高二数学上学期期末复习备考讲练 专题03 直线与方程课件 理.ppt

第三讲直线与方程 一 学习目标 1 掌握直线的倾斜角的概念 斜率公式 掌握直线的方程的几种形式及其相互转化 以及直线方程知识的灵活运用 掌握两直线位置关系的判定 点到直线的距离公式及其公式的运用 2 充分理解解析思想 坐标法 加强数形结合思想的培养和应用意识的培养 3 积极主动 认真研究 以极大的热情投入学习中去 二 知识梳理 1 直线的倾斜角定义 x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 特别地 当直线与x轴平行或重合时 我们规定它的倾斜角为0度 因此 倾斜角的取值范围是 2 直线的斜率 定义 倾斜角不是90 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 直线的斜率常用k表示 即 斜率反映直线与轴的倾斜程度 0 180 当时 当时 当时 过两点的直线的斜率公式 注意下面四点 1 当时 公式右边无意义 直线的斜率不存在 倾斜角为90 2 k与p1 p2的顺序无关 3 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得 4 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到 不存在 3 直线方程 点斜式 直线斜率k 且过点注意 当直线的斜率为0 时 k 0 直线的方程是y y1 当直线的斜率为90 时 直线的斜率不存在 它的方程不能用点斜式表示 但因上每一点的横坐标都等于x1 所以它的方程是x x1 斜截式 直线斜率为k 直线在y轴上的截距为b 两点式 截矩式 其中直线与轴交于点 与轴交于点 一般式 a b不全为0 注意 各式的适用范围 特殊的方程 如 平行于x轴的直线 b为常数 平行于y轴的直线 a为常数 5 直线系方程 即具有某一共同性质的直线 平行直线系平行于已知直线 是不全为0的常数 的直线系 c为常数 过定点的直线系 斜率为k的直线系 直线过定点 过两条直线 的交点的直线系方程为 为参数 其中直线不在直线系中 6 两直线平行与垂直当 时 注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否 7 两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解 方程组无解 方程组有无数解重合 8 两点间距离公式 设是平面直角坐标系中的两个点 则 9 点到直线距离公式 10 两平行直线距离公式在任一直线上任取一点 再转化为点到直线的距离进行求解 三 典型例题 例1 过点a 5 4 作一直线 使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5 求直线的方程 解析 由题意知 直线的斜率存在 设直线为y 4 k x 5 交x轴于点 交y轴于点 0 5k 4 解得所以所求直线l的方程为2x 5y 10 0 或8x 5y 20 0 方法规律 求直线的方程 可先设方程 然后根据条件求系数 变式练习1 过点p 1 0 q 0 2 分别作两条互相平行的直线 使它们在x轴上截距之差的绝对值为1 求这两条直线的方程 解析 1 当两条直线的斜率不存在时 两条直线的方程分别为x 1 x 0 它们在x轴上截距之差的绝对值为1 满足题意 2 当直线的斜率存在时 设其斜率为k 则两条直线的方程分别为y k x 1 y kx 2 令y 0 分别得x 1 x 2 k 由题意得 即k 1 则直线的方程为y x 1 y x 2 即x y 1 0 x y 2 0 综上可知 所求的直线方程为x 1 x 0 或x y 1 0 x y 2 0 答案 x 1 x 0 或x y 1 0 x y 2 0 例2 已知直线l1 x my 6 0 l2 m 2 x 3y 2m 0 求m的值 使得 1 l1 l2 2 l1 l2 解析 法一 当m 0或2时 两直线既不平行 也不垂直 当m 0且m 2时 直线l1 l2的斜率分为 1 若l1 l2 则 解得 2 若l1 l2 则由 得m 1或m 3 又当m 3时 l1与l2重合 故m 3舍去 故l1 l2时 m 1 法二 1 l1 l2 m 2 3m 0 2 l1 l2 3 m m 2 0且2m 6 m 2 故m 1 方法规律 已知两直线的方程中都含有参数 求不同的位置关系时参数的取值 可以利用平行 或垂直 的条件列方程求解 变式练习2 已知点a 2 2 和直线l 3x 4y 20 0 1 求过点a 且和直线l平行的直线方程 2 求过点a 且和直线l垂直的直线方程 答案 1 3x 4y 14 0 2 4x 3y 2 0 解析 1 因为所求直线与l 3x 4y 20 0平行 所以设所求直线方程为3x 4y m 0 又因为所求直线过点a 2 2 所以3 2 4 2 m 0 所以m 14 所以所求直线方程为3x 4y 14 0 2 因为所求直线与直线l 3x 4y 20 0垂直 所以设所求直线方程为4x 3y n 0 又因为所求直线过点a 2 2 所以4 2 3 2 n 0 所以n 2 所以所求直线方程为4x 3y 2 0 例3 一条光线经过p 2 3 点 射在直线l x y 1 0上 反射后穿过点q 1 1 1 求入射光线的方程 2 求这条光线从p到q的长度 解析 1 设点q x y 为q关于直线l的对称点且qq 交l于m点 kl 1 kqq 1 qq 所在直线方程为y 1 1 x 1 即x y 0 由解得l与qq 的交点m的坐标 又 m为qq 的中点 由此得 解之得 q 点的坐标为 2 2 设入射光线与l的交点为n 则p n q 共线 又p 2 3 q 2 2 得入射光线方程为 即5x 4y 2 0 2 l是qq 的垂直平分线 从而 nq nq pn nq pn nq pq 即这条光线从p到q的长度是 方法规律 利用入射线与反射线的性质 转化为点关于直线l的对称问题 即求q点关于直线l的对称点 变式练习3 求直线l1 2x y 4 0关于直线l 3x 4y 1 0的对称直线l2的方程 答案 2x 11y 16 0 解析 解方程组 得所以直线l1与l相交 且交点为e 3 2 e也在直线l2上 在直线l1 2x y 4 0上取点a 2 0 设点a关于直线l的对称点为b x0 y0 于是有 解得 即 故由两点式得直线l2的方程为2x 11y 16 0 例4 点p 2 1 到直线l 1 3 x 1 y 2 5 0的距离为d 求d的最大值 解析 直线l的方程可化为x y 2 3x y 5 0 由 解得 直线l过定点 如图 d pa 当pa l时 d取最大值 pa d的最大值为 变式练习4 直线l1过点p 1 2 斜率为 把l1绕点p按顺时针方向旋转30 得直线l2 求直线l1和l2的方程 解析 设直线l1的斜率为k 倾斜角为 由题意 知直线l1的方程是 即x 3y 6 0 k1 tan 1 l1的倾斜角 1 150 如图 l1绕点p按顺时针方向旋转30 得到直线l2的倾斜角 2 150 30 120 直线l2的斜率k2 tan120 l2的方程为 即 四 课堂练习 2 已知点a 0 2 b 2 0 若点c在函数y x2的图象上 则使得 abc的面积为2的点c的个数为 a 4b 3c 2d 1 五 课后练习 答案 c 解析 当a 0时 a b c d均不成立 当a 0时 只有c成立 4 直线过点 3 2 且在两坐标