江苏省南京市湖滨中学高三数学上学期10月学情检测试卷（含解析）.doc

江苏省南京市湖滨中学2015届高三上学期10月学情检测数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1（5分）已知集合a=1，b=1，9，则ab=2（5分）已知复数z的实部为1，模为2，则复数z的虚部是3（5分）有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是4（5分）若tan=2，则sin2=5（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果s为6（5分）如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为7（5分）已知向量=（3，2），=（1，0），且向量与垂直，则实数的值为8（5分）已知点a（0，1），b（4，a），若直线ab在x轴与y轴上的截距相等，则实数a=9（5分）已知数列an的前n项和sn=n29n+15，第k项满足5ak8，则k=10（5分）已知实数x、y满足，则z=2xy的取值范围是11（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=x+b都不是曲线y=x33ax的切线，则实数a的取值范围是12（5分）在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinc=2sinb，则a=13（5分）在平面直角坐标系xoy中，以椭圆+=1（ab0）上的一点a为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于b、c两点，若abc是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是14（5分）设函数f（x）=x对于任意x，都有f（x）0成立，则实数a的范围二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知函数f（x）=cosxsin（x+）cos2x+，xr（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值16（14分）如图，在四棱锥pabcd中，四边形abcd为正方形，pa平面abcd，e为pd的中点求证：（1）pb平面aec；（2）平面pcd平面pad17（14分）如图，某小区进行绿化改造计划围出一块三角形绿地abc其中一边利用现成的围墙bc长度为1（百米）另外两边ab，ac使用某种新型材料bac=120设ab=x（百米），ac=y（百米）（1）求x，y满足的关系式（指出x的取值范围）（2）若无论如何设计另两边的长，都能确保围成三角形绿地，则至少需要准备长度为多少（百米）的此种新型材料18（16分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，右顶点为a，直线bc过原点o，且点b在x轴上方，直线ab与ac分别交直线l：x=a+1于点e、f（1）若点，求abc的面积；（2）若点b为动点，设直线ab与ac的斜率分别为k1、k2试探究：k1k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；求aef的面积的最小值19（16分）已知数列an中，a1=1且点p（an，an+1）（nn*）在直线xy+1=0上（1）求数列an的通项公式；（2）若函数f（n）=+（nn，且n2）求函数f（n）的最小值；（3）设bn=，sn表示数列bn的前项和试问：是否存在关于n的整式g（n），使得s1+s2+s3+sn1=（sn1）g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由20（16分）已知函数f（x）=x+xlnx（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程；（2）若kz，且k（x1）f（x）对任意x1恒成立，求k的最大值；（3）当nm4时，证明（mnn）m（nmm）n江苏省南京市湖滨中学2015届高三上学期10月学情检测数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1（5分）已知集合a=1，b=1，9，则ab=1，9考点：并集及其运算 专题：计算题分析：根据集合a和b，找出既属于集合a，又属于集合b的元素，即可确定出两集合的并集解答：解：a=1，b=1，9，ab=1，9故答案为：1，9点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的意义是解本题的关键2（5分）已知复数z的实部为1，模为2，则复数z的虚部是考点：复数的基本概念 专题：计算题分析：设复数的虚部为b，根据复数模的公式列出方程ji，解方程求出b的值解答：解：设复数的虚部为b，则据题意得，解得b=，故答案为：点评：本题考查复数模的公式|z|=，属于基础题3（5分）有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是考点：等可能事件的概率 专题：计算题分析：根据题意，共有5张扑克牌，其中红心3张，黑桃2张，由等可能事件的概率公式计算可得答案解答：解：根据题意，共有5张扑克牌，其中红心3张，黑桃2张；从中随机抽取一张，抽到的红心的概率；故答案为点评：本题考查等可能事件的概率，是基础题，注意审题即可4（5分）若tan=2，则sin2=考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系 专题：计算题分析：利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式，把要求的式子化为，把已知条件代入运算求得结果解答：解：tan=2，sin2=2sincos=，故答案为 点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角的正弦公式的应用，属于中档题5（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果s为21考点：循环结构 专题：算法和程序框图分析：执行程序，依次写出每次循环得到的i，s的值，当i=9时不满足条件i8，输出s的值为21解答：解：执行程序，有i=1满足条件i8，i=3，s=9；满足条件i8，i=5，s=13；满足条件i8，i=7，s=17；满足条件i8，i=9，s=21；不满足条件i8，输出s的值为21故答案为：21点评：本题主要考察了程序和算法，属于基本知识的考查6（5分）如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为62考点：频率分布直方图 专题：概率与统计分析：由频数分布直方图求出总人数，再由平均数公式求出利用组中值的估计平均分解答：解：由频数分布直方图得，总人数是2+4+6+8+10=30人，利用组中值可估计其的平均分为：=62，故答案为：62点评：本题考查频数分布直方图，以及读图能力，属于基础题7（5分）已知向量=（3，2），=（1，0），且向量与垂直，则实数的值为考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：平面向量及应用分析：由向量的基本运算可得与的坐标，再由向量垂直的充要条件可得其数量积为0，解之即可解答：解：由题意=（31，2），=（1，2）与垂直，=（31）（1）+22=7+1=0，解得，故答案为：点评：本题为向量的基本运算，掌握向量垂直的充要条件为其数量积为0是解决问题的关键，属基础题8（5分）已知点a（0，1），b（4，a），若直线ab在x轴与y轴上的截距相等，则实数a=3考点：直线的截距式方程 专题：直线与圆分析：由题意知直线的斜率为1，由斜率公式可得a的方程，解方程可得解答：解：由题意知直线不过原点，故斜率为1，由斜率公式可得=1，解得a=3故答案为：3点评：本题考查直线的截距，涉及斜率公式，属基础题9（5分）已知数列an的前n项和sn=n29n+15，第k项满足5ak8，则k=1或8考点：数列与不等式的综合 专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：根据数列的性质求出：当n=1时，a1=7，当n2时，an=2n10，根据不等式求解即可解答：解：数列an的前n项和sn=n29n+15，当n=1时，a1=7，当n2时，an=n29n+15（n1）2+9（n1）15=2n10，第k项满足5ak8，当k=1时，5a1=78，符合题意当n2时，52n108，7.5n9，n=1，n=8时符合题意，故答案为：1或8点评：本题考查了数列的通项，n项和求解，不等式的结合，属于中档题10（5分）已知实数x、y满足，则z=2xy的取值范围是考点：二元一次不等式（组）与平面区域 分析：先画出可行域，再把目标函数变形为直线的斜截式，根据其在y轴上的截距即可求之解答：解：画出可行域，如图所示解得b（1，3）、c（5，3），把z=2xy变形为y=2xz，则直线经过点b时z取得最小值；经过点c时z取得最大值所以zmin=2（1）3=5，zmax=253=7即z的取值范围是故答案为点评：本题考查利用线性规划求函数的最值11（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=x+b都不是曲线y=x33ax的切线，则实数a的取值范围是考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题分析：由直线y=x+b得直线斜率为1，直线y=x+b不与曲线f（x）相切知曲线f（x）上任一点斜率都不为1，即f（x）1，求导函数，并求出其范围分析：已知sinc=2sinb利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosa的值，即可确定出a的度数解答：解：将sinc=2sinb利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2b2=bc=6b2，即a2=7b2，由余弦定理得：cosa=，a为三角形的内角，a=30故答案为：30点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键13（5分）在平面直角坐标系xoy中，以椭圆+=1（ab0）上的一点a为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于b、c两点，若abc是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（，）考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设a（c，y），由题意可得，ycy，y=，从而可求椭圆离心率的取值范围解答：解：圆a与x轴相切于焦点f，圆心与f的连线必垂直于x轴，不妨设a（c，y），（y0），a在椭圆上，则y=（a2=b2+c2），圆的半径为y=，与y轴相交于b、c两点，则cy，又abc是锐角三角形，且为等腰三角形，只要a为锐角，即有cos，即为，故有ycyc2（）22c2，e2（1e2）22e2e，故答案为：（，）点评：本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14（5分）设函数f（x）=x对于任意x，都有f（x）0成立，则实数a的范围a1考点：其他不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：问题可化为4ax24x4+1恒成立，当x=0时，上式显然成立，当x时，4ax24x4+1可化为a，只需求在x时的最小值即可，由基本不等式可得解答：解：由f（x）0可得x2（ax2），即4ax24x4+1，当x=0时，上式显然成立，当x时，4ax24x4+1可化为a，故只需求在x时的最小值即可，由基本不等式可得=x2+2=1，当且仅当x2=即x=时取等号，在x时的最小值为1，故a1故答案为：a1点评：本题考查不等式恒成立问题，转化为基本不等式求最值是解决问题的关键，属中档题二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知函数f（x）=cosxsin（x+）cos2x+，xr（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：（）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（）由（）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值解答：解：（）由题意得，f（x）=cosx（sinxcosx）=所以，f（x）的最小正周期=（）由（）得f（x）=，由x得，2x，则，当=时，即=1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为点评：本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题16（14分）如图，在四棱锥pabcd中，四边形abcd为正方形，pa平面abcd，e为pd的中点求证：（1）pb平面aec；（2）平面pcd平面pad考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（1）连结bd，ac交于o，连结eo可证出pbd中，eo是中位线，得eopb，结合线面平行的判定定理，即可证出pb平面aec；（2）由线面垂直的性质，证出cdpa正方形abcd中证出adcd，结合paad=a，可得cd平面pad，最后根据面面垂直判定定理，即可证出平面pad平面pcd解答：解：（1）连结bd，ac交于oabcd是正方形，ao=oc，oc=ac连结eo，则eo是pbd的中位线，可得eopbeo平面aec，pb平面aec，pb平面aec（2）pa平面abcd，cd平面abcd，cdpa又abcd是正方形，可得adcd，且paad=acd平面padcd平面pcd，平面pad平面pcd点评：本题在四棱锥中证明线面平行，并且证明面面垂直着重考查了三角形的中位线定理、线面平行的判定定理和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题17（14分）如图，某小区进行绿化改造计划围出一块三角形绿地abc其中一边利用现成的围墙bc长度为1（百米）另外两边ab，ac使用某种新型材料bac=120设ab=x（百米），ac=y（百米）（1）求x，y满足的关系式（指出x的取值范围）（2）若无论如何设计另两边的长，都能确保围成三角形绿地，则至少需要准备长度为多少（百米）的此种新型材料考点：解三角形的实际应用 专题：解三角形分析：（1）利用余弦定理，可求x，y满足的关系式，及x的取值范围；（2）利用（1）的结论及基本不等式，即可求得结论解答：解：（1）由余弦定理可得，1=x2+y22xycos120，x2+y2+xy=1，其中0x1；（2）（x+y）2=x2+y2+2xy=1+xy1+（x+y）2x+y，当且仅当x=y=时，取等号至少需要准备长度为百米的此种新型材料点评：本题考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题18（16分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，右顶点为a，直线bc过原点o，且点b在x轴上方，直线ab与ac分别交直线l：x=a+1于点e、f（1）若点，求abc的面积；（2）若点b为动点，设直线ab与ac的斜率分别为k1、k2试探究：k1k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；求aef的面积的最小值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用 专题：综合题分析：（1）根据题意的离心率及点b的坐标，建立方程，求出a的值，即可求abc的面积；（2）k1k2为定值，证明，由（1）得a2=2b2，即可得到结论；设直线ab的方程为y=k1（xa），直线ac的方程为y=k2（xa），令x=a+1得，求出aef的面积，结合的结论，利用基本不等式，可求aef的面积的最小值解答：解：（1）由题意得解得a2=2b2=8，则abc的面积s=；（2）k1k2为定值，下证之：证明：设b（x0，y0），则c（x0，y0），且，而由（1）得a2=2b2，所以；设直线ab的方程为y=k1（xa），直线ac的方程为y=k2（xa），令x=a+1得，ye=k1，yf=k2，则aef的面积，因为点b在x轴上方，所以k10，k20，由得（当且仅当k2=k1时等号成立）所以，aef的面积的最小值为点评：本题主要考查直线的方程、椭圆的方程及其简单性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的能力19（16分）已知数列an中，a1=1且点p（an，an+1）（nn*）在直线xy+1=0上（1）求数列an的通项公式；（2）若函数f（n）=+（nn，且n2）求函数f（n）的最小值；（3）设bn=，sn表示数列bn的前项和试问：是否存在关于n的整式g（n），使得s1+s2+s3+sn1=（sn1）g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）运用等差数列的定义性质求解可得（2）把f（n），f（n+1）表示出来，作差判断，增减性，求解可得（3）列出sn=1+nsn（n1）sn1=sn1+1运用递推关系式列式判断解答：解：（1）由题意得，点p（an，an+1）（nn*）在直线xy+1=0上，所以anan+1+1=0，即an+1an=1，则数列an是以为首项、公差的等差数列，所以an=1+（n1）1=n；（2）由（1）得，f（n）=+=，则f（n+1）=，所以f（n+1）f（n）=（）f（n+1）f（n）0f（n）是增函数，故f（n）的最小值是f（2）=（3）bn=，sn=1+即nsn（n1）sn1=sn1+1，（n1）sn1（n2）sn2=sn2+1，s2s1=s1+1s1+s2+s3+sn1=（sn1）n，（n2），故存在关于n的整式g（n）=n，使等式对于一切小于2的自然数n恒成立点评：本题综合考查了数列的性质，与函数的结合，探索存在性问题20（16分）已知函数f（x）=x+xlnx（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程；（2）若kz，且k（x1）f（x）对任意x1恒成立，求k的最大值；（3）当nm4时，证明（mnn）m（nmm）n考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；证明题；综合题；压轴题分析：（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=e处的导函