1）=4“f（x0）=0”是“可导函数y=f（x）在点x=x0处有极值”的条件（选填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分又不必要”）5曲线+=1（9k25）的焦距为6命题：“存在xr，使x2+ax4a0”为假命题，则实数a的取值范围是7在区间上的最大值是8设p：|4x3|1，q：x2（2a+1）x+a（a+1）0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是9已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=48x的准线上，则双曲线的方程是10已知函数f（x）=x3+ax在r上有两个极值点，则实数a的取值范围是11如图，正六边形abcdef的两个顶点a，d为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率为12设函数f（x）=g（x）+x2，若曲线y=g（x）在点（1，g（x）处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为（写出一般式）13若椭圆+=1（ab0）的中心，右焦点，右顶点及右准线与x轴的交点依次为o，f，g，h，则|的最大值为14已知函数f（x）=（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点a（e，1）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是二解答题（本大题共6小题，满分90分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知a0，命题p：x0，x+2恒成立，命题q：kr，直线kxy+2=0与椭圆x2+=1有公共点，求使得pq为真命题，pq为假命题的实数a的取值范围16已知实数a0，函数f（x）=ax（x2）2（xr）（1）若函数f（x）有极大值32，求实数a的值；（2）若对x，不等式恒成立，求实数a的取值范围17如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点f1，f2在x轴上，长轴a1a2的长为4，左准线l与x轴的交点为m，|ma1|：|a1f1|=2：1（）求椭圆的方程；（）若点p在直线l上运动，求f1pf2的最大值、18两城市a和b相距20km，现计划在两城市外以ab为直径的半圆弧上选择一点c建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城a和城b的总影响度为城a与城b的影响度之和，记c点到城a的距离为x km，建在c处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城a的影响度与所选地点到城a的距离的平方成反比，比例系数为4；对城b的影响度与所选地点到城b的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城a和城b的总影响度为0.065（1）将y表示成x的函数；（2）判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度最小？若存在，求出该点到城a的距离；若不存在，说明理由19给定椭圆c：+=1（ab0），称圆心在原点o，半径是的圆为椭圆c的“准圆”已知椭圆c的一个焦点为f（，0），其短轴的一个端点到点f的距离为（1）求椭圆c和其“准圆”的方程；（2）若点a是椭圆c的“准圆”与x轴正半轴的交点，b，d是椭圆c上的两相异点，且bdx轴，求的取值范围；（3）证明：如果在椭圆c的“准圆”上任取一点p，过点p作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆c都只有一个交点，那么l1，l2互相垂直20已知函数f（x）=x2+alnx，g（x）=（a+1）x，a1（）若函数f（x），g（x）在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；（）若a（1，e（e=2.71828），设f（x）=f（x）g（x），求证：当x1，x2时，不等式|f（x1）f（x2）|1成立2014-2015学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分）1命题“有的质数是偶数”的否定为所有质数都是奇数考点： 命题的否定专题： 简易逻辑分析： 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可解答： 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“有的质数是偶数”的否定为：所有质数都是奇数故答案为：所有质数都是奇数点评： 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查2经过点（1，2）且焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2=4x考点： 抛物线的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设出抛物线的标准方程，代入点的坐标，即可求得结论解答： 解：由题意，抛物线的开口向右，设方程为y2=2px（p0），则将（1，2）代入抛物线方程可得4=2p，p=2抛物线的标准方程为y2=4x故答案为：y2=4x点评： 本题考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题3已知函数f（x）=，则f（1）=考点： 导数的运算专题： 导数的概念及应用分析： 首先对函数求导，然后代入1计算导数值解答： 解：由已知f（x）=（）=（x1+）=1，所以f（1）=1=1=；故答案为：点评： 本题考查了导数的求法以及求导数值；关键是熟练掌握导数公式，正确运用4“f（x0）=0”是“可导函数y=f（x）在点x=x0处有极值”的既不充分又不必要条件（选填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分又不必要”）考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据函数在极值点的导数等于零，可得充分性成立再由导数等于零的点不一定是极值点可得必要性不成立，从而得出结论解答： 解：“定义在r上的可导函数在x=x0处取得极值”，不能推出“f（x0）=0”成立，例如f（x）=|x|在x=0处有极小值为0，但f（x）在x=0处不可导，故充分性不成立但由于导数等于零的点不一定是极值点，如函数y=x3在x=0处得导数等于零，但函数在x=0处无极值，故由“f（x0）=0”，不能退出“定义在r上的可导函数在x=x0处取得极值”成立，即必要性不成立，故答案为：既不充分也不必要条件点评： 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，函数的导数等于零的点与函数的极值点的关系，属于基础题5曲线+=1（9k25）的焦距为8考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 确定曲线+=1（9k25）表示双曲线，且a2=25k，b2=k9，利用c2=a2+b2，可得曲线+=1（9k25）的焦距解答： 解：9k2525k0，9k0，曲线+=1（9k25）表示双曲线，且a2=25k，b2=k9，c2=a2+b2=16，c=4，曲线+=1（9k25）的焦距为2c=8，故答案为：8点评： 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础6命题：“存在xr，使x2+ax4a0”为假命题，则实数a的取值范围是考点： 命题的真假判断与应用专题： 简易逻辑分析： 将条件转化为x2+ax4a0恒成立，必须0，从而解出实数a的取值范围解答： 解：命题：“存在xr，使x2+ax4a0”为假命题，即x2+ax4a0恒成立，必须0，即：a2+16a0，解得16a0，故实数a的取值范围为故答案为：点评： 本题考查一元二次不等式的应用，注意联系对应的二次函数的图象特征，体现了等价转化的数学思想，属中档题7在区间上的最大值是0考点： 利用导数求闭区间上函数的最值专题： 计算题分析： 求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最值解答： 解：求导函数可得：f（x）=x2x=x（x1）令f（x）0，可得x0或x1；令f（x）0，可得0x1；x函数在上单调增，在上单调减x=0时，函数取得极大值，且为最大值在区间上的最大值是0故答案为：0点评： 本题考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数确定函数的单调性，最大值在极大值点处或端点取得8设p：|4x3|1，q：x2（2a+1）x+a（a+1）0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 计算题分析： 分别求出关于p，q的解集，根据pq，得到不等式组，解出即可解答： 解：p：x|x1，q：x|axa+1，若p是q的充分不必要条件，则pq，解得：0a，故答案为：点评： 本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题9已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=48x的准线上，则双曲线的方程是考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由抛物线标准方程易得其准线方程6，可得双曲线的左焦点，此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程得a、b的另一个方程那么只需解a、b的方程组，问题即可解决解答： 解：因为抛物线y2=48x的准线方程为x=12，则由题意知，点f（12，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=144，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以=，解得a2=36，b2=108，所以双曲线的方程为故答案为：点评： 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a2的值，是解题的关键10已知函数f（x）=x3+ax在r上有两个极值点，则实数a的取值范围是a0考点： 利用导数研究函数的极值；函数的单调性与导数的关系；函数在某点取得极值的条件专题： 计算题分析： 题目中条件：“在r上有两个极值点”，利用导数的意义即导函数有两个零点从而转化为二次函数f（x）=0的根的问题，利用根的判别式大于零解决即可解答： 解：由题意，f（x）=3x2+a，f（x）=ax3+x恰有有两个极值点，方程f（x）=0必有两个不等根，0，即012a0，a0故答案为：a0点评： 本题主要考查函数的导数、极值等基础知识，三次函数的单调性可借助于导函数（二次函数）来分析11如图，正六边形abcdef的两个顶点a，d为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率为1考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先连接ae，则aede设ad=2c，则可求得de和ae，进而由椭圆的定义知ae|+|ed|=c+c求得a，最后根据离心率公式求得答案解答： 解：连接ae，则aede设|ad|=2c，则|de|=c，|ae|=c椭圆定义，得2a=|ae|+|ed|=c+c，所以e=1，故答案为：1点评： 本题主要考查了椭圆的简单性质特别是椭圆定义的应用12设函数f（x）=g（x）+x2，若曲线y=g（x）在点（1，g（x）处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为6xy2=0（写出一般式）考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 先根据曲线y=g（x）在点（1，g（1）处的切线方程求出g（1）与g（1），再通过求f（1）求出切线的斜率，以及切点坐标，即可求出切线方程解答： 解：曲线y=g（x）在点（1，g（1）处的切线方程为y=2x+1，g（1）=2，g（1）=3f（x）=g（x2）+x2，f（x）=g（x2）2x+2x即f（1）=g（1）2+2=6，f（1）=g（1）+1=4切点坐标为（1，4），斜率为6曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 6xy2=0故答案为：6xy2=0点评： 本题主要考查了导数的几何意义，以及如何求切线方程，题目比较新颖，属于基础题13若椭圆+=1（ab0）的中心，右焦点，右顶点及右准线与x轴的交点依次为o，f，g，h，则|的最大值为考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 根据椭圆的标准方程，结合焦点坐标和准线方程的公式，可得|fg|=ac，|oh|=，所以|=（）2+，根据（0，1），可求出结论解答： 解：椭圆方程为+=1（ab0），椭圆的右焦点是f（c，0），右顶点是g（a，0），右准线方程为x=，其中c2=a2b2由此可得h（，0），|fg|=ac，|oh|=，|=（）2+，（0，1），当且仅当=时，|的最大值为故答案为点评： 本题根据椭圆的焦点坐标和准线方程，求线段比值的最大值，着重考查了椭圆的基本概念的简单性质，属于基础题14已知函数f（x）=（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点a（e，1）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 函数的性质及应用分析： 利用导数的几何意义求出切线方程，利用分段函数与切线有三个不同的交点，得到当x1时，切线和二次函数有两个不同的交点，利用二次函数根的分布建立不等式关系，即可求得a的取值范围解答： 解：当x1，函数f（x）的导数，f（x）=，则f（e）=，则在a（e，1）处的切线方程为y1=（xe），即y=当x1时，切线和函数f（x）=lnx有且只有一个交点，要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则当x1时，函数f（x）=，有两个不同的交点，即（x+2）（xa）=x，在x1时，有两个不同的根，设g（x）=（x+2）（xa）x=x2+（1a）x2a，则满足，即，解得或，即实数a的取值范围是故答案为：点评： 不同主要考查导数的几何意义，以及函数交点问题，利用二次函数的根的分布是解决本题的关键考查学生分析问题的能力，综合性较强二解答题（本大题共6小题，满分90分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知a0，命题p：x0，x+2恒成立，命题q：kr，直线kxy+2=0与椭圆x2+=1有公共点，求使得pq为真命题，pq为假命题的实数a的取值范围考点： 复合命题的真假专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑分析： 根据基本不等式，以及通过方程判断直线和椭圆交点情况方法即可求出命题p，q下a的取值范围根据pq为真命题，pq为假命题，知道p真q假，或p假q真，求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可解答： 解：命题p：因为a0时，对x0，x+，则：2，a1；命题q：由得：（k2+a2）x2+4kx+4a2=0 则：=4a2（a2+k24）0，即a2k2+4；而k2+4在r上的最大值为4；a24，a0，解得a2；pq为真命题，pq为假命题时，p，q一真一假；（1）若p真q假，则：；1a2；（2）若p假q真，则：；a；综上可得，a的取值范围是，不等式恒成立，求实数a的取值范围考点： 利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题专题： 计算题；综合题分析： （1）求出f（x）的导函数，令导函数等于0求出此时x的值，因为函数有极大值32，把求得的x值代入函数解析式f（x）中求出函数值，让函数值等于32列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）根据（1）求出的导函数等于0时x的值，分a大于0和a小于0，在闭区间上，分区间判断导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性分别得到函数f（x）的最大值，让f（x）的最大值小于分别列出关于a的不等式，分别求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围，求出的a的范围的并集即可得到所有满足题意的a的范围解答： 解：（1）f（x）=ax（x2）2=ax34ax2+4ax，令f（x）=0，解得，或x=2f（x）=ax（x2）2（xr）有极大值32，又f（2）=0f（x）在时取得极大值，（2）由知：当a0时，函数f（x）在上是增函数，在上是减函数此时，又对x，不等式恒成立得，当a0时，函数f（x）在上是减函数，在上是增函数又f（2）=32a，f（1）=a，此时，ymax=f（2）=32a又对x，不等式恒成立得，故所求实数的取值范围是点评： 此题考查学生会利用导数研究函数的极值，掌握函数恒成立时所满足的条件，是一道综合题17如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点f1，f2在x轴上，长轴a1a2的长为4，左准线l与x轴的交点为m，|ma1|：|a1f1|=2：1（）求椭圆的方程；（）若点p在直线l上运动，求f1pf2的最大值、考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题： 计算题；综合题；压轴题分析： （）设椭圆方程为，半焦距为c，由题意能够导出a=2，b=，c=1，故椭圆方程为（）设p（4，y0），y00设直线pf1的斜率k1=，直线pf2的斜率k2=，由题设知f1pf为锐角由此能导出f1pf2的最大值为解答： 解：（）设椭圆方程为，半焦距为c，则由题意，得，a=2，b=，c=1，故椭圆方程为（）设p（4，y0），y00设直线pf1的斜率k1=，直线pf2的斜率k2=，f1pf为锐角当，即时，tanf1pf2取到最大值，此时f1pf2最大，故f1pf2的最大值为点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解18两城市a和b相距20km，现计划在两城市外以ab为直径的半圆弧上选择一点c建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城a和城b的总影响度为城a与城b的影响度之和，记c点到城a的距离为x km，建在c处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城a的影响度与所选地点到城a的距离的平方成反比，比例系数为4；对城b的影响度与所选地点到城b的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城a和城b的总影响度为0.065（1）将y表示成x的函数；（2）判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度最小？若存在，求出该点到城a的距离；若不存在，说明理由考点： 函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用专题： 函数的性质及应用分析： （1）根据“垃圾处理厂对城a的影响度与所选地点到城a的距离的平方成反比，比例系数为4；对城b的影响度与所选地点到城b的距离的平方成反比，比例系数为k，”建立函数模型：，再根据当时，y=0.065，求得参数k（2）总影响度最小，即为：求的最小值时的状态令t=x2+320，将函数转化为：，再用基本不等式求解解答： 解：（1）由题意得，又当时，y=0.065，k=9（7分）（2），令t=x2+320（320，720），则，当且仅当时，等号成立（14分）弧上存在一点，该点到城a的距离为时，使建在此处的垃圾处理厂对城a和城b的总影响度最小为0.0625（16分）点评： 本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了换元法，基本不等式法和转化思想的考查19给定椭圆c：+=1（ab0），称圆心在原点o，半径是的圆为椭圆c的“准圆”已知椭圆c的一个焦点为f（，0），其短轴的一个端点到点f的距离为（1）求椭圆c和其“准圆”的方程；（2）若点a是椭圆c的“准圆”与x轴正半轴的交点，b，d是椭圆c上的两相异点，且bdx轴，求的取值范围；（3）证明：如果在椭圆c的“准圆”上任取一点p，过点p作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆c都只有一个交点，那么l1，l2互相垂直考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （1）由题意知c=，且=，可得b=1即可得出椭圆c的方程与其“准圆”方程（2）由题意，可设b（m，n），d（m，n），可得=1又a点坐标为（2，0），利用数量积运算可得=（m2）2n2=，再利用二次函数的单调性即可得出（3）设p（s，t），则s2+t2=4对s，t分类讨论：当时，t=1；当时，设过p（s，t）且与椭圆有一个公共点的直线l的斜率为k，则直线l方程为yt=k（xs），代入椭圆c方程可得x2+32=3，利用=0，再利用根与系数的关系证明k1k2=1，即可解答： 解：（1）由题意知c=，且=，可得b=1故椭圆c的方程为=1其“准圆”方程为x2+y2=4（2）由题意，可设b（m，n），d（m，n），则=1又a点坐标为（2，0），故=（m2，n），=（m2，n）故=（m2）2n2=m24m+4=，又m，故，的取值范围是（3）设p（s，t），则s2+t2=4当时，t=1，此时两条直线l1，l2中一条斜率不存在，另一条斜率为0，l1l2 当时，设过p（s，t）且与椭圆有一个公共点的直线l的斜率为k，则直线l方程为yt=k（xs），代入椭圆c方程可得x2+32=3，即（3k2+1）x2+6k（tks）x+3（tks）23=0（*），由=36k2（tks）24（3k2+1）=0，可得（3s2）k2+2stk+1t2=0，其中3s20设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是上述方程的两个根故k1k2=1，即l1l2