江西乐安一中高二数学 10 椭圆的几何性质培优教案.doc

椭圆的几何性质本讲的主要内容 1能够根据方程，讨论曲线的范围、对称性、特殊点2掌握椭圆的几何性质范围、对称性、顶点、离心率、准线和准线的方程及其几何意义，以及椭圆可由其焦点、准线和离心率确定。3了解椭圆的参数方程。4能够根据条件利用工具画出椭圆的图形，并了解椭圆的初步应用。学习指导 1本讲的重点、难点是什么？重点：椭圆的几何性质。难点：椭圆的离心率、准线方程与椭圆的关系以及椭圆的应用。2学习椭圆的准线，要注意些什么？（1）弄清椭圆与它的两条准线的位置关系：两条准线垂直于椭圆的长轴所在的直线，椭圆夹在两条准线之间，两条准线关于椭圆的短轴所在的直线与椭圆的中心对称。（2）巧记准线方程，首先记住准线与椭圆中心的距离是，然后根据准线的位置（指垂直于x轴还是垂直于y轴）写出准线的方程。（3）掌握准线的性质，椭圆上任何一点到焦点的距离与它到准线的距离之比等于离心率e，这里e是一个大于0且小于1的常数。（4）知道焦点到相应准线的距离叫做焦准距，记作p，另知.例题精讲 例1已知椭圆的两个顶点的坐标为（4，0），离心率为，求这个椭圆的方程。分析由已知两个顶点有可能是椭圆长轴上的两个顶点，也有可能是短轴上的两个顶点，故应分两种情况来解。解当已知的两个顶点为椭圆长轴上的两个顶点时，设它的方程为a=4，c=2。b2=a2-c2=16-4=12。所求椭圆方程为。当已知的两个顶点为椭圆短轴上的两个顶点时，设它的方程为。b=4，且a2=b2+c2，a2=42+()2.解得。所求椭圆方程为。综上可知，所求的椭圆方程为或。解题后的点拨本题由题意应有两个解，在解题前应先由已知条件作出正确的判断，千万不要丢解。例2在椭圆上求一点p，使它到直线l：3x+4y=50的距离最大或最小。分析这是一个求最值的问题，这样的题一般有两种解法：一是利用椭圆的参数方程，则可设椭圆上任意一点，然后借助三角函数的值域，从而求出其最值；二是利用数列结合的思想我们发现，与直线l平行且与椭圆相切的直线，其切点到直线l的距离即为我们要求的最值。解法一设椭圆上点，（00别忘了考虑，opoq，可利用来解决。解设所求椭圆方程把y=x+1代入上椭圆方程中，得，展开整理得。，故=，即 设，则， 由opoq，得，整理得， 由，即，得 。 ， 。 用换元法解由，组或解关于，的方程组，将代入，得。或，于是得或再由，可得或再由换元法解这个方程组，可得或并且可验证，以上取值符合式的条件。于是所求的椭圆方程是或。解题后的点拨本题在设所求椭圆的标准方程为时并没有限定，而只限定，将两种形式合二而一，这会使求解过程更简捷一些，应注意借鉴这种方法。基础训练题 一选择题:1椭圆上一点p到左准线的距离是，则p到右焦点的距离为（ ）（a）8（b）（c）（d）2已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，长轴的长为6，则椭圆的方程为（ ）（a）或（b）或（c）（d）3如果椭圆的两条准线间的距离是这个椭圆的焦距的两倍，那么这个椭圆的离心率为（ ）（a）（b）（c）（d）4f是定直线l外的一个定点，以下为焦点，l是相应准线的椭圆有（ ）（a）1个（b）2个（b）3个（d）无数个5已知椭圆的两个焦点为f1，f2，p是椭圆上一点，并且f1pf2=90，那么椭圆的离心率e的取值范围是（ ）（a）（b）（c）（d）6中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是（ ）（96全国高考试题）（a）（b）（b）（d）二解答题:7根据下列条件求椭圆的标准方程:（1）两条准线的方程为，离心率为；（2）离心率为，且过点（0，4）。8若椭圆的准线方程为，求实数m的取值集合，并写出此椭圆的焦点坐标与离心率的大小。9试在椭圆上求一点，使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍。10求过定点，以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程。基础训练题点拨与解答 一选择题: 1答案：（a）解由椭圆的第二定义 ， 。 由椭圆的第一定义。 p到右焦点的距离 ，故选（a）。2答案：（b）解， 即。由题意焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求方程为或，故选（b）。3答案：（c）解由题意，故选（c）。4答案：（d）解由于平面内动点m到定点f的距离和到定直线l的距离d之比没有确定，所以只要，动点m都可以形成椭圆，故选（d）。5答案：（b）解在rtf1pf2中，则，且。由于时，有1。故选（b）。6答案：（a）解由题意 ，又 ，把代入得，故所求椭圆方程为。故选（a）。二解答题:7解由题意， a=2,c=1,. 故所求椭圆方程为。 由题意若a=4, , 则c=2, . 故所求椭圆方程为。 若b=4， 即。 由，得。 解得。 故所求椭圆方程为。8解由题意,又准线方程为， 则椭圆的焦点在x轴上，于是， 从而，。 ， 解得 。 m的取值集合为3，并且椭圆方程为， 它的焦点坐标为（），离心率为。9解设点，f1、f2是椭圆左、右焦点；则， ，椭圆的准线为， 由定义， 解得，。10解椭圆经过点m(1,2)，且以y轴为准线， 椭圆位于y轴右侧，长轴平行于x轴， 设椭圆左顶点a（x,y）， 椭圆离心率为， a点到椭圆左焦点f的距离与a点到y轴的距离之比为， 设f点（m,y），则 。 解得 ，即。 又定点m(1,2)也是椭圆上一点， 与点m到准线（y轴）的距离之比也是， 即， 化简后得。提高训练题 一填空题: 1若椭圆的焦点在x轴上，焦点到短轴的端点的距离为2，到相应准线的距离为3，则椭圆的标准方程为_。2如果椭圆的两个焦点把椭圆的对称轴上夹在两条准线之间的线段三等分，那么此椭圆的离心率等于_。3若椭圆的一个焦点为f，点f关于点（2，0）的对称点的坐标为（4，-1），则实数m的值为_。4若椭圆的离心率是，则此椭圆短半轴的长为_。5若椭圆的离心率，则的值等于_。6设椭圆的右焦点为f1，右准线为l1，若过f1且垂直于x轴的弦的长等于点f1到l1的距离，则椭圆的离心率是_。二解答题:7若,求的最大值与最小值。8过点作直线l与椭圆相交于a、b两点，o为坐标原点，求的面积的最大值，并求此时的直线方程。9已知f1、f2是椭圆的两个焦点，p是椭圆上一点，的内心为i，连结pi并延长与f1f2交于q，且，求椭圆方程。10离心率的椭圆，截直线x+2y+8=0所得的弦长为，求此椭圆的方程。提高训练题点拨与解答 一填空: 1答案：解坐标原点，椭圆焦点和短轴的端点构成rt，两直角边为b.c，斜 边为a。 a=2， 又， ， 解得 c=1，。 椭圆方程为。2答案：解不妨设椭圆的方程为， ，两准线之间的距离为，故有， ，即。3答案：4解点（4，-1）关于点（2，0）的对称点为（0，1）， c=1，,.4答案：1解， ， 解得m=4.5答案：4或解当时， 依题意，得，解得k=4。 当时，得，解得。6答案：解设焦点，其中， 将x=c代入椭圆方程得, 过且垂直于x轴的弦长为， 而f1到直线l1的距离为， 有，即， 。二解答题:7解把看作过两点（4，3）和（）作直线的斜率。由得。设过（4，3）的直线方程是代入，得。=。解得 。，。8解设直线方程为，代入椭圆方程化简得，设两根为，则的面积为 = = ，当且仅当， 时取最大值，此时直线l的方程为。9解i为的内心，连结f1i、f2i，在中， ，在中， ， ， ， 即 若椭圆的焦点在x轴上，则，由，得c=4， 。 若椭圆的焦点在y轴上，则 。 所求椭圆方程为或。10解由，得， 。 设所求椭圆方程为。 设椭圆与直线两交点为，。 由 解 。 ， 。 = = =10。 解得 。 所求椭圆方程为。研究探讨题直线与二次曲线关系的问题是近几年来高考的重点，下面一题即考查了这一热点。已知椭圆c的中心在原点，焦点在x轴上，并且满足下列条件：离心率，过p（1，0）的直线l与椭圆交于a、b两点，且ab的中点在直线上，椭圆上存在一点，与其右焦点f关于直线l对称，求直线l与椭圆c的方程。解由题意设椭圆方程为， 由则，又， 。 则椭圆方程为：。 （1）又直线l不平行于x轴，否则ab的中点在x轴上与条件不符，因而可设直线l的方程为：